環(huán)形區(qū)域上含梯度項(xiàng)的橢圓邊值問題的徑向解

李其祥，李永祥

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

非線性項(xiàng)含梯度項(xiàng)的橢圓邊值問題

其中，Ω={x∈RN|r1＜ ||x ＜r2} 為RN中以0 為中心，r1，r2為半徑的環(huán)形區(qū)域，N ≥3，0＜r1＜r2＜∞，f：[r1，r2]×R×R+→R 為非線性連續(xù)函數(shù)。對(duì)于非線性項(xiàng)f 不含梯度項(xiàng)的簡單橢圓邊值問題

徑向解的存在性已有不少研究［1-9］。如文獻(xiàn)［2］運(yùn)用分歧理論得到徑向解具有多解性的結(jié)論。文獻(xiàn)［3］運(yùn)用Schaeffer 不動(dòng)點(diǎn)定理證明了徑向解的存在性。文獻(xiàn)［4-6］在非線性項(xiàng)f 超線性增長的情形下，證明了徑向解的存在性。文獻(xiàn)［9］在f 變號(hào)的情形下，應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論給出了徑向解的存在性與不存在性條件。

對(duì)于非線性項(xiàng)f 含梯度項(xiàng)的橢圓邊值問題，文獻(xiàn)［10］在f (r，u，η)非負(fù)且關(guān)于u，η 超線性增長或次線性增長的情形下，運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論證明了邊值問題

正徑向解的存在性。文獻(xiàn)［11］應(yīng)用Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮映射原理，證明了式（3）至少存在一個(gè)徑向解。文獻(xiàn)［12］通過Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了當(dāng)非線性項(xiàng)f (r，u，η)一邊超線性增長，且關(guān)于η 滿足Nagumo 型條件時(shí)，式（1）至少存在一個(gè)徑向解。

本文的目的是，在無假定非線性項(xiàng)f 非負(fù)時(shí)，討論式（1）徑向解的存在性與唯一性。當(dāng)非線性項(xiàng)f (r，u，η)關(guān)于η 滿足Nagumo 型條件時(shí)，運(yùn)用上下解方法和截?cái)嗪瘮?shù)技巧，證明式（1）徑向解的存在性，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用微分中值定理證明式（1）徑向解的唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

易驗(yàn)證u=u(|x|)為式（1）的徑向解當(dāng)且僅當(dāng)u(r)為常微分方程邊值問題

的解。因此，只需討論式（4）解的存在性與唯一性。

記I=[r1，r2]，R+=[0，+∞)，C(I)為由I 上的全體連續(xù)函數(shù)按范數(shù)構(gòu)成的Banach 空間。對(duì)n∈N，Cn(I)為由I 上的全體n 階連續(xù)可微函數(shù)按范數(shù)構(gòu)成的Banach 空間。

為討論式（4），首先考慮相應(yīng)的線性邊值問題

其中，h∈C(I)。

引理1［10］對(duì)任意的h∈C(I)，式（5）存在唯一解u：=Sh∈C2(I)，且解算子S：C(I)→C1(I)為線性全連續(xù)算子。

引理2對(duì)任意的h∈C(I)，式（5）的解u∈C2(I)滿足：

證明對(duì)任意的h∈C(I)，設(shè)u∈C2(I)為式（5）的解，則

故結(jié)論（i）成立。

由微分中值定理，知存在ξ∈[r1，r2]，使得u'(ξ)=0。對(duì)任意的r∈I，有

故結(jié)論（ii）成立。

引理3設(shè)f：[r1，r2]×R×R+→R 連續(xù)。若存在常數(shù)a，b ≥0 及C ＞0，滿足

則式（4）有解。

證明對(duì)任意的u∈C1(I)，令

F(u)(r)：=rN-1f (r，u(r)，|u'(r)|)，r∈I，則F：C1(I)→C(I)連續(xù)，且將有界集映為有界集。定義映射A=S °F，由引理1，知S：C (I)→ C1(I)為線性全連續(xù)算子，因此算子A：C1(I)→ C1(I)為線性全連續(xù)算子。由S 的定義，式（4）的解等價(jià)于算子A 的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)A 應(yīng)用Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理［13］，需證明同倫簇方程

