非矩形陣列極化單脈沖雷達雙源分辨方法

王宇飛，馬佳智，唐江瀾，施龍飛

（國防科技大學電子科學學院電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，湖南長沙 410073）

0 引 言

單脈沖作為一項主流技術被廣泛應用于目標跟蹤和精確制導等領域，精確估計目標角度是單脈沖雷達的基本要求。然而，單脈沖測角中需要面對的一個經典難題就是雷達3 dB 主瓣內存在不可分辨的雙目標。Nickle 在文獻［1］中基于傳統三通道（和通道、方位差通道和俯仰差通道）單脈沖雷達提出了估計兩個空間距離相近目標的參數擬合模型，但是該模型需要多個脈沖才能得到最優解。文獻［2］在研究復單脈沖比統計分布的基礎上，提出了使用矩法估計兩個瑞利目標角度的方法。文獻［3］利用最大似然原理改進了文獻［2］的方法，從而提高了估計的準確性。然而，這些方法都需要充分的先驗知識和連續的多個脈沖。Sherman在文獻［4］中提出了一種使用兩個脈沖且不需要先驗信息的確定性方法用于估計不可分辨雙目標的角度，但是當兩目標具有相似的方位角或仰角時，該方法的估計結果會發生模糊。Lee 在文獻［5］中對Sherman 的方法進行了改進，通過求解高次多項式克服了角度估計模糊的問題。但是，這兩種方法都需要目標回波滿足Sherman 條件，即在兩個脈沖之間兩目標的相位是獨立變化的，而幅度比保持不變。

Zheng 在文獻［6］中提出了一種解析的單脈沖雙源分辨（Two-target Resolution,TR）算法，該算法使四通道（和通道、方位差通道、俯仰差通道和雙差通道）單脈沖雷達（Four-Channel Monopulse Radar,FCMR）能夠在單個脈沖內估計不可分辨雙目標的角度，且不受限于Sherman 條件。Crouse 在文獻［7］中簡化了Zheng 的方法，使該方法具有較少的反三角函數運算。文獻［8］提出了一種對文獻［7］的補充算法，該算法可適用于發射4 個傾斜波束的比幅單脈沖雷達。以上方法盡管都使用單個脈沖實現了不可分辨雙目標的角度估計，但估計角度模糊的問題依然存在。

針對估計角度模糊的問題，文獻［9］提出了另外增設一組天線的解決方法，新增設的天線與初始的4個天線相比繞雷達視軸方向旋轉了30°。類似地，文獻［10］在雙極化陣列中，通過將垂直極化子陣繞雷達視軸旋轉了45°，構造交錯子陣結構，實現了對兩目標角度的無模糊估計。此外，文獻［11］提出了一種基于子陣的四通道單脈沖方法用于數字陣列雷達的TR，通過坐標系旋轉解決了角度模糊的問題。

然而，當單脈沖雷達配備非矩形陣列時，如圓形陣列、橢圓陣列或菱形陣列，TR算法會由于天線方向圖的不一致而產生嚴重的估計誤差。針對這一問題，文獻［11］提供了一種解決方案，但其要求天線陣列上的每個陣元都配備單獨的接收機，并且該方法犧牲了目標回波的部分功率。

本文提出了一種雙脈沖雙源分辨（Dual-pulse Two-target Resolution,DTR）方法，該方法適用于配備任意非矩形陣列的極化FCMR。該方法包括兩部分:雙脈沖解算和雙極化融合，主要創新點如下:

1）本文推導了一種新的雙脈沖解算方法，消除了由非矩形陣列引起的誤差。利用目標回波的起伏特性，從接收到的兩個連續脈沖中可以獲得8個方程。據此，推導得到了兩個關于目標角度的匹配函數。這兩個匹配函數都有且只有一個零點，并分別對應了兩目標的真實角度位置，因此通過搜索兩個匹配函數的零點可以得到兩個目標的精確角度估計。

