“小題大做”中的學科素養與關鍵能力

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

2022年高考全國卷體現了鮮明時代主題,強化對學生的價值引領并引導學生全面發展.高考試題堅持通性通法在解題中的運用,同時重視對核心素養的考查,題目形式較靈活,這也有利于引導中學教學回歸正常軌道,避免一味練習傳統的難題怪題.下面筆者通過2022年兩道高考選擇題的多角度解析,梳理出比較兩個數的大小常用的方法和基本原理,剖析了命題者的目的,從考查學生的學科素養和關鍵能力的方式方法上進行了分析,并給出了教學建議.

1.題目與求解

【例1】(2022·全國甲卷文·12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則

( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【解題思路】

【點評】根據指對互化以及對數函數的單調性可知m=log910>1,再利用基本不等式、換底公式可得m>lg11,log89>m,然后由指數函數的單調性即可解出.

因為a=10m-11=10m-10lg11,

所以a=10m-10lg11>0.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】通過對數恒等式,將問題轉化為同底數冪的運算問題.利用基本不等式進行放縮解決問題.

令h(x)=xlnx-(x+1)ln(x+1),x>1,

則h′(x)=lnx-ln(x+1)<0,

所以h(x)

所以f′(x)<0,所以f(x)單調遞減,

所以log89>log910>log1011,

所以a=10m-11>10lg11-10lg11=0,

【點評】此方法中關注了冪的變化規律,從而構造出函數f(x),利用函數的單調性解決問題.

解法四:由9m=10,所以a=10m-11=10m-10-1=10m-9m-1,

b=8m-9=8m-10+1=8m-9m+1.

令f(x)=(t+1)x-tx(t>1,x>1),

則f′(x)=(t+1)xln(t+1)-txlnt>0,

所以f(x)單調遞增,所以f(x)>f(1)=1,

則a=10m-11>10lg11-11=0,

b=8m-9<8log89-9=0.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】此方法中關注了底的變化規律,從而構造出函數f(x),利用函數的單調性解決問題.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】此方法中關注了條件和結論間的關系,利用指數函數的單調性解決問題.

( )

A.a

C.c

總體思路一:構造函數法

比較兩個數的大小常用方法是構造函數,利用函數的單調性比較大小.構造函數的基本思路是根據兩個數的結構特點,聯想到相關知識從而構造出適合自身知識結構的函數,進而解決問題.構造出的函數形式因人而異,形式多變,體現出對基礎知識的綜合應用能力,也是創新思維的具體表現.

對于a,b的大小比較方法主要有下面的解法:

所以設f(x)=ln(1+x)-x(x>-1),

當x∈(-1,0)時,f′(x)>0,當x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,

所以函數f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)上單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,

故a

令u(x)=(x-x2)ex-x(0

則u′(x)=(1-x-x2)ex-1,

令t(x)=(1-x-x2)ex-1(0

則t′(x)=(-3x-x2)ex,

因為0

所以u′(x)<0,所以u(x)

解法三:由題得lna-lnb=0.1+ln(1-0.1),

令f(x)=x+ln(1-x)(0

所以f(0.1)

對于a,c的大小比較方法主要有下面的方法:

由于a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1),

令h(x)=ex(x2-1)+1,h′(x)=ex(x2+2x-1),

當0

所以當0

所以當00,函數g(x)=xex+ln(1-x)單調遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1>-ln0.9,所以a>c,故c

總體思路二:利用近似計算

近似計算是數據處理常用的方法,以直代曲是微積分的精髓,也是進行近似計算的常用方法.通過切線進行近似是中學中常用的近似方法.

解法一:ex在(0,1)的切線方程是y=1+x,所以ex≈1+x,

ln(1+x)在點(0,0)處的切線是y=x,所以ln(1+x)≈x,

c=-ln0.9=-ln[1+(-0.1)]≈-(-0.1)=0.1,

所以c

所以c

基本思路三:放縮法

放縮法是常用的數學方法,在解決各類數學問題中經常用到,其理論基礎是不等式的傳遞性,因此可以把要比較的兩個數進行適當的放大或縮小,使復雜的問題得以簡化,來達到比較兩個實數的大小的目的.

因為ex>1+x(00.1(1+0.1)=0.11,

所以a>0.11,所以a>c.

綜上,c

2.命題意圖與試題評析

2.1 命題意圖

我們可以看到,以上兩個題目分別以學生熟悉的指對運算為背景,從學生非常熟悉的知識出發,考查學生比較數的大小的常用方法.學生可以通過構造函數,利用導數判斷所構造函數的單調性,從而判斷數的大小關系,也可以通過放縮法,或估值法對數據進行處理,最終得到數據的大小關系.題目可以很好的考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力和數據處理能力.從思想方法的角度看,可以很好的考查函數與方程思想、化歸與轉化思想,以及數據估算與近似估計的思想.體現數學運算、邏輯推理和數據處理核心素養,從而考查學生的關鍵能力以及必備知識的掌握程度.

2.2 試題評析

數的大小比較問題是高考中經常出現的題型,題目的背景靈活多變,可以在多個知識點設置題目,綜合性強,靈活度高,并且難度比較好控制.今年這兩道比較大小的問題解題方法靈活多變,綜合性強,有效地規避了經常用的特殊值法,達到了去模式化、套路化的目標.試題設計的非常新穎,不僅有高度,還有深度,充分體現創新性,有效地規避解題的套路化,回歸數學本質.用學生熟悉的知識背景,設計開放、靈活的題目,考查學生對學科內涵的理解廣度與深度,從而考查學生的數學素養,更好的服務創新型人才的選拔.

3.探本溯源

比較兩個數的大小是教材當中貫穿教學的一條內在主線,從預備知識開始就進行比較兩個數的大小的基本方法.從基本事實:a,b∈R,a>b,a-b>0;a=b,a-b=0;a

4.教學建議

4.1 立足必備知識 提升核心素養

《課程標準》、《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》是備考與命題的綱領性文件,結合高考試題,仔細研究這些文件在高考試題中是如何與四基四能相結合,怎樣通過創新題目設置方式和背景,從而考查學生的關鍵能力與核心素養,教師在備課時把這些研究透徹后,就可以很好的把握命題方向,在復習時實現事半功倍的效果.教師要轉變自身的教育理念,聚焦于核心素養,在《課程標準》和《中國高考評價體系》的指引下重塑知識間的關系,以核心素養和關鍵能力重新審視高中知識和方法,從而轉變對于學生的培養方案和教學模式.使教師不僅僅是知識和方法的傳授者,更應該是學生學習思想和方法的引領者.

教師可以對同一個問題創設不同的情境,采用不同的表述方式,多角度,多層次的考查學生的學科素養,學生在解題基本活動經驗的積累過程中,根據各類試題的特點,歸納總結出解決某類問題的基本思路與方法,從而提煉通性、通法,如函數與方程、分類討論、數形結合、化歸與轉化的思想,利于提升學生的學科核心素養.

4.2 注重知識的綜合應用,提升關鍵能力