基于Hurst指數的PID控制參數優化

單港生　王志國　劉飛

摘 要 為了提高PID控制過程的控制性能，提出一種基于Hurst指數的PID參數優化方法。首先，給出基于Hurst指數的控制性能評價方法。然后，以Hurst控制性能指標為基礎，結合絕對誤差積分和控制作用限制項來定義PID參數優化的目標函數，使用遺傳算法來求解PID參數值。最后，通過數值仿真和工業實例驗證了該方法有效性。

關鍵詞 PID參數優化 Hurst指數 控制性能評價 遺傳算法

中圖分類號 TP14? ?文獻標識碼 A? ?文章編號 1000?3932（2023）02?0158?07

基金項目：國家自然科學基金面上項目（61773183）。

實際工業過程中，組成控制回路的各個環節會隨時間發生變化，這會導致控制系統性能相比投運初期出現下降，若不能及時監測到性能的變化并快速做出相應調整，將會造成經濟損失或資源浪費［1］。控制性能優化技術是首先對控制回路性能進行評估，然后采用相應的措施改善控制性能。作為實際中廣泛應用的PID控制回路，評價其控制性能并在性能不滿足要求時通過校正PID參數以優化控制系統性能具有重要意義。

一般用于評價控制回路性能的指標有：確定性能指標、隨機性能指標和魯棒性指標。基于Hurst指數的控制性能評價指標屬于隨機性能指標。Hurst指數是HURST H E在研究尼羅河水文現象時提出的［2］，用來處理具有分形結果的時間序列，描述了時間序列的相關性。2012年，SRINIVASAN B等提出了在單變量控制系統中使用Hurst指數評價控制性能［3］，該方法不需要系統參數的先驗知識，只需要系統的日常運行數據就能夠準確計算出控制系統的性能指標。關于性能評價的研究可以追溯到20世紀，1989年，HARRIS T J利用系統過程數據和先驗知識估計單變量控制系統的最小方差性能指標［4］。1997年，HUANG B等提出了濾波和相關性分析算法（Filtering and Correlation，FCOR），把單變量回路中的時延引申為關聯矩陣，將最小方差性能指標推廣到了多變量控制系統［5］。2002年，GRIMBLE M J提出了廣義最小方差（Generalized Minimum Variance，GMV）基準，將控制輸出作為懲罰項引入目標函數中，避免出現不切實際的大方差控制信號［6］。2003年，HUANG B提出使用線性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussian，LQG）最優控制作為性能評估基準［7］，計算最優LQG控制律得到一條權衡曲線，系統的當前方差值越接近權衡曲線則控制性能越好。近幾年來，學者們把基于時間序列分析的方法運用到了控制性能評價上。2014年，PILLAY N和GOVENDER P擴展了Hurst指數控制性能分析［8］，主要關注控制器設定點跟蹤能力。2016年，DAS L等將基于Hurst指數的單變量系統控制性能指標與馬氏距離相結合，提出多變量系統的Hurst控制性能指標［9］。2021年，MARYAM K和JAVAD P擴展了基于Hurst指數的多變量系統控制性能指標，給出了多變量系統性能指標的上下界［10］。蔣雄杰等將Hurst評價指標應用到火電機組控制系統性能評價上，驗證了Hurst評價指標的有效性［11］。

影響一個控制回路性能優劣的因素很多，通過對控制器進行參數調整是控制性能優化的主要研究內容之一，而PID控制器在各個控制領域中應用廣泛，因此筆者研究PID控制參數的整定優化，將Hurst控制性能指標引入到PID參數優化校正中，從而提高系統的控制性能。PID參數自整定由ASTROM K J等提出，以辨識過程模型參數為基礎，根據被控過程特性的變化自動計算出新的控制參數［12，13］。隨著計算機技術的飛速發展和人工智能技術的興起，模糊控制、神經網絡控制、遺傳算法及數據驅動控制等智能算法與常規PID控制相結合，形成智能PID控制。智能PID控制器不僅具有常規PID控制器結構簡單、可靠性高及魯棒性強等特點，而且具有自學習、自適應和自組織能力。文獻［14］提出了一個用線性形式模糊控制微分方程表示的模糊PID控制系統，研究此系統的性質。文獻［15］開發了一種自適應傅里葉級數神經網絡PID控制器結構，該控制器可以在線調整以抑制擾動效應并補償系統參數的變化。文獻［16～18］將遺傳算法PID控制應用在壓力罐系統控制、機器人挖掘機軌跡控制和風力發電系統控制中，驗證了遺傳算法PID控制具有優異的PID參數優化能力。文獻［19，20］針對非線性系統分別提出了離線更新數據驅動PID控制器的數據庫方法和基于自適應更新規則的數據驅動PID控制器設計方法，對非線性系統具有良好的控制性能。這些智能PID控制方法的出現使得PID控制保持著持久的生命力，繼續在工業控制領域發揮重要作用。