2）本文通過雙極化融合消除了角度估計模糊，同時提升了估計精度。基于全極化交錯子陣（Full-polarization Interlaced Subarray Partition,FISP）結構的雷達，1）中的方法可以從雷達的兩個主極化通道中穩定地獲得兩組估計結果，并且其中至少有一個極化通道的估計結果是無模糊的。因此，利用多個脈沖將單個極化通道的匹配函數進行銳化后（先多脈沖取平均，再取對數），再將兩個極化通道的匹配函數對應加權，從而得到融合匹配函數，繼而實現對兩目標角度無模糊的、精確的估計。

1 信號模型

本文考慮配備了FISP 結構的非矩形天線陣列全極化單脈沖雷達，該雷達可以通過在不同極化通道中發射正交的波形獲得目標的極化散射矩陣，從而保證了兩個主極化通道的接收信號都具有足夠的幅度響應。不失一般性，本文以圓形的天線陣列為例。FISP結構的子陣劃分如圖1所示。其中不同的顏色代表不同的子陣分區。在圖1（a）中，水平極化（H）子陣劃分為H00，H01，H10和H11。在圖1（b）中，垂直極化（V）子陣的劃分相對于H 子陣順時針方向旋轉了β，β是旋轉角（本文中β=45°，若陣列形狀為橢圓形或菱形時，β的值應作相應調整）。

圖1 圓形FISP陣列

圖1 中，陣元間的列間距和行間距分別為a和b。H子陣陣元的導向矢量為

式中sx(φ,θ)是方位向導向矢量，sy(φ,θ)是俯仰向導向矢量，j 是單位虛根，k=2π/λ是波數，λ是波長。Φ=sin(φ)cos(θ),Θ=sin(θ)是目標在H 子陣上響應的空域相位角，其中φ和θ分別是目標的方位角和俯仰角。

V 子陣的導向矢量表達與H 子陣的導向矢量類似，區別在于兩種極化子陣上的陣元對于目標的空域相位角的響應不同，其關系為

式中Φ′和Θ′是目標的空域相位角在V 子陣上的響應，β是旋轉角。為了敘述方便，下文的模型介紹均以H 子陣為例。每個子陣的導向矢量矩陣Smn(φ,θ)為［11］

式中Wmn∈?M×N是Hmn(m,n=0,1)子陣陣元的權值矩陣，其中的元素（只包含0 或1）與Hmn子陣的陣元一一對應，屬于Hmn子陣的陣元為1，其余為0；⊙是Hadamard 乘積。則Hmn子陣的方向圖在(φ,θ)處的增益可以表示為

式中sij(φ,θ)是Smn(φ,θ)的元素。對于兩個起伏目標，H子陣接收到的信號可以表示為

式中代表Hmn子陣接收到的第l(l=1,2)個脈沖的回波信號，代表H 極化通道接收的第i(i=1,2)個目標在第l個脈沖回波的復幅度，nmn是Hmn子陣輸出的高斯白噪聲，xpi和ypi分別是第i個目標對于Hmn的相位中心到y軸和x軸的距離（為了書寫簡便且不影響讀者理解，下文省略相位中心的目標編號下標i）。當天線陣列的形狀是矩形時，（xp,yp）是矩形子陣的幾何中心，且與目標位置無關，并且|P00(φ,θ)|=|P11(φ,θ)|=|P10(φ,θ)|=|P01(φ,θ)|。但是，在非矩形天線陣列中，如圓形天線陣列、橢圓形天線陣列和菱形天線陣列，對于位于(φ,θ)的目標，xp和yp表示為

式中∠表示取復數的相位角，且|P00(φ,θ)|=|P11(φ,θ)|≠|P10(φ,θ)|=|P01(φ,θ)|。為了書寫簡潔，定義γ和δ:

結合文獻［11］中對子陣因子α的定義:α=|P01(φ,θ)|/|P00(φ,θ)|，則H 通道和V 通道接收到兩個脈沖的雙目標的回波的模型可以表示為

式中:l表示脈沖數；γ′i和δ′i是FISP 陣列V 通道的目標參數，與H 通道對應參數的含義相同。

2 提出的方法

本章的內容是DTR 方法的信號處理過程。DTR 方法被分為兩部分:雙脈沖解算和雙極化融合。在2.1 節雙脈沖解算中，詳細推導了單極化通道利用兩個脈沖無誤差求解目標角度的過程，在2.2 節雙極化融合中，介紹了如何利用FISP 陣列的兩個主極化通道進行聯合估計，從而在克服了角度模糊問題的同時提高了估計精度。

