統領設計，適時滲透，凸顯核心

陳棉駒

筆者所在地區推進初中數學滲透數學思想方法的教學實踐，經過多年推廣取得了一定的成效，相當部分教師已能自覺運用數學思想方法開展教學。2022年6月，筆者參加區里一所初中的高效課堂評估活動，其中一位青年教師執教的課“多邊形內角和與外角和（第1課時）”（北師大版數學教材八年級下冊）備受好評。這節課教學設計巧妙，教學中自然而又適當地滲透和呈現了轉換與化歸、分類討論、數形結合等數學思想方法，培養了學生抽象能力、幾何直觀、推理能力等數學核心素養，達成了較好的教學效果。

然而由于教師對于數學思想方法的核心理解不夠到位，對其關鍵要素把握不夠準確，導致數學思想方法的教學未能深入開展。為推進滲透數學思想方法教學的進一步深化，本文將對該節凸顯數學思想方法的優質課作簡要敘述和點評，對部分教學的處理提出改進建議，并對數學思想方法教學如何走向深入提出思考。

一、凸顯數學思想方法教學的課例切片分析

環節1：課前回顧

教師引導回顧四邊形內角和的探究方法，通過連接對角線將四邊形分割為兩個三角形，為后續多邊形分割為三角形提供了思路和方法的類比對象。

環節2：課堂探究

活動1：探究多邊形內角和。教師讓學生自主探究五邊形的內角和，學生自然地從一個頂點出發連接兩條對角線，將五邊形分割為三個三角形，從而得出五邊形內角和為3×180°=540°。

活動2：探究其他的分割方法。學生經過獨立思考和小組討論，給出了將五邊形分割為三角形的其他方法，教師結合圖形歸納分割方法為從頂點出發、從邊上一點出發、從里面一點出發、從外面一點出發（如圖1至圖4）。學生展示分割的圖形后，教師用幾何畫板演示，并提問是否還有其他分割方法，學生回答應該還有其他的方法。

活動3：探究n邊形的內角和。從五邊形推廣至六邊形、七邊形，直至n邊形，通過表格呈現計算內角和的式子，學生分析內角和與邊數關系的規律，得出多邊形內角和公式。

活動4：對應練習。①九邊形內角和是？②一個多邊形內角和是900°，它是邊形？

教學改進建議一

此環節教師運用轉化思想指引學生探究多邊形內角和，將未知的、復雜的多邊形問題轉化為已知的、簡單的三角形問題，通過不同的分割方法（分割是轉化思想指導下的具體操作），讓學生明確問題解決的關鍵——將多邊形問題轉化為三角形問題，為之后特殊平行四邊形的學習、幾何問題的解決提供了有益的經驗。然而，將多邊形分割為三角形雖然是問題解決的關鍵，卻不是轉化思想的核心，轉化思想的核心是將新知轉化為已知，將復雜轉化為簡單，將高維轉化為低維。對本問題而言，三角形的內角和為180°是已知的，四邊形的內角和為360°同樣是已知的，探究多邊形（邊數大于4）內角和時，將多邊形轉化為三角形和四邊形的組合（如圖5），這種分割方法不僅是可行的，更有助于提醒學生關注轉化的核心，是有價值的。目前分割方法只關注了轉化的形式，卻忽略了轉化的本質。

活動2中，學生經歷獨立思考、小組討論，教師歸納總結，得到將五邊形分割為三角形的四種方法，培養了學生分類討論的意識。然而，教師教學時忽略了對于分類標準的討論，也沒有分析四種分割方法（即分類的四種結果）在邏輯上是否不重不漏。分類是在分類標準指導下進行的，只呈現分類結果而缺乏對分類標準的討論，是目前不少課堂在滲透數學思想教學時的常見問題。對本問題而言，分類標準可以是點與多邊形的位置關系，平面內的點只有在多邊形的頂點、邊上、內部以及外部四種情況，所以分割方法就只有四種，其他分割只是圖形的變化，并沒有本質的區別。建立符合邏輯的分類標準以指導分類，這樣分類才能不重不漏。

經歷圖形分割后，活動3將幾個特殊多邊形的內角和計算式子以表格形式呈現，行列的對比分析有助于找到內角和與邊數之間的規律，再推廣拓展至n邊形，通過圖形分割尋找數量關系，體現以形助數的思想方法。然而，數形結合的本質應該是，對同一問題可以從數和形兩個維度認識和理解，通過數形的轉換和結合，使得對該問題的認識更加深刻。在本問題中，通過連線將多邊形分割為三角形，如果從一個頂點出發（如圖1），由于相鄰兩個頂點的連線是邊，而非對角線，因此連接的對角線數量是n-2，從而分割成的三角形個數是n-2，因此n邊形的內角和即為

（n-2）×180°。如果從多邊形內一個點出發（如圖3），n邊形可以分割為n個三角形，內角和為n×180°，再減去中間的周角360°，則n邊形的內角和為（n-2）×180°。結合圖形分析或推導出邊數n和公式中n-2的邏輯聯系，從形和數兩個維度，對多邊形內角和形成更全面、更深刻的理解。

