一類時滯非局部擴散SVIR 模型單穩行波解的穩定性

李孝武，楊赟瑞*，劉凱凱

（1.蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070；2.中國地質大學 數理學院，湖北 武漢 430074）

0 引言

易感態-感染態-恢復態（susceptible infected recovered，SIR）模型一直備受關注［1-10］，最早可追溯至KERMACK 等［1］為研究人口密度與傳染性、恢復率和死亡率間的特定關系對流行病產生的影響而提出的常微分方程。然而，SIR 模型并未考慮個體在空間中的隨機移動和擴散。事實上，許多病毒需通過宿主的隨機移動以及與宿主之間的接觸進行傳播。因此，利用反應擴散方程模擬疾病的傳播更具現實意義［2-6］。具有經典Laplace 擴散項的SIR 模型為

疾病的傳播與擴散不僅限于當前位置，還與相鄰位置甚至整個區域有關，從而涉及發生在更大范圍內的在相對稠密條件下不相鄰位置間的非局部擴散，通常用卷積項表示：

另外，時滯現象普遍存在，例如病菌的潛伏期，生物的成熟期等。因此，用時滯非局部擴散SIR 模型模擬疾病的傳播更符合客觀實際［7-10］。時滯非局部擴散SIR 模型為

注意到，上述模型均未考慮防疫策略對疾病傳播的影響。隨著醫療技術的發展，開發了針對各種疾病的疫苗，例如接種新冠疫苗，可有效防治新冠疫情。因此，考慮疫苗接種策略的流行病模型可更準確反映疾病的發展趨勢。Laplace 擴散的無時滯SVIR 模型為

時滯非局部擴散SVIR 模型為

其中，U1(x，t)，U2(x，t)，U3(x，t)和U4(x，t)分別表示位置x 和時刻t 的易感、接種、感染和康復個體的密度；τ 表示病毒的潛伏期；Λ 表示易感個體的外部輸入率；μ1，μ2，μ3和μ4分別表示易感、接種、感染和移除個體的自然死亡率；β1和β2分別為易感個體和接種疫苗的個體與已感個體之間的疾病傳播率；α，γ 和γ1分別為疫苗接種率、治愈率和接種疫苗的個體獲得免疫力的概率。

在行波理論中，行波解的穩定性一直是研究重點，特別是單穩行波解。由于單穩行波解連接的2個平衡點中有一個不穩定，且在行波解處線性化算子的本質譜與原點之間無間隙，因此需引入加權函數。加權能量法和反加權能量法［12-16］是研究（時滯）反應擴散方程單穩行波解穩定性的有效工具。而在非擬單調條件下，由于方程的非單調性，比較原理不成立，許多基于比較原理的單調性方法失效，例如擠壓技術、加權能量法結合比較原理等。LIN 等［14］利用加權能量法結合連續性方法，研究了一類非擬單調時滯Nicholson's 標量方程非臨界波速下單穩行波解的指數穩定性。隨后，CHERN 等［15］利用反加權技巧、加權能量法結合連續性方法，研究了一類非擬單調的Laplace 擴散時滯標量方程臨界波速下單穩行波解的漸近穩定性（不含具體衰減率）。上述文獻得到的均為時滯標量方程小初始擾動（非）臨界波速下單穩行波解的局部穩定性結果。MEI 等［16］利用反加權能量法結合傅里葉變換，同時建立了一類時滯Laplace 擴散標量方程單穩行波解（無論其單調與否）大初始擾動非臨界波速下的全局指數穩定性和臨界波速下的全局代數穩定性。此后，ZHANG［17］將MEI 等［16］的結果推廣至空間非局部的時滯非局部擴散標量方程，MA 等［18］和SU 等［19］將該方法分別運用于擬單調的時滯非局部擴散系統和非擬單調的時滯Laplace 擴散系統。

受上述工作的啟發，筆者嘗試同時建立如式（4）所示的非臨界和臨界波速下單穩行波解的全局穩定性。但是，由于式（4）反應項中的耦合項（雙線性函數）較為特殊：其任一變元的二階偏導均為0，從而無法保證其一階偏導的有界性，故無法直接建立擾動系統初值問題解的全局存在唯一性，因此需利用迭代技巧建立解的局部存在唯一性，但這需要小初始擾動條件。此外，式（4）反應項中耦合項的特殊性，導致同時建立非臨界和臨界波速下單穩行波解的反加權能量法結合Fourier 變換失效。因此首先，利用迭代法建立式（4）相應擾動系統解的局部存在性；其次，借助加權能量法得到式（4）相應擾動系統局部解的衰減估計；最后，將式（4）相應擾動系統的局部解延拓至全空間，從而得到式（4）非臨界波速下單穩行波解的局部指數穩定性。

