知方法 明算理 悟本質

吳俤仙 郭秋妹

摘 要：數學知識復雜、抽象，又有較強的邏輯性，對于以具體、形象思維為主的小學生來說，難以學好、學深、學透。教師要立足知識的內在聯系，關注學生學習起點，引導學生經歷操作、觀察、推理、驗證等數學活動，從而理解知識的“本”，感受數學的“魂”，提升數學能力和核心素養。

關鍵詞：知方法 明算理 悟本質 核心素養

“擺一擺，想一想”是人教版數學一年級下冊“綜合與實踐”中的一個知識。這個知識復雜、抽象，又有較強的邏輯性，對于以具體、形象思維為主的小學生來說，要學好、學深、學透，顯得力不從心。教師應立足教材的內在聯系，關注學生現實起點，讓學生有足夠的時間和空間，經歷操作、觀察、推理、驗證等數學活動，使每個學生各得其所地發展。…

一、動手操作，調整策略知方法

學生在學習本節課“擺一擺”前已有兩方面的經驗。一方面，會用圓片表示具體的數量：知道了“8”可以用8個圓片表示；“12”可以在計數器十位上擺1個圓片，個位上擺2個圓片表示。另一方面，建立了數位與位值的概念：知道11左邊的“1”在十位上，表示1個十；右邊的…“1”在個位上，表示1個一；兩個“1”所在的位置不同，所表示的意義也不同。教師要基于學生已有的認知起點和思維特點，引導學生動手操作、自主探究擺的方法，并調整、優化擺的策略，從而實現由無序擺到有序擺的思維提升。

教師在黑板上貼出數位順序表（如圖一），問：“用1個圓片在這個數位順序表上擺數，怎么擺？各表示什么意思？”學生暢所欲言。“把這個圓片擺在個位上，表示1個一，這個數是1。”（如圖二）“把這個圓片擺在十位上，表示1個十，這個數是10。”（如圖三）

“用2個圓片在這個數位順序表上擺數，怎么擺？”學生有了1個圓片的初步經驗，很快地擺出了2、20、11三個數：“把這2個圓片擺在個位上，這個數是2。”“把這2個圓片擺在十位上，這個數是20。”“把這2個圓片1個擺在十位上，1個擺在個位上，這個數是11。”（如下圖所示）

學生通過兩次動手操作，對怎么擺積累了一定的經驗。教師要求學生以小組為單位，先列出一個數位順序表，然后在表上畫出用3個圓片所擺的數。學生交流“畫”出來的數時，為或重復，或遺漏，或沒有一定的順序而爭執不休。教師趁熱打鐵，“同學們在紙上‘畫出了21、30、3、12四個數。聽起來有點亂，要是在數位順序表上擺一擺，怎么擺？”

一個學生跑上講臺，把3個圓片擺在數位順序表的個位上，說：“把這3個圓片擺在個位上，這個數是3；然后移1個到十位，這個數變成了12；再移1個到十位，變成了21；把最后剩下的1個也移到十位，所得的數是30。也就是說，用3個圓片擺數，可以擺3、12、21、30四個數。”（如下圖所示）

另一個學生深受啟發，匯報了與上臺學生相反的擺法。思路不同，方法有異，得到了30、21、12、3四個數。（如下圖所示）

學生操作后，教師用課件演示兩個同學的擺法，追問：“你們覺得要怎樣擺才能做到不重復、不遺漏？”在交流中，學生逐步明確：把要擺的所有圓片放在個位（十位）上，然后向左（向右）逐一移動一個圓片，直至把圓片都移到十位（個位）上，這樣才能做到有序，既不重復又不遺漏。

以上教學，學生用1個、2個圓片進行擺數，喚醒擺數的已有經驗，溫習了數量、數位和位值的意義。用3個圓片畫可以擺的兩位數時，因“亂”打破認知的平衡點，造成思維上的沖突，迫使學生用圓片擺數時，要按一定的順序來擺，初步感受了擺數的方法和不遺漏的“絕招”。整個過程自主、開放，學生經歷了實物―符號―初步抽象的學習過程，有效地實現了無序思維向有序思維的自覺轉換與突破。更重要的是，學生在操作中思考，在思考中調整，在調整中優化，不知不覺觸摸到數學的本質，改造與提升了“已有的學習經驗”。

二、縱向溝通，數形結合明算理

以上環節，學生對擺數的方法有了初步的理解和掌握。但是，我們在教學中也發現，多數學生在思考4個、5個、6個圓片可以擺哪些數時，仍懵懵懂懂。有的擺圓片，有的畫圖示，有的比手勢，一片茫然，底氣不足。究其原因，學生用圓片擺數，有圓片依托，思維嫁接在具體事物上，思路清晰，條理清楚；一旦離開圓片，失去了支撐的具體事物，思維由簡單變成了復雜，由具體變成了抽象。對于“圓片”可以組成哪些數，可以組成幾個數，就心中無數了。