2.1 雙脈沖解算

在本節中以使用H 通道接收信號求解角度的過程為例。對于接收到的兩個脈沖回波（式（11）），其中有8 個未知量和8 個等式，這種情況在數學理論中是可解的，求解過程如下。

首先，利用克萊默法則求解兩目標在每個回波中的復幅度和，得

然后將式（11）與式（15）相比消去，將式（12）與式（16）相比消去，化簡得

式中l=1,2，代表第l個脈沖。在式（17）中將第一個脈沖得到的δ1與第二個脈沖得到的δ1作除法，即(l=1)/(l=2)，消去δ1，同理利用式（18）中兩個脈沖的等式消除δ2，從而得到下面的等式:

式（19）中的未知量只有γi與αi，也即式（19）確立了單個目標的γi與αi的確定性關系。另一方面，將方程組（11）的第三行與第二行的位置進行調換，重復以上計算過程，可以得到單個目標的δi與對應的αi的確定性關系如下:

為了得到γi與αi和δi與αi的顯性關系式，將式（19）和式（20）取模，化簡得到

其中，

顯然式（21）和式（22）分別是關于γi和δi的一元二次方程，求解該方程可以得到γi和δi與αi的顯性關系式:

式（30）和式（31）表征了單個目標的γi或δi與αi的關系，其中±，在i=1 時取加（減）號，i=2 時取減（加）號。由于本文使用的非矩形陣列，所以αi未知，且無法解析表達［11］，于是想要得到γi或δi的解析形式的解是非常困難的。

但是，由式（7）已知γi,δi和αi都是關于(φ,θ)的函數，可以表示為fγ(φ,θ),fδ(φ,θ)和fα(φ,θ)。將式（21）和式（22）寫為關于(φ,θ)的函數的形式，通過分析發現，式（21）在兩目標對應的方位角處必定存在零點，式（22）在兩目標對應的俯仰角處必定存在零點。又因為式（21）和式（22）是一元二次方程最多只有兩個零點，因此式（30）和式（31）作為式（21）和式（22）的解，其4個值正好對應于兩個目標的4個角度值。若將式（15）寫作(φ,θ)的函數的形式，并進行整理得到式（32）和式（33）。

式（32）和式（33）的含義為:對位于(φi,θi)的兩個目標，式（32）的QHi(φ,θ)在對應的φi處是一條零域；式（33）的RHi(φ,θ)在對應的θi處是一條零域。于是將QHi(φ,θ)與RHi(φ,θ)對應相加，就可以得到只在(φi,θi)處存在一個零點的函數，如下:

結合函數圖像對式（37）進行說明。如圖2 所示，以其中一個目標位于（1.5°,1°）為例，函數QH1(φ,θ) 在方位角1.5°附近有一條零域，函數RH1(φ,θ)在俯仰角1°附近有一條零域，而FH1(φ,θ)則在（1.5°,1°）處存在唯一的零點。于是通過在3 dB主瓣波束寬度范圍內搜索式（34）的零點就可以精確估計目標的角度，該過程描述如下:

圖2 函數FH1(φ,θ)在（1.5o,1o）處存在唯一零點示意圖

至此，從H 通道得到了一組正確的角度估計結果。同理，從V 通道的接收信號中可以得到另外一組角度估計值，即

雖然上述過程消除了非矩形陣列帶來的誤差，但是若單獨使用某個極化通道估計兩目標角度仍然會存在估計結果模糊的問題。另外，由于H通道和V 通道的坐標系是交錯的，并不會出現兩個極化通道的估計結果同時模糊的情況。因此，若能夠聯合兩個極化通道的估計結果則可以很好地解決角度模糊問題。

