含非線性阻尼的二維自治g-Navier-Stokes 方程解的雙全局吸引子

王小霞，黃厚曾，姜金平

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

近年來，有關(guān)g-Navier-Stokes 方程的研究方興未艾，研究成果頗豐［1-13］。文獻(xiàn)［1-4］討論了二維g-Navier-Stokes 方程弱解的適定性和全局吸引子的存在性，并對其維數(shù)進(jìn)行了估計；文獻(xiàn)［5-6］分別討論了在全空間和多連通區(qū)域上含線性阻尼的二維g-Navier-Stokes 方程解的全局吸引子存在性；文獻(xiàn)［7-10］研究了二維g-Navier-Stokes 方程的拉回吸引子。遺憾的是，目前有關(guān)含非線性阻尼的二維自治g-Navier-Stokes 方程的相關(guān)研究尚不多見［13］。二維g-Navier-Stokes 方程的導(dǎo)出源于三維薄區(qū)域上的Navier-Stokes 方程，可將其視為標(biāo)準(zhǔn)Navier-Stokes 方程的一個擾動。因此研究二維區(qū)域上的g-Navier-Stokes 方程將推動三維Navier-Stokes 方程的研究。鑒于此，本文將進(jìn)一步研究二維g-Navier-Stokes 方程解的全局漸近行為。

含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes 方程的一般形式：

其中，u(x，t)∈R2和p(x，t)∈R 分別表示速度和壓力，f=f (x)∈(L2(Ω))2為與時間無關(guān)的外力項；υ ＞0，β ＞1，c|u|β-1u 為阻尼項；g(x1，x2)為某實值光滑函數(shù)且 0 ＜m0≤g=g(x1，x2)≤M0，xi∈ R(i=1，2)；另設(shè)在Ω ?R2上有u(x，0)=u0(x)。

1 預(yù)備知識

設(shè)λ1＞0，λ1∈R，且

即Poincaré 不等式在區(qū)域Ω 上成立。

令L2(g)=[L2(Ω)]2，其內(nèi)積定義為

范數(shù)定義為

范數(shù)定義為

定義g-Laplacian 算子為

借助g-Laplacian 算子，將式（1）改寫為

定義g-正交投射為Pg：L2(g)→Hg，g-Stokes 算子為，將Pg作用于式（6），可得：

設(shè)f∈Vg，u0∈Hg，則有

于是對任意的v∈Vg，t ＞0，有

其中，bg：Vg×Vg×Vg→R 且

其中，式（8）為式（6）的弱形式。也有

則式（8）與下列方程等價：

由文獻(xiàn)［1］，可知對任意的u，v∈D(Ag)，有

其中，c 表示任意正常數(shù)。

進(jìn)一步，有

由文獻(xiàn)［3］，可知對任意的u∈Vg，有

命題1設(shè)f∈L2(g)，u0(x)∈Hg，則存在唯一的 u(x，t)∈ L∞(R+；Hg) ∩ L2(0，T ；Vg) ∩ C(R+；Hg)(T ＞0)，使得式（8）和式（9）成立。

利用標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin 方法，可證得命題1。證明方法與文獻(xiàn)［3］類似，不再贅述。

定義1［11］設(shè)X 和Z 為Banach 空間，{S(t)}t≥0為X 的半群，B0?Z，若對任意的B ?X，有T=T(B)，且t ＞T，S(t)B ?B0，則稱B0為(X-Z)的有界吸收集。

定義2［11］設(shè)X，Z 為Banach 空間，A ?X，A 為X 的不變閉集，且A 在Z 中是緊的，若A 在Z 中吸引X 上的任一有界集，則稱A 為(X-Z)的全局吸引子。

定義3［11］設(shè)X 為Banach 空間，{S(t)}t≥0為X的半群，xn為X 的序列，若在X 上對任意的t ≥0，當(dāng)xn→x 時，有S(xn)→S(x)，則稱{S(t)}t≥0為X 的強(qiáng)弱連續(xù)半群。

