從借題發揮到解決問題

卜以樓

從借題發揮到解決問題

卜以樓

一、背景分析

在一次校本課程活動中，筆者根據“蘇科版”義務教育教科書《數學》八年級中的兩道原題，設計了下列問題，供學生探究。

八年級（上）和八年級（下）的課本中分別有這樣兩道習題：

（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在同一直線上，試說明AD與BE的關系，并說明理由。（八上第67頁）

（2）如圖2，四邊形ACDE和CBGF都是正方形，且點A、C、B在同一直線上，試說明AF與BD的關系，并說明理由。（八下第94頁）

請你根據上述兩道習題的數學本質，借題發揮，提出一個關于這兩個問題本質的新問題，并給予解答。

圖1

圖2

這是一道開放題，盡管可以從多角度發現不同的問題，提出不同的問題，但是能夠理解題意，揭示這兩個問題本質，從正三邊形（等邊三角形）到正四邊形（正方形）再到正n邊形去探索類似于問題（1）、問題（2）中的兩條線段關系的學生卻寥寥無幾。究其原因，是學生平時對問題的解決只止于習題本身，自認為只要將提供的習題做出個正確答案，就算是解決問題了。其實這種“學答”式解決問題的思維方法，沒有在真正意義上去解決問題。它不能算是一種有效的、高質量的思維方式，它缺少對問題的本質研究，缺少對問題的多維遷移，只能算是“一題一答”。那么，什么樣的活動才是真正意義上的解決問題呢？筆者認為，在解決一道習題的過程中，要看清問題的本質，并借題發揮，對問題進行變式與推廣，這樣才能有效地培養發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，這樣的解題，才能算是一個高質量、有品位的活動，這才是一個“高大上”的解題范式。

現在的問題是，如何讓學生通過借題發揮來解決問題呢？筆者認為，除了要鞏固在解題教學中已取得的“從最近聯想到優化思維”“從優化思維到借題發揮”等研究成果外，還要在“從借題發揮到解決問題”等方面做好文章，在更大層面上挖掘解題教學的價值。下面就“從借題發揮到解決問題”這個解題視角，談幾點具體做法。

二、幾點做法

1.借發揮習題來解決問題。

借發揮習題來解決問題，就是借解決某個問題來做文章，以彰顯這個問題的價值。下面以2010年無錫市中考題為例來說明這個問題。

例1：（1）如圖3，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點。若∠AMN= 90°，求證：AM=MN。

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明。

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME，如圖4。

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB= BC。

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB

=180°-∠B-∠AMB

=∠MAB

=∠MAE。

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖5），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由。

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：

當∠AMN=°時，結論AM=MN仍然成立。（直接寫出答案，不需要證明）

圖3

圖4

圖5

圖6

【簡析】（1）題中提供的方法中，已有∠NMC=∠MAE。

考慮到AE=MC，∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB=45°，則∠AEM=135°。

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°。

則△AEM≌△MCN，故AM=MN。

（2）只要把問題（1）的證明思路全盤借用過來，那么（2）的結論AM=MN仍然成立。

為此，在圖6中，可仍在邊AB上截取AE= MC，連接ME，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°。

∵AE=MC，∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB= 60°，∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN。

（3）將問題拓展到正n邊形ABCD…X中，這是一個認識上的飛躍，也是解決問題（1）和（2）的價值之所在。為此，我們還可以利用兩角及其夾邊相等來證明兩個三角形全等，那么就易得

【點評】如果我們只是解決第（1）問或第（2）問，很難發現這個問題的價值，也很難將該問題推廣到一個正多邊形中去。但是，如果我們在解題過程中，堅持把握問題的價值，堅持厘清問題的本質，堅持變式問題的眼光，借發揮已解決過的習題來解決更加深入的問題，就一定能揭示出問題的本質，就一定會獲得解題的更多精彩。

2.借發揮方法來解決問題。

借發揮方法來解決問題，是解題教學中常見的解題策略，它具有發揮遷移方法的正向導向功能。下面以2015年南京市鼓樓區一模的一道壓軸題來說明借發揮方法來解決問題的價值。

例2：【問題提出】

如圖7，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC= 120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積。

【嘗試解決】

旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉解決問題。

（1）如圖8，連接BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點D順時針方向旋轉60°，得到△DAB'，則△BDB'的形狀是。

