復雜裝備系統彈性度量方法研究

楊博帆 張 琳 汪文峰 唐冬麗 丁爾啟 項 陽

在可靠性工程領域中,已開展了可靠性[1]、魯棒性[2]、恢復性[3]等相關研究,但大部分是針對裝備從故障到修復過程中的某一階段,難以從系統的角度描述裝備全過程的性能變化情況.“彈性”自引入生態學以來,就得到了各個領域的關注,并快速發展,其主要用于描述“系統遭受擾動后,抵御、吸收和恢復的能力”[4],能夠更為全面地反映裝備從遭受故障到修復的整個過程.

2004 年,Leveson[5]在研究系統安全工程時,提出了一種新的事故發生模型,奠定了彈性工程的基礎.隨后,越來越多的學者對彈性的概念進行了研究[6-9].Henry 等[10]認為“彈性”不同于可靠性工程,其本質是依賴于時間的函數,并將彈性過程分為三個狀態和兩個過程(如圖1 所示).目前,大量研究主要集中于軍事系統[11-14]和彈性電網[15-18]方面,研究焦點也逐漸從定義轉向彈性建模和度量[19].

圖1 彈性過程示意圖Fig.1 The resilience process

彈性度量是彈性工程從定性研究走向定量研究的關鍵.不同學者因研究對象不同,在對系統彈性進行度量時也有所側重[20-21],并沒有統一的標準化方法.目前關于彈性度量的研究主要是從系統彈性定義出發,并圍繞系統性能下降情況和恢復情況展開,其主要可以分為確定型度量和概率型度量兩大類[22-23].

確定型度量方法主要是依據系統彈性過程中性能的變化來度量系統的彈性.Bruneau 等[24]和Cimellaro 等[25]分別將系統遭受擾動至性能恢復過程中性能的損失和剩余性能作為彈性的度量,黃浪等[26]將系統性能的下降與應有性能之比作為彈性的度量,可以看作是Bruneau 方法的歸一化.Reed 等[27]、Zobel 等[28-29]和Ouyang 等[30-31]也都是以性能變化積分的形式對彈性進行度量.Li 等[32]在以積分形式對彈性度量的基礎上,增加了恢復時間作為彈性的度量方式.以上方法都假設系統性能變化是唯一確定的,并沒有考慮擾動及性能變化的不確定性.

概率型度量是考慮到系統受到擾動、性能降低以及恢復時間都存在隨機性,利用概率等參數進行度量的方法.Bruneau 等[24]通過系統性能降級和恢復時間達到閾值的概率進行度量,Chang 等[33]給出了具體公式.與之類似,Li 等[34]用系統在t0時刻處于故障域且在t1時刻處于安全域的概率度量彈性.Cimellaro 等[25]通過考慮多種不確定因素的期望對彈性進行度量.上述方法主要考慮了系統遭受擾動后的不確定性,但并未考慮遭受擾動后系統性能變化過程的連續性.Ouyang 等[30-31]將系統性能積分比概率化后求期望對彈性進行度量,雖然無法得到具體的概率分布,但該方法很好地建立起了概率型度量和確定型度量之間的聯系.

上述方法均通過性能變化及相關概率等通用的系統描述方式進行彈性度量,并未涉及系統自身所固有的特定屬性,因此,也有不少學者考慮系統的特殊性,通過系統固有參數對彈性進行度量.石建偉等[35]在對軍事體系超網的研究中,以性能恢復時間度量系統彈性.崔瓊等[36]針對指揮信息系統超網,將系統各階段能力的乘積作為系統彈性的度量.榮明等[37]在對作戰體系進行研究時,將各個系統的魯棒性(性能降低程度和速度)和恢復性(性能恢復程度和速度)進行整合,得出體系結構彈性的度量.Zhang等[38]利用網絡固有參數分別定義了邊彈性和節點彈性,通過對網絡流速的分析,并結合上述兩種彈性得出網絡彈性的度量.

