基于高考情境化試題的命題研究
——以四省聯考數學試題為例

朱 彬 胡曉靜

(1.湖南省長沙市南雅中學;2.湖南省長沙市雨花區雅境中學)

2023年度高考藍皮書《中國高考報告(2023)》中,對2023年高考數學命題變化提出“考試加入復雜情境”,這一變化在不久前出爐的由教育部命制的四省(安徽、云南、吉林、黑龍江)聯考數學試題中得以落地生花,整套試卷突出情境命題,像球形幾何、圓周率中的強弱率、開關陣列、養魚、橢圓曲線區塊鏈等新穎情境試題悉數登場,既融入了中國傳統文化,又體現了中國現代數學的應用,充分呈現出“無情境,不成題”的特征,對2023年的全國新高考復習備考有著非常明確的指導意義和導向作用.為此,本文對四省聯考出現的新情境試題進行研究,并從中得到教學啟示,供2023屆全國新高考地區師生在臨考階段復習備考時參考.

一、試題解析

1.新定義情境

這類題型是指試題給出中學數學沒有出現過的一些新概念、新性質、新符號、新運算等情境,在讀懂、理解新定義的基礎上,要求考生主動思考,通過將新定義信息遷移,建立新知識與已有知識的聯系,進而分析并解決問題.

【例1】(2023·四省聯考·22)橢圓曲線加密算法運用于區塊鏈.

(Ⅰ)當4a3+27b2=0時,討論函數h(x)=x3+ax+b零點的個數;

(Ⅲ)已知P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,且直線PQ與C有第三個交點,求P⊕Q的坐標.

參考公式:m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2).

當b>0時,h(x2)=0,所以h(x)有2個零點;

當b<0時,h(x1)=0,所以h(x)有2個零點.

當a=0時,b=0,則h(x)有1個零點.

【點評】本題情境豐富,對數學素養要求高,既有新定義運算情境,又有高等數學情境;既考查導數在求解函數單調性中的應用,但又不全盡然,需要在充分閱讀、理解所給信息的基礎上,通過推理論證才能完成解答,有效考查數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養,是一道情境頗為新穎的壓軸題.

2.新設問情境

這類題型在設問角度或方向上進行創新,要求考生能綜合運用所學知識進行探究,分析問題并最終解決問題.

【例2】(2023·四省聯考·8)已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則

( )

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

故a

當0

【點評】本題作為單選壓軸題,從題設條件到選項的設置,其情境都十分的新穎.求解本題的方法較多,若從單選題的題型特點考慮,可有下面的“秒殺”方法:當b→0時,a→log52,c→-∞,可知選B.請大家體會.

3.知識結合情境

這類題型往往不囿于單一的知識點,而是強調知識間的整合,在知識的結合點處創新情境進行命題,這是高考數學命題的一種重要趨勢.

( )

綜上,故選ABD.

【點評】本題設置三角函數模型在物理質點的圓周運動中的應用情境,結合物理內容考查三角函數的知識和應用,體現了跨學科間的相互支撐、相互補充,這類情境問題有意識地將數學與其他學科交叉、融合,對于促進學生學習能力、數學思維能力和創造性思維能力的發展具有很大的作用.

4.新載體情境

這類題型的命題載體往往打破常規,不受某些知識覆蓋面的約束,與數學學科中的內容也沒有直接和太多的聯系,不是課本中固有的知識或模型,但對理解、分析、判斷和邏輯推理能力卻有著較高的考查要求.

【例4】(2023·四省聯考·16)如圖為一個開關陣列,每個開關只有“開”和“關”兩種狀態,按其中一個開關1次,將導致自身和所有相鄰的開關改變狀態.例如,按(2,2)將導致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態.如果要求只改變(1,1)的狀態,則需按開關的最少次數為________.

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

【解析】把9個開關分成兩組:A組為(1,2),(2,1),(2,3),(3,2);B組為(1,1),(2,2),(1,3),(3,1),(3,3).按下A組開關可改變偶數個開關的狀態,按下B組開關可改變奇數個開關的狀態.若只改變(1,1)的狀態,則B組開關必須按下奇數次.另外,按下同一個開關兩次不會改變任何狀態,所以為了讓次數盡可能小,每個開關最多只按一次.

根據上面的分析,按下(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)可使得最終只改變(1,1)的狀態,且不存在按開關次數更少的方法.

故需按開關的最少次數為5.

【點評】本題不屬于某個數學知識點,而是在閱讀圖表、理解分析的基礎上進行推理判斷的,考查了數學抽象、邏輯推理及直觀想象等核心素養.