的解集在C1(I)中有界。設(shè)u∈C1(I)為當(dāng)λ∈(0，1)時(shí)式（8）的解，則u=S(λF(u))。

令h=λF(u)，由S 的定義，u=Sh 為式（5）的解，因此，u∈C2(I)滿足

由式（7）和式（9），有

兩邊取‖·‖C，由引理2，知

結(jié)合引理2（i），知式（8）的解集在C1(I)中有界，由Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，A 在C1(I)中有不動(dòng)點(diǎn)，該不動(dòng)點(diǎn)為式（4）的解。

定義1設(shè)v0(r)，w0(r)∈C2(I)，若v0(r)滿足

則稱v0(r)為式（4）的下解；若w0(r)滿足

則稱w0(r)為式（4）的上解。

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)f：[r1，r2]×R×R+→R 連續(xù)。式（4）存在下解 v0(r) 與上解 w0(r)，且v0(r)≤w0(r)。若f 滿足條件

（H1）對(duì)任意的M ＞0，存在單調(diào)連續(xù)增函數(shù)gM：R+→(0，+∞)，且

則式（1）至少存在一個(gè)徑向解u=u(|x|)∈C2(I)，且v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。

證明由條件（H1），存在M ＞0，使得

則η(r，u)：I×R →R 連續(xù)。作f (r，u，η) 的截?cái)嗪瘮?shù)

則f*連續(xù)有界。因此，由引理3，修改后的邊值問題

有解u0(r)∈C2(I)。

下證u0(r)為式（4）的解。

先證v0≤u0≤w0。反設(shè)v0≤u0不成立。考查函數(shù)Φ(r)=u0(r)-v0(r)，r∈I。因?yàn)棣?r1)≥0，Φ(r2)≥0，且 Φ(r)≥0 不成立，所以存在r0∈(r1，r2)，使得。由極小值點(diǎn)的性質(zhì)，有

由式（18），有

根據(jù)截?cái)嗪瘮?shù)的定義及定義1，有

僅需證明（i），（ii）～（iv）類似可證。令

由截?cái)嗪瘮?shù)的定義及式（13）和式（17），有

故u0(r)為式（4）的解，即u0(|x|)為式（1）的徑向解，且滿足v0(|x|)≤u(|x|)≤w0(|x|)。

定理2設(shè)f：[r1，r2]×R×R+→R 連續(xù)。式（4）存在下解 v0(r) 與上解 w0(r)，且v0(r)≤w0(r)。若f (r，u，η)在u∈R，η∈R+上關(guān)于變量u，η 連續(xù)可微，且滿足定理1 的條件（H1）和

（H2）若f (r，u，η)關(guān)于u，η 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且當(dāng) r∈I，v0(r) ≤u0(r) ≤w0(r)，η∈R+時(shí)，有fu(r，u，η)＜0，則式（1）存在唯一徑向解u=u(|x|)∈ C2(I)，且v0(|x|)≤u0(|x|)≤ w0(||x)。

證明由定理1，式（1）至少存在一個(gè)徑向解。下證唯一性。設(shè)u1，u2∈C2(I)為式（4）的解，記u(r)=u1(r)-u2(r)。由微分中值定理，u(r)∈C2(I)為

的解，其中a(r)=fu(r，ξ，ζ)，b(r)=fη(r，ξ，ζ)，ξ=u1+θ(u2-u1)，ζ=u1'+θ(u2'-u1')，θ∈(0，1)。

因?yàn)閒 (r，u，η)連續(xù)，且關(guān)于u，η 連續(xù)可微，故a(r)和b(r)有意義。由條件（H2），得a(r)＜0。

下證u ≡0。反設(shè)u ≡0 不成立，則存在K ＞0，使得，即存在r*∈(r1，r2)，使得。

由式（21）及式（22）第1 式，有

故u ≡0。因此，式（4）存在唯一解，即式（1）存在唯一徑向解。

3 例 子

相應(yīng)的非線性項(xiàng)為

所以w0(r)=r 為式（24）的上解。易見f (r，u，η)關(guān)于η 二次增長，滿足條件（H1）。由定理1，式（24）至少存在1 個(gè)徑向解。易驗(yàn)證，式（25）滿足條件（H2），由定理2，式（24）存在唯一徑向解。