由于裝備系統所遭受擾動的不確定性、遭受擾動后性能變化的多樣性,以及裝備性能變化過程的連續性,單獨采用確定型、概率型度量方法或直接通過固有參數對彈性進行描述,均難以反映裝備從故障到修復全過程的性能.因此,本文主要從彈性工程理論出發,采用裝備固有的可靠性工程參數,考慮裝備性能變化全過程和不確定性,對復雜裝備系統進行度量.本文的主要內容安排如下: 第1 節提出了一種簡單裝備系統彈性度量方法;第2 節結合子系統性能和系統結構對整個系統的影響,對復雜裝備系統彈性進行了度量;第3 節是彈性度量的一個應用案例,對給定系統下參數變化對彈性的影響以及基于彈性度量的組件重要度進行了仿真分析;第4 節對全文進行了總結.

1 簡單裝備系統彈性度量方法

在某項任務中,裝備系統的彈性過程表現為遭受擾動至系統恢復.其中性能恢復既可以從系統工程的角度通過任務重組,使其現有能力能夠滿足新任務的需求;也可從裝備本身出發,通過對故障件的維修使性能得到恢復.本文主要考慮裝備可靠性工程相關理論,從裝備故障和修復的角度出發對彈性過程進行描述,即裝備系統所受擾動并造成影響的形式主要表現為故障,性能恢復過程為故障修復.

其遭受擾動后的彈性過程為裝備故障并修復的過程.因此,選取裝備固有的可靠性工程參數對彈性進行度量,可以將裝備的維護、故障、維修等過程聯系起來,系統地描述裝備性能變化全過程.

裝備系統從結構復雜性上可分為簡單系統和復雜系統.其中,簡單系統為不包含子系統的裝備系統,通常為裝備最小可更換單元,故障模式單一,其可靠性工程參數如故障率、平均故障間隔時間(Mean time between failure,MTBF)、修復率和平均故障修復時間(Mean time to repair,MTTR)唯一確定.

1.1 彈性度量表征參數

1) 故障率: 是裝備在t時刻發生故障的概率,是與時間相關的函數,反映裝備的可靠性.對于典型裝備故障服從“浴盆曲線”,其工作穩定后故障率近似為常數.

2) MTBF: 標志著一個裝備平均無故障時間,為該型裝備壽命的平均值,反映裝備的可靠性.

3)修復率: 是裝備在t時刻被修復的概率,反映裝備的修復性.當維修時間服從指數分布時,修復率為常數.

4) MTTR: 是排除故障所需實際修復時間的平均值,包含了維修時間和維修等待時間,反映裝備的修復性.

以上參數根據裝備的不同服從不同的分布(如指數分布、對數正態分布等)[39],在工程上可通過統計或加速壽命試驗得到近似值.

1.2 混合型彈性度量方法

對于裝備系統,單一采用確定型或概率型彈性度量均難以全面描述裝備系統的彈性過程,需充分考慮性能變化的連續性和故障發生及修復的不確定性.

在Cimellaro 等[25]關于彈性度量方法的基礎上,考慮一簇可能發生的性能變化,若令Q(t) 表示系統在擾動后性能變化曲線的集合,且Qi(t)(t),P(i)為對應曲線的概率,則裝備系統彈性的度量表達式可表示為

其中,性能變化曲線由擾動和恢復事件、性能變化情況及整個過程耗時共同確定.但性能變化曲線通常難以直接獲得,對于具體系統,必須從其特性出發得到可行的彈性度量表達式.考慮彈性過程的連續性和隨機性,將系統彈性表示為彈性過程的幾個階段之和.

式中,R為系統彈性,X為擾動事件的集合,QF為性能降級曲線的集合,QR為性能恢復曲線的集合,t0和分別為擾動發生時刻和系統允許的最大恢復時刻,Ri,i1,···,4,分別為系統在性能降級、性能維持、性能恢復和性能恢復后四個階段中,系統性能可能發生的一簇變化積分的期望,其中后一階段可能的性能變化與前一階段性能的變化情況相關.

圖2 陰影部分面積為某次擾動后系統剩余性能的積分,式(2)為系統剩余性能積分的期望與系統應有性能積分(圖中矩形ABCD面積)之比.R1～R4分別為圖中矩形ABB1A1、A1B1B2A2、A2B2B3A3、A3B3CD*陰影部分面積,表達式為

圖2 混合型度量示意圖Fig.2 Hybrid metrics

其中,PF(x)是系統發生擾動x的概率;PF(QF|x) 是系統在擾動x條件下性能降低曲線為QF(t)的條件概率;PR(x)是系統在擾動x下的恢復率;PR(QR|x,QF)是系統在擾動x,性能降低曲線QF(t) 條件下,性能恢復曲線為QR(t)的條件概率;t1,,t2和分別是系統性能降級完畢時刻、性能開始恢復時刻、性能恢復完畢時刻以及系統允許的最大恢復時間,由擾動x、性能降級過程和性能恢復過程共同確定.

