一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用

易涌軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對第四學段關(guān)于“函數(shù)”的內(nèi)容有如下要求：能用一次函數(shù)解決簡單的實際問題；會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題. 基于上述課標要求，一次函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的生活應用題在各地中考中成了高頻考點，而此類應用題中的利潤問題既復雜又是重點考查對象. 下面舉例介紹此類問題的解題思路.

例1 （2022·遼寧·鐵嶺·葫蘆島）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元. 經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量[y]（千克）與每千克售價[x]（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：

[每千克售價[x]/元 … 20 22 24 … 日銷售量[y]/千克 … 66 60 54 … ]

（1）求[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？

分析：此類利潤問題中一次函數(shù)表達式有四種不同的呈現(xiàn)方式：文字敘述、直接給出表達式、表格、圖象. 其本質(zhì)都是為了求出一次函數(shù)表達式y(tǒng) = kx + b（k，b為常數(shù)，且k ≠ 0）. 而利潤的最大值求法也有三種：（1）自變量的取值范圍包括頂點且滿足題意；（2）自變量的取值是整數(shù)，而頂點橫坐標恰好不是整數(shù)；（3）頂點不在自變量取值范圍內(nèi). 本題需要先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)表達式，再利用“每日總利潤 = 每千克利潤 × 銷售量”列出二次函數(shù)的表達式，求出利潤的最大值.

解：（1）設(shè)[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式為[y=kx+b（k≠0）]，

由表中數(shù)據(jù)得[20k+b=66，22k+b=60，]

解得[k=-3，b=126].

∴設(shè)[y]與[x]之間的函數(shù)關(guān)系式為[y=-3x+126].

（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為[w]元，

由題意得[w=y（x-18）=（x-18）（-3x+126）=-3x2+180x-2268=-3（x-30）2+432].

∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元，

∴18 ≤ [x] ≤ 28，

∵- 3 < 0，∴當[x] < 30時，[w]隨[x]的增大而增大，

∴當[x] = 28時，[w]最大，最大值為420，

∴當每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元.

例2 （2022·遼寧·盤錦）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量[y]（個）與銷售單價[x]（元）之間滿足如右圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量[x]的取值范圍）.

（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？

（3）設(shè)該玩具日銷售利潤為[w]元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

分析：（1）直接用待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是[y]元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出[w]與[x]的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案.

解：（1）設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y = kx + b，

由題圖可知，函數(shù)圖象過點（25，50）和點（35，30），

把這兩點的坐標代入一次函數(shù)[y] = [k][x] + b，

得[25k+b=50，35k+b=30，]

解得[k=-2，b=100，]

∴一次函數(shù)的關(guān)系式為[y] = -2[x] + 100.

（2）根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是[x]元，

由題意得（[x] - 10）（-2[x] + 100） = 600，

解得[x]1 = 40，[x]2 = 20，

∴當天玩具的銷售單價是40元或20元.

（3）根據(jù)題意，得[w] = （[x] - 10）（-2[x] + 100），

整理得[w] = -2（[x] - 30）2 + 800.

∵-2 < 0，

∴當[x] = 30時，[w]有最大值，最大值為800.

∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大，最大利潤是800元.

總結(jié)反思：在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到利用一次函數(shù)與二次函數(shù)求最大利潤、最大銷量等問題. 解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式，然后確定其最大值. 實際問題中自變量[x]的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量[x]的取值范圍.

（作者單位：沈陽市實驗學校）