極小樣本兩獨立定量資料假設檢驗方法比較

郭軼斌，李佳迅，吳 騁，郭 威，何 倩

1.海軍軍醫大學衛生勤務學系軍隊衛生統計學教研室（上海 200433）

2.海軍軍醫大學基礎醫學院（上海 200433）

在基礎醫學實驗研究中，研究對象以細胞、動物為主，一些實驗細胞或動物模型不僅構造困難，而且花費較大，如巴馬小型豬或恒河猴等，不僅動物本身費用較高，同時因倫理限制無法納入太多。因此，部分動物實驗的樣本量極小，如每組小于10 例[1-3]。統計學上為了保證一定的統計檢驗效率，常要求樣本例數不能過小。此外，在使用如獨立樣本t檢驗等參數檢驗方法時，還要求樣本服從正態分布和方差齊性的假設[4]。但在極小樣本的情況下，即使是不服從正態分布的樣本，在統計檢驗效率很低的情況下也無法拒絕H0假設（樣本服從正態分布或滿足方差齊性）。當獨立定量資料樣本不滿足正態分布或方差齊性假設時，可以使用對數據分布不敏感的非參數檢驗，對于兩組獨立定量資料，可以使用Wilcoxon秩和檢驗或Mann-WhitneyU檢驗來比較兩個樣本所代表的總體分布位置是否相同[5-6]。但這兩種方法是將樣本的原始數據編秩后再進行后續的假設檢驗，當資料服從參數檢驗的條件時，會導致樣本大量變異的信息損失，進而影響統計檢驗效率，增加犯Ⅱ類錯誤的概率[7]。當樣本量小于4 時，使用Wilcoxon 秩和檢驗的P值均大于0.05。Siegel 認為樣本量小于6 時，不能使用t檢驗[8]。祝國強等認為在對非正態極小樣本的定量資料進行統計推斷時，不適合使用t檢驗，推薦使用Wilcoxon 秩和檢驗[9]。林正大等認為在大樣本或偏離對稱性較遠的情況下，Wilcoxon 秩和檢驗更優[10]。對于統計學的頻率學派來說，假設檢驗和置信區間（Confidence Interval,CI）是一對相伴相隨的概念，在同一置信度/檢驗水準下，參數的置信區間未跨過拒絕域，假設檢驗則不能拒絕H0。Bootstrap 法是一種可以用來穩健地估計置信區間的非參數方法，其通過對原始樣本數據進行有放回抽樣得到統計量的經驗分布，從而估計統計量對應總體參數的置信區間[11]。在極小樣本時，Bootstrap 法能否達到其在大樣本中的穩健性，以及該方法估計的置信區間的精度也值得進一步探索。

本研究采用蒙特卡洛數據模擬方法，比較兩獨立樣本t檢驗、Wilcoxon 秩和檢驗和Bootstrap 置信區間法在解決極小樣本兩獨立定量資料比較中的表現，以期為相關實驗性研究提供方法學參考。

1 資料與方法

1.1 模擬數據的生成

通過蒙特卡洛數據模擬方法生成模擬數據，主要有以下幾個模擬情景。樣本含量：本研究主要模擬極小樣本量下的統計方法表現性能，共模擬5 種樣本量——每組各2、3、5、10 和20。均數差：共設置5 種均數差——0、0.5、1、2 和3。從均數相同的兩總體中抽樣，兩總體均數差為0，H0成立，且均數差的置信區間包含0，認為兩樣本來自同一總體，兩組樣本均數的不同由抽樣誤差造成，當統計檢驗方法拒絕H0時則認為發生I類錯誤。當兩樣本均數差不為0 時，兩樣本不是來自同一樣本，若統計檢驗方法未能拒絕H0，則認為發生Ⅱ類錯誤。樣本分布：共設置3 種總體分布，第1 種為兩樣本均服從總體方差為12 的正態分布，總體均數根據均數差確定（其中一組為0，即第一組的總體為標準正態分布）；第2種（偏態分布一）為兩樣本服從偏度系數為1.5，峰度系數為3.0 的偏態分布；第3 種（偏態分布二）為兩樣本服從偏度系數為1.0，峰度系數為2.0 的偏態分布[12]。

對以上三個因素的不同水平進行全排列構建75 種（5 種樣本量×5 種均數差×3 種總體分布）情景，每種生成10 000 個模擬數據集。

1.2 檢驗方法

基于Bootstrap 法估計均數差的置信區間。采用Bootstrap 重抽樣技術對模擬數據集進行1 000次重抽樣構建兩樣本均數差的經驗分布。通過估計經驗分布的第2.5%和第97.5%分位數確定均數差的95%CI。當95%CI 下限大于0 或上限小于0 時，認為兩組均數差異有統計學意義，兩樣本對應的總體均數不同。

