一類一階半正周期邊值問題正解的存在性

楊偉

（西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070）

一階常微分方程周期邊值問題在經濟、天文、計算機及生物等領域應用廣泛，例如動物紅細胞再生問題、行星轉動周期問題和產品銷售模型問題等。關于一階周期邊值問題解的存在性研究尤為必要。MORETTO［1］研究了一階周期邊值問題

此后相繼得到了關于該問題解的存在的結論［2-9］。例如，文獻［2］運用上下解方法研究了式（1），得到：

定理1設m：[0，1]→[0，∞)，n：[0，∞)→ [0，∞)連續。若α1和β1分別為式（1）的嚴格上解和嚴格下解，且在[0，1]內滿足α1≥β1，則式（1）存在正解u。

在文獻［2］的基礎上，文獻［3］在非線性項具有奇異性的情形下，研究了含參數的一階周期邊值問題

其中，λ ＞0 為參數，并運用錐上的拉伸與壓縮不動點定理，得到：

定理2設 m：[0，1]→[0，∞) 連續，若 n：(0，∞)→(0，∞)連續且滿足，則存在λ0＞0，當0 ＜λ ＜λ0時，式（2）有1 個正解 u。

文獻［2］在對應問題的權函數定號的情形下考慮了正解的存在性，文獻［3］在對應問題的權函數定號且非線性項具有奇異性的情形下討論了正解的存在性，但是文獻［2-3］均未考慮權函數變號的情形。那么，在引入正參數λ 和正常數k 的情況下，當權函數變號且非線性項具有奇異性時，能否利用上下解方法獲得一階周期邊值問題正解的存在性？事實上，引入正常數k，既增加了問題的難度，又將問題推廣至半正情形，再加上權函數變號，從而需要新的約束條件保證正解的存在性。基于此，本文將采用上下解方法考慮一階周期邊值問題

正解的存在性，其中，k ＞0 為常數，λ ＞0 為參數。下文假定：

記Banach 空間C([0，1])相應的范數為‖u‖=|。Banach 空間C1([0，1])相應的范數為，定義錐K 為

本文的主要結果為定理3 和定理4。

定理3設a∈C([0，1])，f：[0，∞)→[0，∞) 連續且滿足 f (0)=0。若下列條件之一成立：

（i）f 滿足條件（F1），

（ii）f 滿足條件（F2）且 c ＞k，以及‖a-‖充分小，則存在λ0＞0，當λ ＞λ0時，式（3）有1 個正解uλ。進一步，對任意的t∈[0，1]，當λ →∞時，有uλ→∞。

定理4設a∈C([0，1])，f：(0，∞)→(0，∞)連續且滿足條件（F3）。若‖a-‖充分小，則存在λ0＞0，當0 ＜λ ≤λ0時，式（3）有1 個正解 uλ。進一步有。

注1當k=0，a(t)恒正時，式（3）退化為文獻［2-3］中的情形。與文獻［2-3］相比，本文不僅得到了式（3）正解的存在性，還得到了解的漸近形態。

1 預備知識

定義1若 α∈[0，1] 滿足

則稱 α 為式（3）的下解。

定義2若 β∈[0，1] 滿足

則稱β 為式（3）的上解。

引理1［10］在f 滿足條件（F1）的情形下，設存在常數δ(0 ＜δ ＜1)，若定理3 的條件“‖a-‖充分小”也成立，則問題

至少有1 個解 w∈K。

引理2［10］在f 滿足條件（F2）的情形下，若定理3 的條件“‖a-‖充分小”成立，則存在 b(0 ＜b ≤1)，使得問題

有唯一解 w∈K。

引理3［10］在 f 滿足條件（F3）的情形下，設存在常數δ(0 ＜δ ＜1)，若定理4 的條件“‖a-‖充分小”也成立，則問題

至少有1 個解 w∈K。

引理4設式（3）有1 個下解α 和1 個上解β，對任意的t∈[0，1]，有α(t)≤β(t)，那么式（3）至少有1 個解u(t)且對任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)≤β(t)。

證明在[0，1]→R 下，定義函數γ(t)：

考慮輔助問題

首先，將式（7）轉化為

其中，G（t，s）為線性問題

的Green 函數。由式（3），當t∈[0，1]時，有α(t)≤u(t)≤β(t)，再由Schauder 不動點定理，可知式（7）至少存在1 個解。

接下來考慮，當式（7）的解u 滿足 α(t)≤u(t)≤β(t)，t∈[0，1]時，u 也為式（3）的解。反設存在t∈[0，1]，使得α(t)＞u(t)，那么一定存在τ∈[0，1]，使得α-u 在τ 處達最大正值，且α(τ)＞u(τ)以及γ(τ)=α(τ)。由條件α(0)≥α(1)，若τ 在0 點處未取到最大正值，則一定不會在1 點處取到最大正值，從而可假設τ∈[0，1)，那么有α'(t)-u'(t)≤0，以及