環節3：典型例題

如圖6，在四邊形ABCD中，已知∠A+∠C=180°，猜想∠B和∠D的關系。

利用多邊形內角和公式求出四邊形內角和是360°，再減去已知的∠A與∠C之和，即可得結果∠B+∠D=180°。

例題來源于教材，是對多邊形內角和公式的簡單運用，進而得出一個結論：如果四邊形有一組對角互補，那么另一組對角也互補。

環節4：議一議

剪掉一張長方形紙片的一個角后，紙片還剩幾個角？這個多邊形的內角和是多少度？學生通過思考、畫圖（如圖7）等具體操作后，利用多邊形內角和公式解決。

教學改進建議二

議一議的問題來源于教材，原來編排在探究正多邊形內角之后，教學中將其提前，作為典型例題之后的一個探究性問題，這樣的安排使內容銜接更為連貫。學生自主解決或與同伴交流，對問題進行分類討論，得到了三種剪切的結果，培養了思維的發散性。然而，對于思維嚴謹性和全面性的培養，還是略有欠缺。問題的關鍵如同前文提到的分割多邊形，只討論了分類的結果，卻沒有提出符合邏輯的分類標準。在本環節中，教師可以在學生得出分類結果后提出問題：還有其他的剪角方式嗎？如果有請畫出來，如果沒有請說明理由。通過問題迫使學生進一步思考，反思其中的分類標準。教材將問題設置為議一議，不只討論如何解決，更要討論為什么這樣解決，在表達、傾聽、質疑、答疑中，提升學生的數學表達素養。

本問題分類的標準可以是剪切線與長方形交點的位置，即剪切線過兩條邊、剪切線過一條邊一個頂點、剪切線過兩個頂點，因此只有三種情況，分類不重不漏。

環節5：探究正多邊形的內角

教師提問：能不能求得正五邊形的每個內角？

學生回答可以先求出五邊形內角和，再根據正多邊形內角相等的性質，將內角和除以5，從而求得每個內角的度數。

最后推廣出正n邊形的每一個內角為。

教學改進建議三

問題源于教材，直接提問有利于集中學生的注意力，調動思維，解決問題。然而，由于問題在邏輯上存在跳躍，學生只能被動地解決問題，而無暇思考問題從何而來。在本問題中，教師可以利用問題串引導學生進一步深入思考。

教師：已知如何求多邊形內角和，那么如何求每一個內角？（不要求學生回答，只是引起學生思考，同時體現思考問題的順序，從整體到部分）例如任意五邊形的內角能求出嗎？

學生：不能。

教師：為什么？

學生：任意五邊形每個內角不一樣。

教師：怎樣的五邊形才能求出內角？

學生：正五邊形。

教師：為什么？怎么求？

本課的兩個探究蘊含著特殊與一般的數學思想，探究多邊形的內角和體現了從特殊到一般的問題探究策略，探究正五邊形的內角體現了特殊化的思想。多邊形是抽象的、一般化的，難以直接進行研究，因此從具體的、特殊的五邊形開始，探究如何將五邊形問題轉化為三角形問題，探究多邊形內角和的度數與邊數的關系，并逐漸拓展到六邊形、七邊形，最后推廣一般化為n邊形。對特殊情況的分析越透徹，一般化的推廣就越順利。而關于任意五邊形和正五邊形性質的思考，是讓學生感受特殊化思想的一個很好切入點。任意多邊形不具備的性質，通過邊的特殊化，會得到內角相等的性質，即條件的特殊化會導致性質的特殊化，這個經驗對于之后特殊平行四邊形等的學習將有所幫助。

教學環節中還有對應練習、知識歸納、知識鞏固、達標檢測等環節，本文從略。

二、關于進一步深化數學思想方法教學的思考

1.提煉主要數學思想方法，統領教學設計

教材呈現的主要是問題和知識，教師一般也是圍繞兩者來進行教學設計，通過問題探究提煉知識，通過問題解決運用知識。而從知識到能力，從能力到學科素養，需要數學思想方法作為橋梁。為進一步深化數學思想方法教學，可以提煉該節課中蘊含的對問題探究、解決具有策略引領作用的數學思想方法，并從數學思想方法的視角，進行課堂教學設計。探究多邊形的內角和，運用從特殊到一般的思想方法，從特殊的、具體的五邊形開始，明確研究對象后，進一步思考研究的思路和方法。未知的是五邊形內角和，已知的是三角形和四邊形內角和，考慮運用轉換與化歸思想將五邊形問題轉化為三角形問題，具體的操作方法是分割（數學抽象為畫線）。為了探究多邊形內角和這個數量規律，借助圖形分割的方法，其中蘊含著“以形助數”的數學思想。因此，本課的設計應以特殊與一般思想為主線，以轉化和數形結合思想為重要輔助來進行教學設計。

2.適時滲透數學思想方法，貫穿教學過程

教學過程中應適時凸顯相應的數學思想，一般而言，在新知探究中滲透數學思想，在解題應用中運用數學思想，在歸納提煉中顯化數學思想。在探究多邊形內角和時，滲透了轉化、分類討論、數形結合等思想方法。在例題和練習中主要滲透了分類討論思想，在歸納時顯化了問題解決關鍵的數學思想——轉化。教師可將多邊形內角和問題（未知），轉化三角形內角和問題（已知），轉化是數學思想（寫在線下），具體方法是分割（寫在線上），本節課要解決的問題、解決的思想、解決的方法就清晰地呈現出來。

3.凸顯數學思想方法核心，促進教學深化

教師對數學思想方法的各要素應認識到位，教學時要凸顯其核心，才能讓學生理解數學思想方法的本質。轉化思想的核心是將新知轉化為已知，將復雜轉化為簡單，將高維轉化為低維。轉化為三角形只是一個方向，轉化為四邊形也未嘗不可，當然，從向最簡單轉化、向更具有普遍適用性轉化而言，轉化為三角形是更合適的選擇。分類討論思想的滲透應該包括分類討論的必要性、分類的標準、分類的結果、結果的討論等，教學時不能只限于呈現分類的結果。數形結合不僅是以形助數或以數輔形，而是對同一個問題從形和數兩個維度進行分析理解，尋求其中數與形的聯系。對于多邊形內角和問題的探究，既有圖形分割，又有數式規律的探索，正是利用數形結合進行數學思想方法滲透的良好契機。

責任編輯 羅 峰