（2）在（1）的基礎上，求四邊形ABCD的面積。

【類比應用】

如圖9，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四邊形ABCD的面積。

圖7

圖8

圖9

圖10

【簡析】嘗試解決：

（1）借用旋轉的性質，易得△BDB'是等邊三角形。

（2）如圖10，∵AD=CD，∴旋轉后點A和點C重合。

∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD+∠BCD= 360°-180°=180°。

由旋轉得：∠BCD=∠B'AD，

∴∠BAD+∠DAB'=180°，即B、A、B'在同一條直線上。BB'=AB+AB'=AB+ BC=3，∴等邊△BDB'的邊長為3，

過B'作等邊△BDB'的高B'E，∵∠ABD=

類比應用：

由于本問題與“嘗試解決”有異曲同工之處，所以仍可連接BD，由于AD=CD，可將△BCD繞點D順時針方向旋轉60°，得到△DAB'，則△BDB'是一個等邊三角形。（具體過程略）

不過，連接DB后，我們也可將△DAB繞點D逆時針旋轉60°到△DCB'，如圖11。

由旋轉同（1）可得：CB'=AB=2，△BDB'是等邊三角形。

∵四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=360°-（60°+75°），∠BAD=∠B'CD。

∴∠B'CB=360°-［360°-（60°+75°）］=135°。正因為∠B'CB=135°，才使問題出現了轉機，此時，我們可以根據135°角構造一個銳角為45°的直角三角形，使問題解決看到了希望。因此，可過B作BE⊥CB'，∴∠BCE=180°-135°=45°。

∵BC=2，∴BE=CE=BC·sin45°=1。

∵Rt△BEB'中，∠E=90°，BE=1，B'E=3，

∵S四邊形ABCD=S△BDB'-S△BCB'，

∴S四邊形ABCD=

【點評】本題充分展示了旋轉變換這一解題方法在解題中的價值。在“嘗試解決”這個環節中，由于條件的特殊性，旋轉后B、A、B'三點在同一條直線上，為解決問題提供了有利的方法。到“類比應用”這個環節中，旋轉后B、A、B'三點不在同一條直線上，這對解決問題增加了難度。但是在旋轉后，發現∠B'CB=135°，這又為解決問題提供了轉機。如果在一個結構里研究這個問題的話，不難發現，無論旋轉后B、A、B'三點是否在一條直線上，∠B'CB的度數必須是一個特殊角，我們才能不用三角函數表或不用計算器有效地解決問題。如果不是特殊角，那么就必須借助三角函數表或計算器或再提供一些所需要的三角函數值，才能順利地解決問題。在這個過程中，我們可以清楚地看到借發揮方法來解決問題的魅力所在。

圖11

3.借發揮本質來解決問題。

數學本質是高觀點下的數學屬性，它是對數學概念的精準把握，是對定理法則的高度詮釋，是對思想方法的哲學定位。因此，借發揮本質來解決問題，是數學解題的最高境界。下面以南京市高淳區的一道初二期末試題來說明這個道理。

例3：已知點M、N分別是正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上的點，連接AM、AN、MN，∠MAN=135°。

圖12

（1）如圖12，若BM=DN，求證：MN=BM+ DN。

（2）如圖13，若BM≠DN，試判斷（1）中的結論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。

【簡析】（1）解決“MN=BM+DN”這類問題，學生憑經驗不外乎是用“截長補短”法。因此，有一部分學生會采用下列方法來解決問題（1）。

作AE⊥MN，垂足為E，如圖14，這樣就把線段MN截成EN和NM兩個部分，此時可用“截長法”來解決問題。

由四邊形ABCD是正方形得，AD=AB，BC= CD，∠ADC=∠ABC=90°，

則∠ADN=∠ABM=90°。

在△ADN與△ABM中，由于AD=AB，∠ADN=∠ABM=90°，DN=BM，

∴△ADN≌△ABM，則AN=AM，ND=MB。

又∠MAN=135°，AN=AM，

∴∠ENA=∠EMA，

又BC=CD，ND=MB，則∠NCM=90°，

∴∠CNM=∠CMN=45°，而∠ENA=∠EMA= 22.5°，

∴∠ENA=∠EMA=∠BMA=∠DNA=22.5°，

則△ENA≌△EMA≌△BMA≌△DNA。

∴DN=BM=EN=EM。

∴MN=EN+EM=BM+DN。

這種方法是基于△ADN≌△ABM形成了“∠ENA=∠EMA=∠BMA=∠DNA=22.5°”這樣一個特殊的數量關系而得到問題（1）結論的。

如果將這種方法遷移到問題（2）中去就很難奏效了。原因何在？是因為問題（1）的證明方法沒有揭示出問題本質，它只是一個“技巧”而已。這個技巧就是能夠得到△ENA≌△EMA≌△BMA≌△DNA。當BM≠DN時，△ENA、△EMA、△BMA、△DNA這幾個三角形就不全等了，所以問題（1）的方法不靈了。那么，這道題的數學本質在哪兒？既然用“截長”揭示不出問題的本質，那么就用“補短”的方法試試。延長BC到點P，使BP=DN，連接AP，如圖15。通過證△ABP≌△ADN、△ANM≌△APM解決問題。具體證法如下：