1 預備知識和主要結論

首先，給出所需的假設條件。

(J1) J∈C1(R)，J(x) ≥ 0，J(x)=J(-x)，∫RJ (x)dx=1，且J 具有緊支集。

(J2) 存在 λM∈(0，+∞)，使得對任意的λ∈[0，λM)，有

其次，工作空間及記號約定如下：C ＞0 為萬有常數，Ci＞0，i=0，1，…，為特定的常數。I 表示區間，L2(I)為由定義在I 上的平方可積函數構成的空間，為加權L2(I)空間。Hk(I)為由定義在I上且其j(j=0，1，…，k)階導數是由L2(I)空間內的Lebesgue 平方可積函數構成的索伯列夫空間，為加權索伯列夫空間，加權函數ω(x)＞0。的范數定義為

令T ＞0，B 為Banach 空間。C([0，T] ；B)表示由定義在[0，T]上的B-值連續函數構成的空間，L2([0，T] ；B)表示由定義在[0，T]上的B-值平方可積函數構成的空間，類似于由相應[0，+∞)上的B-值函數構成的空間定義。

注意到，式（4）有2 個平衡點：

其中，S0，V0，R0，S*，V*，I*，R*均為正常數。式（4）連接2 個平衡點U-和U+的行波解Φi(ξ)=Φi(x+ct)，其中，ξ=x+ct，i=1，2，3，4 滿足：

其中，c 為行波解的波速。

另假設式（4）滿足初始條件：

命題1（行波解的存在性［20］） 假設?0：=且條件(J1)和(J2)成立，則對任意的c ≥c*，式（4）存在行波解，其中c*＞0，λ*=λ(c*)＞0，且Δ(λ*，c*)=0，，

當c ＞c*時，Δ(λ，c)=0 有2 個不同的正實根λ1和λ2；當c=c*時，Δ(λ，c)=0 有2 個相同的正實根λ*；當c ＜c*時，Δ(λ，c)=0 無實根。

定義加權函數：

其中，ξ0?1，λ∈(λ1，λ2)。

定理1（行波解的穩定性） 假設τ∈(0，τ0)，其中τ0為正常數，且條件(J1)和(J2)成立。若c 滿足

初始擾動滿足

其中，0 ＜T ≤∞。

下面，建立式（4）的擾動系統，令ξ=x+ct，且

定義空間X(-τ，T)為

方便起見，給出以下記號：

其中，V=：（V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t)），且T ＞0，從而可得定理1 的等價定理，即

定理2假設τ∈(0，τ0)，其中τ0為正常數，且條件(J1)和(J2)成立。若c 滿足式（8），且初始擾動滿足

2 主要結論的證明

引理1（局部存在性）在定理2 的假設條件下，對于滿足c ＞c*的行波解Φi(x+ct)=Φi(ξ)，i=1，2，3，4，若初始擾動滿足 (V10(ξ)，V20(ξ)，V30(ξ，s)，V40(ξ))∈X(-τ，0)且MV(0)≤δ1，則存在一個充分小的t0=t0(δ1)＞0，使得式（12）的解Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)∈X(-τ，t0) 關于t∈[-τi，t0]局部存在且唯一，且存在常數m0＞1，使得MV(t0)≤m0MV(0)，其中τ1=τ2=τ4=0，τ3=τ。

證明證明是平凡的，可以利用單調迭代技巧證明［21］。與以往工作不同的是，這里只需證明局部解

取充分大的正數m1，m2，m3，m4＞0，使得α+μ1+m1＞?，γ1+μ2+m2＞?，γ+μ3+m3＞?，其中?為正常數。令b1=α+μ1+m1，b2=γ1+μ1+m2，