2.2 雙極化融合

在上一節介紹了單極化通道的信號處理流程。兩極化通道接收信號的主要不同點在于:對于同一個目標，其空域相位角的響應不同，如式（3）所示。當使用H 極化通道估計兩目標角度時若兩目標具有相同的方位角或俯仰角，那么其估計結果會產生模糊。當使用V 極化通道估計兩目標角度時若兩目標的角度關系剛好滿足arctan((θ1-θ2)/(φ1-φ2))=±β，則其估計結果會模糊，其中β是V子陣相對于H子陣繞視軸的旋轉角。

因此，為了解決角度估計模糊的問題，提升算法的估計性能，本文利用多個脈沖將兩個極化通道的估計過程進行了聯合處理，流程如下:

1）從l(l=2,4,6,…)個脈沖中分別得到兩個極化通道的l2組估計結果。

2）分別計算每個極化通道估計結果的方差和σ2H（ii=1，2）。

3）分別計算兩極化通道中式（23）～（29）中各個系數次估計的均值，得到單極化通道的均值匹配方程，如下:

4）加權融合，若|σ2Hi-σ2Vi| ≤τmin(σ2Hi,σ2Vi)，將式（37）和式（38）的兩個函數分別取對數然后根據權值相加，如下:

其中τ是選擇門限，且

其中τ是選擇門限，且

否則，若|σ2Hi-σ2Vi|＞τmin(σ2Hi,σ2Vi)，我們直接選擇估計方差小的通道進行最終角度估計，即:若σ2Vi＞σ2Hi，則εi=1，ηi=0；若σ2Vi＜σ2Hi,則εi=0，ηi=1。需要注意的是，雖然計算均值使用的是l個脈沖，但是可以使用更多的L（L≥l）個脈沖來計算單極化通道的估計方差，以提升融合的性能。

最終的結果可以通過在3 dB 主瓣波束范圍內搜索式（39）的最小值得到，如下:

3 仿真分析

本章基于圓形陣列對本文提出的DTR 方法和文獻［7］中的傳統TR 算法進行了一系列仿真分析。首先展示了兩種算法的估計誤差，證明了本文的DTR 方法可以消除非矩形陣列的影響，并解決了角度模糊的問題。之后，比較分析了兩種算法的估計性能受兩目標相對位置和信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR）的影響。

在仿真中，考慮一個276 陣元的圓形陣列（每個子陣有69 個陣元），參考圖1，其中a和b都是半波長。其余仿真參數如表1 所示。我們設置了6個仿真場景來驗證DTR 方法的性能，兩目標為瑞利目標且能量相等。其中有5 個場景兩個目標的位置如表2 所示:場景1 是不存在角度模糊的場景；場景2 是在場景1 的基礎之上改變了兩目標的能量比；場景3是V 通道的估計結果會出現角度模糊的場景；場景4是H 通道估計結果產生角度模糊的場景；場景5 是兩極化通道估計性能相近的場景。在所有仿真中τ=0.3，且式（35）、式（36）和式（42）的搜索精度為0.01°。

表1 仿真參數

表2 不同場景下的目標位置

對于仿真使用的雷達，其4個子陣生成的天線方向圖如圖3 所示，其中4 幅圖從左到右從上到下依次對應于H00、H01、H10和H11子陣。從圖中可以發現，每個子波束的方向圖都是傾斜的橢圓，并且其任意一點的增益都滿足|P00(φ,θ)|=|P11(φ,θ)|≠|P10(φ,θ)|=|P01(φ,θ)|。這里4 個天線方向圖的不一致是導致TR 方法估計結果產生誤差的根源。

圖3 子陣方向圖

在下文的仿真結果中，圖例標注含義如下:DTR（H）和TR（H）表示H 通道兩種方法的估計結果；DTR（V）和TR（V）表示V 通道兩種方法的估計結果；DTR（V+H）表示DTR方法融合后的估計結果。

在場景1中，我們證明了DTR方法能夠消除非矩形陣列造成的估計誤差。50 次蒙特卡洛的仿真結果如圖4 所示。圖中顯示雙目標的位置被DTR方法精確估計，然而TR 方法的估計結果產生了嚴重的偏差。另外粗略的比較圖中TR 方法和DTR方法的估計點的離散程度可以看出，DTR 方法的估計精度遠高于TR方法。