1.3 簡單裝備系統彈性度量

裝備系統擾動主要來自于裝備故障,性能恢復來自維修事件.因此,PF(x)為系統發生故障x的概率,PR(x)為系統在故障x時的修復率.對于簡單裝備系統,由于故障模式單一,上述參數可以用裝備的故障率PF和修復率PR表示,且條件概率PF(QF|x)1,PR(QR|x,QF)1.

通常情況下,故障瞬間裝備系統性能降低至某一恒定值,并且在修復完成時刻性能恢復至一定水平.因此,根據式(1)～ (5),簡單裝備系統的彈性度量可以表示為

其中,PF為裝備的故障率,PR為修復率,qF為歸一化的系統降級后性能,qR為歸一化的系統修復后性能,TMTTR+MTBF.圖3 展示了裝備系統發生故障并恢復的性能變化過程,R為圖中陰影部分面積與ABCD面積之比的期望.

圖3 裝備系統彈性過程Fig.3 Resilience process of equipment system

式(7)主要分為兩部分: 第1 部分 1-PF表示系統無故障的情況;第2 部分PF(PR(MTTR×qF+MTBF×qR)+(1-PR)qF T)/T表示系統發生故障的情況.括號內也包含兩部分,PR(MTTR×qF+MTTR×qR)表示可修復的情況;(1-PR)qF T表示無法修復的情況.

若令αMTTR/T表示系統失效時間比,此時,式(7)可化為

其中,qR的取值范圍為 [qF,1],其余所有參數的取值范圍均為 [0,1].

1.4 靈敏度分析

由式(8)可以看出,影響裝備系統彈性的主要因素為故障率PF、修復率PR、故障后性能qF、修復后性能qR和系統失效時間比α.

當其中一個參數確定時,令其余參數在取值范圍內變化,所得R的均值作為該參數在此確定值下的彈性度量期望.上述參數的彈性期望變化如圖4所示,其中PR和α的變化曲線重合.不同參數對應的彈性期望變化速度如圖5 所示.可以看出,PR的彈性期望變化速度最快,其次是qF和qR,變化最慢的是PF和α;對于彈性期望均值,qR明顯低于其他參數.

圖4 彈性期望變化情況Fig.4 Changes of resilience expectation

圖5 彈性期望變化速度Fig.5 The rate of changes of resilience expectation

在對系統進行設計或優化時,應優先考慮優化對彈性影響程度最大的參數,最后考慮對彈性影響最小的參數.可以看出,針對上述情況,在參數進行優化時,應按照如下重要順序考慮:

1)使系統修復率足夠高,實質是提高系統的恢復性;

2)使系統故障后性能盡可能保持,實質是提高系統的魯棒性;

3)保證系統修復后性能足夠高,實質是提高系統的恢復性;

4)確保系統故障率和系統故障時間比足夠低,是恢復性和可靠性的共同體現.

2 復雜裝備系統彈性度量

復雜裝備為包含子系統的裝備系統,其中各子系統均含有各自的故障率PF,修復率PR,MTBF和MTTR等參數,共同構成整個復雜系統的可靠性工程參數.且構成復雜系統的子系統可靠性相互獨立,任何子系統的故障和修復對其他子系統無影響.

2.1 復雜系統特征分析

多個子系統構成的復雜系統特性由子系統特征及其相互關系共同構成.在可靠性工程中,通常認為系統故障導致性能喪失.子系統故障時,復雜系統可能出現性能喪失、下降和無影響三種情況,而采用單一的故障率PF、修復率PR、MTTR和MTBF等參數無法全面準確描述該情況.因此,從簡單裝備到復雜裝備是從單一參數組描述到多參數組描述的過程.如由兩個子系統組成的復雜系統,無故障的概率為 (1-PF1)(1-PF2),故障的概率由PF1(1-PF2)(僅子系統1 故障)、(1-PF1)PF2(僅子系統2 故障)、PF1PF2(子系統均故障)共同表示,且系統故障時性能并未完全喪失,由故障子系統所決定.