筆者使用Hurst指數對具有隨機擾動的單變量控制系統進行控制性能評價，將Hurst控制性能指標引入單變量PID控制參數校正中，提出一種基于Hurst指數的PID參數優化方法，定義結合Hurst控制性能指標、絕對誤差積分和控制作用限制項的目標函數，使用遺傳算法求解目標函數得到優化的PID控制參數，從而提高PID控制的控制性能，保證控制系統取得良好的控制效果。

1問題描述

考慮一個如圖1所示的具有隨機擾動的單變量控制過程，其中r是設定值輸入，u是PID控制器輸出，y是過程輸出，e是系統誤差，e=r-y。被控對象G（z）=z[^][G]（z），其中d為時延，[^][G]（z）是沒有延遲的對象傳遞函數。a是一系列獨立且均勻分布的白噪聲序列，其均值為0、方差為σ。N（z）是擾動模型；D代表影響過程輸出的擾動，由白噪聲序列a通過擾動模型N（z）得到。

Hurst指數α是表示時間序列相關性的特征量，α=0.5表示時間序列是白噪聲序列，時間序列無相關性；0.5<α<1表示時間序列數據中存在長期相關性，即時間序列在某一區間呈增長趨勢，則下個區間可能也會增長；0<α<0.5表示時間序列是反相關的，即時間序列在某區間呈增長趨勢，則在下個區間很可能會減小。

2.2 Hurst控制性能指標

在利用去趨勢波動分析算法計算得到Hurst指數后，SRINIVASAN B等在文獻［3］中給出Hurst指數與控制系統性能之間的關系。通過大量試驗計算不同閉環系統輸出的Hurst指數，分析3個典型閉環系統的輸出特性，3個系統的Hurst指數分別為0.93、0.48和0.08。系統Ⅰ的Hurst指數接近1，存在長程相關性，輸出變化緩慢。系統Ⅱ的Hurst指數接近0.5，輸出近似白噪聲，不可預測。系統Ⅲ的Hurst指數接近零，輸出變化迅速，出現振蕩。

類比最小方差基準，最小方差控制器可以消除時延后的所有擾動，在最小方差控制器作用下的系統輸出序列在時延后為白噪聲，最小方差控制回路的輸出具有接近0.5的Hurst指數，這是控制系統在隨機擾動下所能達到的最好的控制效果。因此，系統的性能可以通過系統輸出的Hurst指數來評價，Hurst指數越接近0.5，則控制效果越好；Hurst指數接近0，控制器的控制作用過快，會導致振蕩；Hurst指數接近1，控制器的控制作用緩慢，無法快速應對擾動。大部分平穩時間序列的Hurst指數的范圍在0～1之間，如果Hurst指數大于1，說明該時間序列非平穩。

通過上述分析得到基于Hurst指數的控制性能評價標準［11］，具體見表1。

3 PID參數優化算法

3.1 優化目標

使用Hurst性能指標評價控制系統的控制性能后，進行PID參數優化，使系統達到更好的控制效果，提高控制系統的控制性能。本文的控制目標是減小誤差，限制過大的控制作用，保證控制系統取得良好的控制性能。

為了抑制控制系統存在的誤差，獲取滿意的過程動態特性，采用絕對誤差積分性能指標作為參數優化的目標函數。為了防止控制能量過大，在目標函數中加入控制輸入的平方項，這兩個指標要求越小越好。選用下式作為控制系統的目標函數：

為了求解這樣的優化問題，筆者使用遺傳算法。遺傳算法是HOLLAND根據自然界中適者生存的法則和基因遺傳的思想提出的一種優化算法，遺傳算法適用于求解復雜的優化問題，不需要初始信息就可以求得全局最優解。

筆者使用遺傳算法對PID控制器參數進行優化。首先將K、K、K進行實數編碼，再將3個編碼串聯起來組成一個整體編碼。根據具體控制系統，確定3個待優化參數的搜索范圍。

然后確定適應度函數。由于遺傳算法針對最大化問題，而文中目標函數J越小控制效果越好，屬于最小化問題，所以文中的適應度函數f采用目標函數J的倒數，f=1/J。

最后進行遺傳操作，通過選擇、交叉和變異產生新的更適合環境的個體。選擇是從舊種群中選擇生命力強的個體產生新種群。交叉是通過兩個染色體的交換組合，產生新的優良品種。變異是以很小的概率隨機改變遺傳基因的值，避免進化過程在早期就陷入局部最優解，影響優化結果。