圖4 場景1的雙源分辨結果

此外，在場景1 的基礎上，場景2 中考慮了目標2的能量比目標1的能量高出10 dB的情況，其估計結果如圖5 所示。與等能量情況的圖4 相比，兩種方法的估計結果的中心位置并未發生明顯變化，但是目標2的估計結果的離散程度有所下降。這說明兩種方法估計結果的均值不受目標相對能量的影響，目標能量的變化只影響了估計結果的方差。

圖5 場景2的雙源分辨結果（SNR1=20 dB，SNR2=30 dB）

結合場景3 和場景4 的仿真結果，對DTR 方法解決角度模糊的能力進行了驗證，對應場景的仿真結果分別如圖6 和圖7 所示。對比圖4，可以發現在圖6 中V 通道的估計結果發生模糊，圖7 中H通道的估計結果出現了模糊，但是雙極化融合后的估計結果在兩圖中都精確定位了兩目標的位置。這也證明了針對這兩種出現角度模糊的場景，DTR方法都能精確估計兩目標角度。

圖6 場景3的雙源分辨結果

圖7 場景4的雙源分辨結果

進一步，我們考慮了兩目標相對位置對估計性能的影響。進行1 000 次蒙特卡洛仿真后均方根誤差（RMSE）隨目標2 方位角變化的曲線如圖8所示。在這個仿真場景中，目標1 的位置固定于（1.5°，1.5°）；目標2從（-1.5°，-1.5°）移動到（1.5°，-1.5°）。從圖8 可以看出:1）DTR 方法估計結果的RMSE 比TR 方法估計結果的RMSE 要小得多；2）單極化通道估計結果的RMSE 隨角度變化的起伏較大；3）DTR 方法融合后的估計結果隨著目標角度的變化總是保持較低的RMSE；4）DTR 方法估計結果的RMSE 顯示，當H 通道和V 通道估計結果的RMSE相差較大時融合后的結果與二者較小的保持一致，當H 通道和V 通道估計結果的RMSE 相差較小時，融合后的RMSE 小于二者單獨的RMSE。這證明了DTR 方法中的雙極化融合不僅解決了角度模糊這一問題，還對估計精度有所提升。

圖8 RMSE隨目標2方位角度的變化（SNR=20 dB）

最后，我們分析了兩種方法在不同信噪比下的估計性能。當兩目標位于場景5的位置時，經過1 000 次蒙特卡洛仿真，兩種方法估計結果的RMSE 隨SNR 變化的曲線如圖9 所示。從圖中可以看出:1）隨著SNR 的增加RMSE 逐漸減小；2）DTR 方法的RMSE 顯著小于TR 方法的RMSE；3）在DTR 的三種估計結果中，融合后的估計結果的RMSE始終小于單極化通道的RMSE。這證明了雙極化融合方法對估計性能的提升非常穩定。

圖9 RMSE隨SNR的變化（場景5）

在本章的仿真中，我們證明了DTR 方法不僅消除了非矩形陣列造成的估計誤差，而且相比于TR 方法具有更高的估計性能。可以得出以下結論，DTR 方法能夠適用于配備非矩形陣列天線的極化單脈沖雷達（如圓形天線、橢圓形天線和菱形天線）進行精確雙源分辨。

4 結束語

本文提出了一種用于極化四通道單脈沖雷達的雙脈沖雙源分辨算法（DTR）。所提的方法可以適用于裝配各種形狀天線陣列的四通道雷達，如矩形、圓形、橢圓和菱形。該方法使用兩個連續的脈沖消除了非矩形陣列帶來的角度估計的誤差。基于應用FISP 架構的天線，該方法還可以通過兩個極化通道的估計結果進行融合從而提升角度估計性能。總之，DTR 方法實現了對位于3 dB 主瓣內不可分辨雙目標的快速、精確、穩定的角度估計。本文的仿真證明了所提方法對比傳統TR 方法具有更加卓越的性能。