子系統按照一定關系組成復雜系統,既有功能的“涌現”,也存在冗余設計,性能并不是簡單的疊加關系.因此,當子系統故障時,復雜系統性能的下降需綜合考慮各子系統性能及其相互關系.

圖6 為一個信息傳輸系統的網絡拓撲結構圖,其中節點S為初始節點,節點T為終末節點,網絡的邊表示各子系統,邊的權值為單位時間子系統的最大傳輸量,節點表示子系統的邏輯關系.該系統最大傳輸速率實質上為復雜網絡最大流,通過采用Ford-Fulkerson 法、最短增廣鏈法、預流推進法等優化算法可求得該系統的最大傳輸速率為6,子系統1和子系統2 的傳輸速率分別為5和2,二者之和大于系統最大傳輸速率.

圖6 含有7 個子系統的復雜傳輸系統網絡拓撲結構Fig.6 Network topology of complex transport system with 7 subsystems

2.2 復雜系統彈性度量基本思路

構成復雜系統的子系統均可能發生故障,各自的故障對整個系統的影響也不同,且對子系統修復時可能無法修復所有子系統.假設系統發生故障時,所有故障子系統均同時失效,且在此次系統故障未修復時,無新的子系統發生故障,則包含兩個子系統的彈性過程如圖7 所示.其中,TiMTTRi+MTBFi,MTTRi和MTBFi分別為各子系統的平均故障修復時間和平均故障間隔時間.

圖7 含有2 個子系統的彈性過程Fig.7 Resilience process with 2 subsystems

采用式(1)度量復雜系統彈性依然可行,與簡單系統的區別是,Qi(t)(t) 表示其中某一種變化情況.如圖8 所示,這種情況包括了擾動后無子系統發生故障、故障后至少一個子系統修復以及故障后所有子系統均無法修復的所有可能.

圖8 含有子系統的復雜系統彈性過程Fig.8 Resilience process of complex system with subsystems

當多個子系統發生故障時,修復順序不同會導致差異化的性能變化曲線,即修復策略是復雜系統彈性的重要影響因素.本文假設裝備均在理想情況下進行維修,即充足的資源能夠保障所有故障的子系統同時修復,且故障子系統的性能為0 (有故障),子系統修復后性能恢復至1 (無故障).

2.3 復雜系統彈性度量計算方法

令X表示故障子系統的一簇集合,X為其中一個故障子系統的集合,qF(X)表示集合X中的子系統故障時,整個復雜系統的性能.Y表示某一集合的子系統故障后,修復子系統的一簇集合,對于,有Y?X.

由于子系統在故障后同時修復,因此子系統按照MTTR從小至大的順序完成修復事件.對于修復子系統集合Y,各子系統按照修復順序進行編號.令qR(X|i) 為編號i的子系統修復后系統的性能,qR(X|0)qF(X)為系統故障后性能,Ti為該子系統的MTTR,T00為初始時刻,Tmax(MTTR+MTBF)為彈性過程總用時,則復雜系統彈性過程可由式(9)～ (11)表示.

圖9 展示了含有2 個子系統的復雜系統性能變化曲線,包括系統無故障 (A-H-L)、故障后無法修復 (A-B-C-E-I)、故障后部分子系統修復(A-B-C-DG-K和A-B-C-E-F-J)、故障后完全修復(A-B-C-DG-H-L)等.對于該系統,上述表達式表示了虛線與坐標軸圍成的部分面積的期望.

圖9 系統性能變化曲線Fig.9 System performance change curve

2.4與簡單系統彈性度量關系

簡單系統可通過一組可靠性參數度量其彈性,考慮到構成復雜系統的多個子系統的多種可能變化,其彈性度量應基于多組可靠性參數.當復雜系統彈性子系統數量為1 時,系統簡化為簡單系統,此時只存在一組故障-修復模式.系統無故障即為該子系統無故障,則式(9)可寫為

系統故障后不可修復即為該子系統無法修復,則式(10)可寫為

系統可修復即為該子系統可修復,則式(11)可寫為

此時,故障子系統集合X僅含有1 個子系統,式(12)可寫為

將式(13)～ (15)代入后,式(16)與簡單系統彈性度量式(7)相同.說明簡單系統彈性度量是復雜系統彈性度量的一種特殊情況.