3.2 算法步驟

基于Hurst指數的PID控制參數優化過程如圖3所示，算法步驟如下：

a. 確定遺傳參數，產生初始種群。

b. 確定PID參數范圍，對PID參數實數編碼。

c. 使用初始PID參數得到系統輸出數據，計算系統的Hurst指數與目標函數值，同時得到適應度函數值。

d. 對PID參數種群進行遺傳操作（選擇、交叉、變異）。計算每個PID參數個體的適應度函數值，其中適應度函數值高的個體遺傳產生下一代。

e. 判斷是否滿足終止條件。若滿足條件則停止遺傳操作，不滿足則繼續執行步驟d直到滿足終止條件。

f. 從最終的PID參數種群中選取適應度值最大的PID參數個體，將該個體反編碼得到優化的PID控制參數。

4 仿真研究

4.1 數值仿真

對一個帶有純時延的二階對象進行了仿真試驗。被控對象傳遞函數為：

均值為0、方差為0.01的隨機擾動信號a經過擾動模型疊加在系統的輸出端，擾動模型為：

系統設定值輸入r=33，利用經驗法整定獲得一組PID控制器參數K=1.15，K=0.2，K=1.8，參考這組參數確定筆者所提方法的PID參數范圍。為了避免產生過大、不切實際的控制作用，將PID控制作用輸出限制在［-10，10］。遺傳進化100代得到優化結果，優化后PID參數K=0.2100，K=0.0073，K=0.6892，將兩組PID參數作用下的控制效果進行對比。目標函數J的優化過程和Hurst指數變化過程如圖4所示，兩組PID參數控制作用對比如圖5所示，系統輸出響應曲線對比如圖6所示。

由圖4～6可知，經驗法參數作用下的系統輸出誤差較大，PID控制器控制作用過大，系統Hurst指數為0.162 5，系統控制效果不太理想。經過筆者所提方法優化，目標函數J逐漸減小并趨于穩定，Hurst指數從0.162 5優化到0.454 4，處于控制性能指標的最優區間，控制性能得到了提高。系統輸出動態響應速度快，輸出值迅速達到設定值且輸出誤差小，限制了過分強烈的控制作用，控制系統取得滿意的控制效果。

4.2 工業實例

筆者以某工廠脫硫漿液pH值控制回路為工業實例進行分析。脫硫漿液pH值在5.5左右時脫硫效果最好。通過采集某電廠控制系統中的實際運行數據進行辨識，脫硫漿液pH值控制系統的傳遞函數為：

pH設定值r=5.5，使用經驗法整定得到PID控制器參數K=0.4，K=0.1，K=0.3。經過100代的遺傳進化得到優化后的PID參數K=0.2478，K=0.0041，K=0.4836，將兩組PID參數作用下的控制效果進行對比。目標函數J的優化過程和Hurst指數變化過程如圖7所示，兩組PID參數控制作用對比如圖8所示，系統階躍響應曲線對比如圖9所示。

由圖7～9可知，經驗法參數作用下的控制系統輸出誤差較大，系統Hurst指數為0.152 9，系統控制效果不佳。使用筆者提出的方法進行優化，可以看到目標函數J逐漸減小，優化PID參數作用下控制系統的Hurst指數為0.504 7，處于控制性能的最優區間，系統控制性能得到了提高。系統控制作用變小，控制能量小，保證執行器的安全長久使用；系統輸出穩定在設定值附近且誤差小，滿足脫硫漿液pH值的控制要求，能夠達到較好的脫硫效果，同時滿足煤炭燃燒煙氣的排放要求。

5 結束語

筆者提出一種基于Hurst指數的PID參數優化方法，使用遺傳算法來求解這個優化問題。研究結果表明，筆者所提方法能夠有效增強PID控制器參數的優化效果，提高PID控制系統的控制性能。在后續工作中將進一步研究目標函數的定義、權重系數的選擇，研究使用其他優化算法求解目標函數，以提高控制系統的性能。該方法是針對單變量系統的，將研究擴展到多變量系統將是今后要開展的工作方向之一。

參 考 文 獻

［1］? ?ENDER D B.Process control performance： Not as good as you think［J］.Control Engineering Practice，1993，40（10）：180-190.

［2］? ?HURST H E.Long?term storage capacity of reservoirs［J］.Trans Amer Soc Civ Eng，1951，116：770-799.

［3］ SRINIVASAN B，SPINNER T，RENGASWAMY R.Control loop performance assessment using detrended fluctuation analysis （DFA）［J］.Automatica，2012，48（7）：1359-1363.

［4］? ?HARRIS T J.Assessment of control loop performance［J］.The Canadian Journal of Chemical Engineering，1989，67（5）：856-861.