（2）若BM≠DN，（1）中的結論仍成立，理由如下：

在如圖15中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，

∴∠ADN=90°。

在△ABP與△ADN中，∵AB=AD，∠ABP=∠ADN，BP=DN，

∴△ABP≌△ADN，

∴AP=AN，∠BAP=∠DAN。

∵∠MAN=135°，

∴∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN= 360°-∠MAN-∠BAD=360°-135°-90°=135°，

∴∠MAN=∠MAP。

在△ANM與△APM中，∵AN=AP，∠MAN=∠MAP，AM=AM，

∴△ANM≌△APM，

∴MN=MP。

∵MP=BM+BP=BM+DN，

∴MN=BM+DN。

圖14

圖15

【點評】解題教學關注的要點固然很多，在這里要強調的是，根據題意尋求數學問題本質的解法不能少。就本題而言，解決問題（1）的方法雖然能讓學生得到一定的“考試分數”，但用它去解決問題（2）就不行了，那是因為它缺少邏輯連貫的本質，為此有必要尋找出揭示數學本質的方法來解決問題（2）。在學生得到本質解法后，再讓學生回過頭來用解決問題（2）的方法去解決問題（1），學生必然會在這個思維過程中，體會到本問題中數學本質的恢弘氣勢，這也為學生在以后的解題中，探究問題的數學本質提供了動力傾向。

三、教學思考

解題教學有一種傾向，就是選擇的習題，總喜歡在“大題”“難題”“量多”上做文章，認為這樣才能有效訓練學生的思維，才能使學生經得起任何形式的考驗。其實不然，從上面分析可以看出，習題教學還要兼顧“借題發揮來解決問題”。因此，在習題教學中，筆者認為還要把握好下面三個要點。

1.題不在大，有魂則靈。

習題教學中選擇的題，不一定要是“大題”，但要選擇那些能夠讓數學思想方法貫串在其中的經典習題，供學生探究。就是說，一要選擇解法自然的問題，讓學生自然地想到解題方法，這種方法不是教師強加給學生的方法，而是學生的“思維必然”，是學生根據題目中的條件自然產生的解題方法，并且這種方法還能遷移到類似的問題中去，讓學生解一題，懂一法，會一類。即使是新的解題方法，那么這種方法，一定要有較強的遷移性和廣泛的適用性。二要選擇能揭示數學本質的問題，讓學生在解題過程中，看清數學的本來面貌，自然地結構化數學知識，這樣學生就有舉重若輕的感覺。上面說的兩點，事實上就是“題魂”，因此，有“題不在大，有魂則靈”一說。

2.題不在多，有法才行。

如何控制習題教學中的題量，是習題教學的又一個值得研究的問題。解題的價值不在題量的多少，而在于解題方法的形成和解題方法本身的價值。

合適的解題方法，源于對數學概念的理解、對法則定理的運用、對已有解題方法的遷移的靈活度和對題目中條件與結論關聯的靈敏度。解題方法本身的價值，源于本方法的應用性和遷移性，最好能形成在某些條件下的“通性通法”。對于一些特殊的解題技巧，教學中要有機提煉，不可盲目追求。要注意技巧要在通性通法上形成，讓學生首先“想得到”，其次是“想得妙”。如例3中的解題方法，既可以是一種通法，也可算是一種技巧，學生在解決例3的過程中，才會感受到通法與技巧的關系，才能再次積累一些解題經驗。

3.題不在難，有為就可。

同樣，習題教學中還有一個難度控制的問題值得重視和研究。解決這個問題關鍵要在“為”字上去把握和選擇。“為”就是解決問題的作為，這個作為就是數學內在的本質，在解題教學中揭示數學本質，就是解題活動的根本目的。如果解題教學只是簡單地追求問題的結果，不去追求思維的價值，必然會淡化解題教學的價值。如例3中第（1）問的解答，在某種程度上也能得到問題的答案，但那只是一個答案而已，如果變換一下“馬夾”，就不知所然了，原因就是解答過程沒有揭示數學本質。

提出“從借題發揮到解決問題”的教學主張，就是想從提供的問題中尋找到攻破問題的鑰匙，這個鑰匙就是數學本質，讓學生能自覺地用這個數學本質去真正地解決問題。

（作者為江蘇省中學數學特級教師，正高級中學教師，現任教于江蘇省南京市寧海中學分校）