參數和非參數假設檢驗法。采用兩獨立樣本t檢驗和Wilcoxon 秩和檢驗對兩總體均數是否相同進行假設檢驗。與Bootstrap 法估計的95%CI相對應，假設檢驗的檢驗水準α=0.05，均為雙側檢驗。

1.3 評價標準

在均數差為0 時，若t檢驗和Wilcoxon 秩和檢驗的P值小于α，或Bootstrap 法估計的均數差95%CI 未跨過0，認為發生I 類錯誤。在均數差不為0 時，以上情形認為成功檢驗出統計學差異，即未發生Ⅱ類錯誤。

分別使用t檢驗、Wilcoxon秩和檢驗和Bootstrap 置信區間法對75 種情景下，每種情景的10 000 個模擬數據集進行分析。計算并比較3 種方法在不同數據情景下的I 類錯誤發生率和100%-Ⅱ類錯誤發生率（統計效率）。

1.4 統計軟件和硬件

本研究使用的統計軟件為R 4.1.3，數據模擬的平臺為塔式服務器，處理器型號為Intel Xeon Gold 6230，內存為384GB。

2 結果

2.1 I類錯誤

大樣本時I 類錯誤的發生與樣本量無關，其僅與檢驗水準α 有關，但根據本研究的模擬結果，t檢驗和Wilcoxon 秩和檢驗的I 類錯誤發生率均小于檢驗水準（圖1a 和圖1b）。當樣本量n=2、n=3 時，Wilcoxon 秩和檢驗的I 類錯誤發生率為0。這是由Wilcoxon 秩和檢驗方法特性造成的[8]。對于t檢驗來說，極小樣本時的I 類錯誤發生率小于檢驗水準α，尤其是當數據分布為本研究設定的兩種偏態分布時更為明顯，這可能與此種情形下不適用t檢驗有關。但Bootstrap 置信區間法的I 類錯誤發生率較高，當數據服從正態分布時，I類錯誤發生率隨著樣本量的增加而下降，當數據為偏態分布時，I 類錯誤發生率隨著樣本量的增加而上升（圖1c）。

圖1 三種方法的I類錯誤發生率（%）Figure 1.Type I error rate of three methods (%)

2.2 統計效率

三種總體分布下（正態分布、偏態分布一和偏態分布二）分別使用三種方法（t檢驗、Wilcoxon 秩和檢驗和Bootstrap 置信區間法）的統計效率分別如圖2a、圖2b 和圖2c 所示。當均數差較小時，無論使用哪種方法，統計效率都很低，Bootstrap 置信區間法表現略優于另外兩種假設檢驗的方法；當均數差較大時，即使樣本量很小，Bootstrap 置信區間法仍有較高的統計效率，說明此時犯Ⅱ類錯誤的概率較低（圖2c）。

圖2 不同情形下三種方法的統計效率（%）Figure 2.Power of three methods in different scenarios (%)

無論數據是否服從正態分布，當樣本量極小時（n=2、n=3），t檢驗的表現優于Wilcoxon 秩和檢驗。但當樣本量較大且均數差也較大時，t檢驗與Wilcoxon 秩和檢驗統計效率差異不大（圖2a、圖2b）。

3 結論

本研究通過數據模擬的方法，探索了采用兩獨立樣本t檢驗、Wilcoxon 秩和檢驗和Bootstrap置信區間法對極小樣本兩獨立定量資料進行統計推斷時統計效率的差異。由模擬結果可見，相較于Wilcoxon 秩和檢驗，t檢驗在樣本量極小時（n=2、n=3）仍有一定的統計效率，且對總體數據分布不是很敏感。當數據服從本研究設定的兩種偏態分布時，t檢驗的表現不差于Wilcoxon 秩和檢驗。在樣本量極小時，Bootstrap 置信區間法可以增加統計效率，但在兩組樣本均數差為0（即兩組樣本來自同一總體），且數據服從正態分布時，犯I 類錯誤的概率較高。

綜上，根據本模擬研究結果，當數據服從正態分布時，建議使用t檢驗對極小樣本進行統計推斷；當數據不服從正態分布時，建議使用Bootstrap 置信區間法對極小樣本進行統計推斷。由于對于極小樣本統計效率太低，當樣本量極小時，無論數據服從何種分布，均不建議使用Wilcoxon 秩和檢驗進行統計推斷。