［5］? ?HUANG B，SHAH S L，KWOK E K. Good，bad or optimal Performance assessment of multivariable processes［J］.Automatica，1997，33（6）：l175-1l83.

［6］? ?GRIMBLE M J.Controller performance benchmarking and tuning using generalized minimum variance control［J］.Automatica，2002，38（12）：2111-2119.

［7］? ?HUANG B. A pragmatic approach towards assessment of control loop performance［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，2003，17（7?9）：589-608.

［8］? ?PILLAY N，GOVENDER P.A data driven approach to performance assessment of PID controllers for setpoint tracking［J］.Procedia Engineering，2014，69：1130-1137.

［9］? ?DAS L，SRINIVASAN B，RENGASWAMY R.Multivar?

iate Control Loop Performance Assessment with Hurst Exponent and Mahalanobis Distance［J］.IEEE Transa?

ctions on Control Systems Technology，2016，24（3）：1067-1074.

［10］? ?MARYAM K，JAVAD P.Data?driven performance assessment of multivariable control loops using a modified Hurst exponent?based index［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part Ⅰ?Journal of Systems and Control Engineering，2021，235（6）：769-780.

［11］? ?蔣雄杰，羅雨颋，王印松，等.基于Hurst指數的火電機組控制系統性能評價方法［J］.控制工程，2021，28（9）：1850-1855.

［12］? ?ASTROM K J，HAGGLUND T.Automatic tuning of PID controllers［M］.North Carolina：Instrument Society of America，1988.

［13］? ASTROM K J，HAGGLUND T，HANG C C，et al.Automatic tuning and adaptation for PID controllers?A survey［J］.Control Engineering Practice，1993，1（4）：699-714.

［14］? ?PHU N D，HUNG N N，AHMADIAN A，et al.A New Fuzzy PID Control System Based on Fuzzy PID Controller and Fuzzy Control Process［J］.International Journal of Fuzzy Systems，2020，22（7）：2163-2187.

［15］? BENRABAH M，KARA K，AITSAHED O，et al.Adaptive Fourier Series Neural Network PID Contr?

oller［J］.International Journal of Control Automation and Systems，2021，19（10）：3388-3399.

［16］? ?UNAL M，ERDAL H，TOPUZ V.Trajectory tracking performance comparison between genetic algorithm and ant colony optimization for PID controller tuning on pressure process［J］.Computer Applications in Engineering Education，2012，20（3）：518-528.

［17］? FENG H，YIN C B，WENG W W，et al.Robotic excavator trajectory control using an improved GA based PID controller［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2018，105：153-168.

［18］? ?LI J S，LI W G.On?Line PID Parameters Optimization Control for Wind Power Generation System Based on Genetic Algorithm［J］.IEEE Access，2020，8：137094-137100.

［19］? ?WAKITANI S，YAMAMOTO T，GOPALUNI B.Design and Application of a Database?Driven PID Controller with Data?Driven Updating Algorithm［J］.Industrial & Engineering Chemistry Research，2019，58（26）：11419-11429.

［20］? ?YU H，GUAN Z，CHEN T W，et al.Design of data?driven PID controllers with adaptive updating rules［J］.Automatica， 2020，121：109185.

［21］? ?PENG C K，BULDYREV S V，GOLDBERGER A L，et al.Long range correlation in nucleotide sequences［J］.Letters to Nature，1992，356：168-170.

（收稿日期：2022-07-31，修回日期：2023-03-14）

PID Parameters Optimization Based on Hurst Index

SHAN Gang?sheng， WANG Zhi?guo， LIU Fei

（Key Laboratory for Advanced Process Control of Light Industry of the Ministry of Education，Jiangnan University）

Abstract? ?For purpose of improving the control performance of PID control process， a PID parameter optimization method based on Hurst index was proposed. Firstly， a control performance evaluation method based on the Hurst index was presented； then， through based on the Hurst control performance index and combined with the absolute error integral and the controllers output limitation， the objective function of PID parameter optimization was defined and PID parameters were obtained by using the genetic algorithm. Numerical simulation and industrial cases verify effectiveness of the method proposed.

Key words? ?PID parameter optimization， Hurst index， control performance assessment， genetic algorithm

作者簡介：單港生（1997-），碩士研究生，從事控制系統性能評價與優化等的研究。

通訊作者：王志國（1977-），副教授，從事工業過程控制性能評價和優化方面的教學與科研工作，zhiguowang@jiangnan.edu.cn。

引用本文：單港生，王志國，劉飛.基于Hurst指數的PID控制參數優化［J］.化工自動化及儀表，50（2）：158-164.