由式（14）～式（17），可得

由文獻［17］中的引理2.1 和注記2.1，知Si(ξ，t)為初值問題：

的基本解，且‖Si(t)‖L1(R)≤3，i=1，2，3，4，其中δ(·)為Dirac 函數。由式（18）～式（21），可得

由Fatou 引理，可知

類似地，可得

另外，標準的能量估計：

由式（18）～式（21），可知

結合式（26）和式（27），可知

因此，若0 ＜t0?1 且

證畢！

為研究式（4）單穩行波解的穩定性，需建立式（12）的解（擾動解）的先驗估計。

定義

引理2令ω(ξ)為式（7）中定義的加權函數，若式（8）成立，則當 ξ∈R，0＜μ＜μ'：=時，有

證明由式（7），可知ω(ξ)=e-λ(ξ-ξ0)，ξ0?1。注意到，故

引理3（先驗估計）令 V(ξ，t)：=(V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t))∈X(-τ，T)為式（12）的局部解，則存在與常數T ＞0 無關的且均大于1的正常數δ2，μ和C，使得當MV(T)≤δ2時，

引理4令Vi(ξ，t)∈X(-τ，T)，則存在正常數δ2，μ，使得當0 ＜μ ＜μ'且MV(T)?1 時，有

證明對式（12）的第1 個方程兩邊同乘以e2μtω(ξ)V1(ξ，t)，得

通過簡單的計算，可驗證形如g(y1，y2)=β1y1y2的二元函數的n(n ≥3)階導數均為0，故由Taylor 公式和Cauchy-Schwarz 不等式，知

將式（35）代入式（34），得

對式（37）左邊第4 項運用Cauchy-Schwarz 不等式，得

將式（38）代入式（37），得

類似地，對式（12）的第2～4 個方程分別進行能量估計，可得

此外，參照文獻［9］，對i=1，2，3，4，由Cauchy-Schwarz 不等式，可知

將式（43）分別代入式（39）～式（42），可得

類似地，有

將式（49）～式（51）代入式（48），可得

因為MV(T)?1，且對ξ∈R，有Ai，μ，ω(ξ)＞0，i=1，2，3，4。因此，存在正常數δ3，δ4，δ5，使得

令δ2=：min {δ3，δ4，δ5}，則當MV(T)≤δ2時，有

于是，得到能量估計：

若MV(T)≤δ2，首先對式（12）關于ξ求導，然后對式（12）的前 4 個方程兩邊分 別乘以 e2μtω(ξ)× V1ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V2ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V3ξ(ξ，t) 和e2μtω(ξ)V4ξ(ξ，t)，并對所得結果關于(ξ，t) 在R [0，t]上積分。類似式（53）的分析過程，可得第2個能量估計：

最后，結合式（53）和式（54），可得

證畢！

引理5令，則，且

證明證明過程與文獻［4］類似，此證略。

此外，還需建立Vi(ξ，t)，i=1，2，3，4在ξ=+∞處的指數衰減估計。因為Vi(ξ，t)∈Cunif[-τi，T]，所以關于t∈[0，T] 一致存在，且當t∈[0，T] 時，有。令，i=1，2，3，4，則滿足

式（58）相應的線性系統為

其中，P=A+B。根據β1和β2的定義，顯然β1≥β2（接種疫苗個體的感染率低于未接種疫苗個體的感染率）。利用Hurwitz 判據，驗證矩陣P 的所有特征值均有負實部。

由文獻［4］中的引理3.8，可知存在正常數?，使得

又由Vi(i=1，2，3，4)的連續性和一致收斂性，不難得到

引理6若τ∈(0，τ0)，則存在正常數?和充分大的ξ0?1（與t 無關），使得

選擇滿足0 ＜μ ≤min {?，μ'}的μ，結合引理5和引理6，可證得引理3。

定理2 的證明正常數δ2，μ 和C 均大于1，且與常數T ＞0 無關。令

由引理1，可知存在t0=t0(δ1)＞0，使得V(ξ，t)∈ X(-τ，t0)。根據δ0，δ1的選取，可知MV(t0)≤δ2。

首先，利用引理 3 建立當 t∈[0，t0] 時Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指數衰減估計式式（32）。

其次，將式（12）的初始數據替換為

再次利用引理1，證明當t∈[t0，2t0]時新的初值問題解的存在性，即V(ξ，t)∈X(-τ，2t0)，由引理3，可得當t∈[0，2t0]時Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指數衰減估計式式（32）。重復上述過程，可得V(ξ，t)∈X(-τ，∞)，且當t∈[0，∞)時，Vi(ξ，t)滿足指數衰減估計式式（32）。

最后，由引理1 和引理3，可得定理2。

證畢！