定理1設(shè)X 為Banach 空間，若{S(t)}t≥0為X上滿足式（8）和式（9）的解半群，則S(t)為Vg的強(qiáng)弱連續(xù)半群。

證明證明過程與文獻(xiàn)［12］引理4.3 類似，此證略。

定義4［11］設(shè)X 為Banach 空間，{S(t)}t≥0為X的半群，若對任意的有界集B ?X（ε ＞0），存在常數(shù)tB＞0 和有限子空間X1?X，使得

（i）{ PS(t)x|x∈B，t ≥tB}有界；

（ii）對任意的t≥tB，x∈B，有||(I-P)S(t)x||X＜ε；

其中，P：X →X1為標(biāo)準(zhǔn)投影，則稱{S(t)}t≥0在X 上滿足條件（C）。

引理1［11］設(shè)X 為Banach 空間，{S(t)}t≥0為X的強(qiáng)弱連續(xù)半群，如果：

（i）{S(t)}t≥0有一個有界吸收集B0∈X；

（ii）{S(t)}t≥0在X 上滿足條件（C）；

則{S(t)}t≥0在X 上存在全局吸引子。

2 含非線性阻尼的二維自治g-Navier-Stokes 方程解的雙全局吸引子

先證在Hg上式（1）存在有界吸收集。首先在式（11）兩邊與u 做內(nèi)積，可得

由Gronwall 不等式，有

下證Hg-Vg有界吸收集的存在性。在方程兩邊與-Δu作內(nèi)積，可得

由Poincaré 不等式：λm|?u|2≤|Δu|2，有

設(shè)

由Gronwall 不等式，可得

定理2設(shè)f∈L2(g)，u0∈Hg，{S(t)}t≥0為式（1）～式（3）的強(qiáng)弱連續(xù)半群，則{S(t)}t≥0有一個非空、緊可逆的Hg-Vg全局吸引子。

證明由假設(shè)，知g-stokes 算子Ag是緊的可逆正自伴算子，由經(jīng)典譜定理，知序列λ1，λ2，…屬于D(Ag)，當(dāng)m →0 時，使得

D(Ag)中的一族元素在Vg中正交，使得Aωi=λiωi，i=1，2，…。由文獻(xiàn)［4］，設(shè)

由Poincaré 不等式，可得

利用Gronwall 不等式，有

于是對任意的ε ＞0，有|?u2|2＜ε。由引理1，可知定理2 成立。

3 雙全局吸引子的維數(shù)估計

設(shè)u0∈A 且u(t)=S(t)u0，當(dāng)t ≥0 時，式（9）中的線性流u 可由下列式子給出：

對任意的ψ∈Hg，T ＞0，存在唯一的U∈L2(0，T；Vg)∩C([0；T] ；Hg)滿足式（15）。

將線性映射 L(t；u0)：Hg→Hg定義為L(t；u0)ζ=U(t)，可證明L(t；u0)有界且{S(t)}t≥0在A 上一致可微，即

將式（15）記為

對m∈N，qm可定義為

其中，Qm(τ)=Qm(τ：u0，ψ1，ψ2，…，ψm)，為在Hg上的正交投影，L(t；u0)ψ1，L(t；u0)ψ2，…，L(t；u0)ψm，ψ1，ψ2，…，ψm在Hg上線性無關(guān)。

引理2［14］設(shè)A 是式（1）～式（3）的全局吸引子，若對n∈N，有qn＜0，那么A 分別具有有限的 Hausdorff 和 fractal 維數(shù)估計：

為估計qm，設(shè)u0∈A 且u(t)=S(t)u0，有

設(shè)φi(t)(i=1，2，…，m)為Hg上的正交基，由于

利用Lieb-Thirring 不等式：

定理3考慮含非線性阻尼的二維g-Navierstokes 方程，當(dāng)時，m滿足，其中，c 為定義在R2上的常數(shù)，則其全局吸引子具有有限的Hausdorff維數(shù)（小于等于m）和有限的分形維數(shù)（小于等于2m）。

4 結(jié)論

利用算子分解法和譜理論，通過證明含非線性阻尼的二維自治g-Navier-Stokes 方程的解半群在有界區(qū)域上具有有界吸收集，且滿足條件（C），得到該方程存在解的雙全局吸引子。通過估計雙全局吸引子的維數(shù)，得到其具有有限的Hausdorff 維數(shù)和有限的分形維數(shù)。