5.數學文化情境

這類題型以弘揚中華傳統文化,增強數學文化浸潤,吸收世界數學文化的精華為情境命題,引導學生熱愛數學文化,體現立德樹人總目標的要求.

【點評】本題以圓周率為命題情境,給出弱率和強率的定義,并以此進行分析、推理解答.我國古代的數學家在圓周率方面的研究,成績特別突出.祖沖之對圓周率的研究成果,讓我們感到十分驕傲和自豪.

( )

A.sinβ=sinγcosδ

B.cosβ=cosγcosδ

故選ACD.

【點評】本題以元代數學家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算為命題情境,在滲透數學文化的同時,考查了空間幾何體線面垂直的判定與性質及三角函數定義的應用,考查邏輯推理核心素養.

6.高等數學情境

這類題型注重從高中到大學的銜接,將大學有關的高等數學知識下放,以高等數學知識為情境命題,然后應用中學所學的知識解答,既可以開闊考生知識視野,有利于考生完成初等與高等知識的和諧銜接,又能夠考查考生運用高中知識分析、解決問題的能力及數學核心素養.比如例1第22題的橢圓曲線,例6第12題的球面幾何,例7的極大似然估計等,都是高等數學情境、中學知識解答的典型試題.

7.實際應用情境

給出現實生活、生產實際、科學研究等問題情境,與數學知識、方法建立聯系,構造并轉化為相應數學模型,應用數學工具解決問題.

【例7】(2023·四省聯考·20)一個池塘里的魚的數目記為N,從池塘里撈出200尾魚,并給魚作上標識,然后把魚放回池塘里,過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚,X表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數目.

(Ⅰ)若N=5 000,求X的數學期望;

(Ⅱ)已知撈出的500尾魚中15尾有標識,試給出N的估計值(以使得P(X=15)最大的N的值作為N的估計值).

(Ⅱ)當N<685時,P(X=15)=0;

故當N=6 666時,σ(N)最大,所以N的估計值為6 666.

【點評】本題以實際應用情境考查超幾何分布的概率公式、數學期望公式的應用.其實該題是試驗研究中常用的“標志重捕法”,讓考生用中學數學知識詮釋概率論與統計知識的可行性,銜接高中與大學的數學知識,考查“數學的應用”.

二、方法程序

解答數學情境化試題一是要全面審視各相關材料之間的關系,注意問題的整體結構;二是要尋求合理解決問題的思路、方法和途徑,其思維過程的程序框圖是:

具體地說,1.閱讀材料,理解題意:弄清題目中材料所表達的含義,并進行比較、分析、綜合、抽象與概括,領悟其數學實質,為制訂解題策略作準備.

2.整合材料,明確方向:在閱讀材料、理解題意的基礎上,有目的地對外來的和內在的信息進行提取、轉化、加工、整合和傳輸,從而明確解題的目標與方向.

3.聯想類比,分析求解:聯想、類比、轉換為相關知識或方法,采用適當的步驟,合乎邏輯地進行推理判斷或演算,實現解題目標.

三、教學啟示

2023年度高考藍皮書《中國高考報告(2023)》在高考評價體系內在的三條邏輯線中有這樣一段描述:“通過合理創設情境,設置新穎的試題呈現方式和設問方式,促使學生主動思考,發現新問題、進行新解釋、找到新規律、得出新結論.”無論是從這段描述還是從四省聯考數學試題中,可以預測2023年高考命題將更加重視對情境創新性的考查,這就要求我們在臨考復習備考階段重視和加強對數學創新型問題的研究.那么,高考復習中應注意哪些問題?下面提出幾方面建議,供讀者參考.

1.高考數學命題復雜情境越來越多、越新,閱讀理解、計算要求也越來越高,在教學中,教師需要引導學生加強針對數學情境化試題的訓練,進一步提高閱讀理解、推理論證和探索求解能力.要想讓學生考出理想的成績,復習中要多指導學生提升閱讀量,不懼怕試卷中題干較長的題目,而是迎難而上,抽絲剝繭般分析究竟想表達什么意思.

2.復習備考要重視抓基礎知識的理解和變通;重視典型題目中的基本方法總結,哪個方法在什么情況下使用要理順;要引導學生注重思考、總結和自主探究,這樣可以在一定程度上提高解決創新問題的能力.

本文系長沙市教育科學院“十三五”規劃課題“信息技術與中小學數學生命化課堂的深度融合研究”(CJK2019014)階段性成果.