其實，圓片擺數，其背后隱藏著一年級上冊學過的“數的組成與分解”的知識和技能。教學時，很重要的一條就是要溝通“數”與“形”之間的聯系，促進學生借“形”學“數”，“數”“形”結合，找到擺數的“根基”——算理。

上面用3個圓片擺數，按有序思維考量，就是從“個位”或“十位”擺起的兩條思維“路徑”。這兩條“路徑”“退”到數的認識中，就是“數的組成與分解”。（如下圖所示）

從3的組成與分解可以很直觀地看出：3的組成的第一個加數，相當于圓片擺在數位順序表中十位上的數；第二個加數，相當于數位順序表中個位上的數。3的分解左邊的數，相當于圓片擺在數位順序表中十位上的數；右邊的數，相當于數位順序表中個位上的數。所以用圓片擺數，可以在學生積累了一定擺數經驗的基礎上，引導學生把所擺的數進行組成、分解，再根據組成、分解的圖示進行寫數，甚至可以借助已十分熟練的“數的組成與分解”直接寫數，從而打通“數”與“形”結合的通道，明確擺數中的算理，減緩擺數的坡度，提高擺數的正確率。

擺數的思維起點是數的認識，組成與分解是其內在的邏輯關系。組成與分解的兩個數，相當于兩堆圓片，一堆放在個位上，表示幾個一；另一堆放在十位上，表示幾個十。其間的道理是相通的，方法是一樣的，只不過從數的組成與分解這個角度來擺數，更為熟練，更為簡單，更好操作與理解。

三、拓展延伸，整體觀察悟本質

通過三次擺數的實際操作，加上3的組成、分解對“用3個圓片擺數”的印證，深化了學生對算理的理解。學生在此基礎上，對4個、5個、6個、7個、8個圓片等可以擺的數已十分清晰、明了。所以教師可以直接問學生，“4個、5個、6個、7個、8個……18個圓片擺數，怎么擺？”根據學生所擺的數及個數，逐一板書。（如下表所示）

很多教師在教學本節課時認為，一年級學生只要初步知道擺數的方法即可。所以只讓學生用1—9個圓片擺數，然后觀察所擺的數，發現其中的特點：“所擺的數的第一列，正好是圓片的個數”“所擺的數的個數比圓片的個數多1”“所擺的數每一位上的數的和正好是所擺圓片的個數”“圓片的個數越多，所擺的數的個數越多”……

這些本質與非本質屬性的“發現”，對于一年級學生來說，可以視為一種創造思維的歷練。針對1—9個圓片所擺的數，其發現無可厚非；然而從第10個圓片所擺的數開始，其發現正確嗎？如果不加以引導與糾正，可以說是教師教學上的過失。

觀察如上用10—18個圓片所擺的數，不難發現，與用1—9個圓片所擺的數所發現的規律又是不同的。“用1—9個圓片擺數，所擺的數的個數比圓片的個數多1。從用10個圓片擺數開始，則規律不同，所擺的數的個數比圓片的個數逐次少1。”“從用10個圓片擺數開始，圓片的個數越多，所擺的數的個數越少。”這究竟是為什么？

用10個圓片擺數，不管是十位還是個位，在一個數位上最多只能擺9個圓片。從數的組成分析，0+10=10這個等式在順序表上不能成立，只有1+9=10、2+8=10、3+7=10……這些等式才能成立；從數的分解來看，10分解成0和10在順序表上也不能成立，只有分解成1和9、2和8、3和7等才能成立。因為一個數位上的數字至多只能是9，所以10個圓片擺數，所擺的數的個數自然比圓片的個數少1。由此也說明了一個潛在的算理，用組成與分解考慮擺數時，其中最大的一個數只能是9。圓片個數超過9時，“所擺的數的個數比圓片的個數多1”“圓片的個數越多，所擺的數的個數越多”這兩個發現也就站不住腳了。

用19個、20個、21個圓片……擺兩位數，因其中至少有一個數要大于9，所以沒辦法用這些圓片擺兩位數，道理也在其中。

用1—18個圓片所擺的數，如下圖所示。

規律要在全面、系統的知識體系中尋找，千萬不要在小范圍內妄加總結。像上面所述，如果讓學生觀察用1—18個圓片所擺的數的規律，就不會獲得那些隱性的錯誤、偽裝的本質屬性。因此，教師要與學生一起，從1個、2個、3個圓片擺起，拓展、延伸到擺18個圓片，再引導學生從整體觀察，就不會被假象所迷惑，從而認清知識的規律，獲得全面、系統、正確的數學本質，促進學生知識、能力、思想同步發展。

“擺一擺，想一想”，學生“擺”出來的不是幾個圓片，而是智慧；“想”出來的不是簡單規律，而是數學本質。整個過程，學生領略了“數”與“形”的完美結合，親歷了動手操作、列表統計、整體觀察等數學活動，在步步深入的學習中，知方法、明算理、悟本質，理解了知識的“本”，感受了數學的“魂”，積累了豐富的數學活動經驗，提升了數學能力核心素養。

參考文獻

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