3 應用案例分析

本文以某一信息傳輸系統為例,分析可靠性參數變化對系統彈性的影響,通過基于彈性理論的組件重要度對各子系統對系統的影響進行分析.

3.1 復雜裝備系統彈性分析

對于某一由12 個子系統構成的信息傳輸系統,其網絡拓撲結構如圖10 所示,其中S為初始節點,T為終末節點,網絡的邊為各子系統,邊的權值為子系統的最大傳輸速率,節點表示子系統的邏輯關系.各子系統的故障率PF、修復率PR、MTTR和MTBF由表1 所示.不同裝備由于功能的不同,系統性能的衡量標準也不同,該信息傳輸系統的性能可采用系統的最大傳輸速率(從S至T)來衡量.按圖6 中所述優化算法可求得系統的最大傳輸速率為14.

表1 復雜系統可靠性參數Table 1 Reliability parameters complex system

圖10 含有12 個子系統的復雜傳輸系統網絡拓撲結構Fig.10 Network topology of complex transport system with 12 subsystems

表2 為故障子系統的一簇集合X和故障子系統集合X下修復子系統一簇集合Y的部分數據,其中空集表示無故障或無修復.經計算,該系統的彈性為R=0.7154.

表2 故障和修復子系統集合(部分)Table 2 The sets of failed and repaired subsystems(portion)

通過計算,所有子系統的故障率PF、修復率PR、MTTR和MTBF與系統彈性的關系如圖11所示.

圖11 系統彈性變化Fig.11 The changes of system resilience

可以看出,當PF提高/PR降低/MTTR增大/MTBF減小時,系統彈性減小;當PF降低/PR提高/MTTR減小/MTBF增大時,系統彈性增大.故障率變化對系統彈性的影響較其他參數大.該變化趨勢與簡單裝備系統彈性度量中各參數對彈性的影響一致.

3.2 基于彈性理論的組件重要度分析

組件重要度作為描述復雜系統中子系統的一種重要參數,可以提供系統優化設計或可靠性增長的方向,提高系統設計優化的效費比,避免過設計、欠設計等問題.目前已有學者通過子系統變化對系統彈性的影響來衡量組件重要度[22,40-41].本文結合上述思想,采用子系統故障前后系統彈性的變化對組件重要度進行衡量和分析.

定義 1.子系統i的重要度是該子系統故障狀態下系統彈性與正常情況下系統彈性的歸一化差值.

通過計算可得各子系統故障時系統的彈性和組件重要度如圖12 所示,具體值見表3.

表3 歸一化的子系統重要度Table 3 The normalized importance of subsystems

圖12 組件重要度和系統彈性Fig.12 Component importance and system resilience

由仿真結果可得,系統的組件重要度從高到低依次為10,(2,12),7,(1,6,8,9),3,11,4,5 (括號內數值表示重要度相同).對于該復雜系統,子系統4和子系統5 的組件重要度均較低,從網絡拓撲結構也可看出,這2 個子系統在系統傳輸過程中主要承擔了節點A和節點B輸出的備份功能;子系統10 的重要度較高,這是因為傳輸至節點T的通路只有子系統10和子系統12,且子系統10 的最大傳輸速率更高,其故障必將嚴重影響整個系統.可以看出,采用本文所提出的彈性度量方法,按照通常采用的組件重要度計算方法,能夠合理地反映出系統的應對擾動的能力和子系統的重要程度.

4 結束語

本文根據裝備系統的特點,基于傳統的彈性度量方法,利用故障率、修復率等可靠性工程參數,分別給出了簡單系統和復雜系統的混合型彈性度量方法,并對參數的靈敏度進行了分析.最后通過基于彈性理論的組件重要度應用案例,分析了子系統對系統的影響.結果表明,該度量方法能夠較好地描述裝備系統在遭受故障時性能的維持及修復能力.本文針對復雜裝備系統的彈性度量方法,假設為理想狀況,即維修資源足夠所有故障子系統同時修復.當維修人員和備件有限時,維修策略將影響度量公式中的系統修復部分的結果,該情況下彈性度量公式如何表示,以及如何選取最優維修策略,是下一步需要解決的問題.