這與下解的定義相矛盾。因此對任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)。對于u(t)≤β(t)，t∈[0，1] 的情況，類似可證。

設a∈C([0，1])，若w∈C1([0，1])為式（5）的唯一解，定義式（5）相應的解算子 A：C([0，1])→C1([0，1])為

引理5設a，g∈C([0，1])，g ≥0 且其在[0，1] 的任意子區間上不恒為零。若存在δ(0 ＜δ ＜1)，使得式（4）有1 個解w∈K，則存在η0＞0，當 η∈(0，η0] 時，問題

有1 個解uη∈K。

證明設，則ηg(t)，結合邊界條件xφ(0)≤xφ(1)，可知xφ 為式（8）的上解。

另設ρ：=A(g)，取 0 ＜δ ＜1，w∈K 為式（4）的1 個解，那么存在 η0＞0，對任意的0 ＜η ≤η0，有 ηρ ≤δw 以及 0 ＜(1-δ)w ≤w-ηρ，則

結合邊界條件w(0)-ηρ(0)≤w(1)-ηρ(1)，可知 w-ηρ 為式（8）的下解。

如有必要，取充分大的x，使得xφw-ηρ ＞0，再根據引理4，可知式（8）至少存在1 個解uη∈K。

2 主要結果的證明

定理3 的證明情形1f 滿足條件（F1）。

等價于

從而式（9）成立。

從而式（9）成立。因此，當λ ≥λ0時，u*為式（3）的下解。

另取 b=1，設 π：=A(1)，取 u*：=y(π+1)，y ＞0，結合u*(0)≤u*(1)，可知u*為式（3）的上解當且僅當

由條件（F1），知對任意的 ε ＞0，存在s*＞0，當s ＞s*時，有。進一步，若y(π+1)＞y ＞s*，則，從而式（11）成立。

情形2f 滿足條件（F2）且c ＞k。

和函數

其中，χJ為J 的特征函數。因為 c ＞k，A(m)∈K 連續，所以

存在1 個解 w∈K，從而對任意的t∈[0，1]，存在ξ ＞0，使得 w(t)≥ξ ＞0，結合條件（F2），可知存在λ0＞0，當 λ ≥λ0時，有

對任意的 λ ＞0，有

結合邊界條件 λw(0)=λw(1)，可知λw 為式（3）的下解。

設Φ：=A(|a|)∈K，對λ0＞0，存在λ ≥λ0，使得 y0≥λC。因為C ＞k，所以對任意的y1≥y0，有

結合邊界條件 y1Φ(0)≤y1Φ(1)，可知y1Φ 為式（3）的上解。

綜上，如有必要，取充分大的 y，使得當λ ＞λ0時，y1Φ ≥λw。因此根據引理4，式（3）至少有1 個解uλ∈K 且λw ≤uλ≤y1Φ。特別地，對任意的 t∈[0，1]，當λ →∞時，有。

最后，考慮非線性項奇異的情形。

定理4 的證明定義，從而 1-?p=?。設 υ=：λpw。結合 υ(0)=υ(1)，可知υ 為式（3）的下解當且僅當

兩邊同時乘以 wp，再由1-?p=?，可知

結合w，a 有界以及條件（F3），取充分小的λ，可得υ為式（3）的下解。

另設?：=A(|a|)，z ＞0，從而(z(λ?)?)'≥z?λ???-1|a(t)|，結合 ?(0)≤?(1)，可知z(λ?)?為式（3）的上解當且僅當

則式（13）的第1 個不等式成立。由條件（F3），知存在 s1＞0，使得當0 ＜s ≤s1時，f (s)sp＜2。因此，當z(λ?)?≤s1，zp+1? ＞2 時，有

換言之，選取充分大的z，使得

從而，當λ ≤λ0時，式（13）的第1 個不等式成立。

進一步，有

從而，當λ ≤λ0時，式（13）的第2 個不等式成立。

綜上，由?∈K，使得w ≤z??，再由引理4，可知式（3）有1 個解uλ且λ?w ≤uλ≤zλ???，λ ≤λ0。進一步，當λ →0+時，‖uλ‖→0。

3 結語

為進一步完善一階周期邊值問題的相關體系，探討了一類一階半正周期邊值問題正解的存在性。相較已有研究，引入了正常數k，將問題推廣至半正情形，加之權函數變號，正解的存在性研究變得更加復雜，尤其是在構造上下解及保證解的正性方面極其困難。基于此，在非線性項f 滿足不同條件時，利用縮放性質構造上下解，不僅避免了權函數變號以及半正情形的影響，而且所得上下解是良定的，再采用上下解方法證明了正解的存在性。

微分方程周期邊值問題研究無止境，本文不涉及高階微分方程以及權函數不連續甚至奇異的情形。此外，僅得到一階半正周期邊值問題的一個正解，并未考慮其存在多個正解的問題。