以形助數 推算等式

浙江杭州市蕭山區賀知章學校（311203） 張芳蘋

一、研究緣起

圖形等式推算是解決問題的一種重要策略和方法。為了解學生對圖形等式推算的掌握情況，筆者對本校404 班全體學生進行了測試，得到以下結果：

測試題1：35×□+300=720。該題是簡單、明確的圖形等式，學生基本會運算。

測試題2：15×□=12×（□+17）。該題屬于較復雜的圖形等式，不能簡單地用四則運算的關系解決，所以學生都束手無策。

測試題3：A、B 兩市相距180 千米，甲、乙兩車同時從兩市出發，相向而行。甲車每小時行35 千米，3 小時后兩車相遇。問乙車的速度是多少？對于該題，沒有學生用圖形等式解決。

產生以上現象的原因有三點。①認識不深。學生對于圖形等式推算的重要性認識不深，主動運用的意識更是薄弱。②審題不細。學生在搜集信息、處理信息、整合信息方面的能力較弱，包括讀題、分析數量關系等，沒有理解題意，就不會列圖形等式。③方法單一。圖形等式推算已成為學生的一種心理負擔，不少學生只會對兩步以內、簡單的圖形等式進行逆運算，碰到需要轉化、合并的圖形等式時，不知如何下手。因此，學生在解決問題時更不會選擇圖形等式推算這一方法。

筆者認為，列圖形等式有助于學生厘清思路、分析數量關系、化抽象為形象，從而解決問題，發展數學邏輯思維。但在日常教學中，圖形等式推算這一方法沒有引起教師的足夠重視。

二、實踐研究

學生學習數學的過程是循序漸進的：了解、理解、掌握、運用。筆者遵循這一規律，在圖形等式推算的教學中，分四個步驟教學：認識、學會、運用、滲透。

1.思維引領，認識圖形等式推算

含有圖形的等式推算在教材的各個年級都會出現相應的思考題，如“3+■=5”“36÷■=4”“3×4+☆=24”，對于這樣簡單的圖形等式，四年級學生一般能夠利用圖形和已知數的關系求出圖形的值。如果僅是將這類題當作逆向思維習題訓練，那么題目的其他價值就沒有體現出來。故教師需要串聯知識板塊，引領學生意識到圖形等式推算在解決實際問題時的獨特價值。

（1）深入挖掘舊知，認識圖形等式推算

從低學段開始，學生已習慣直接得出結果的算式，不會列圖形等式，更沒有列圖形等式的意識。教師不僅要告訴學生，解決應用題可以用圖形等式推算，還要教學方法的原理及應用步驟。因此，筆者首先帶領學生認識圖形等式推算。

【案例1】認識圖形等式推算

（教師出示“3+■=5”“36÷■=4”“3×4+☆=24”）

師：同學們見過它們嗎？它們有什么特點？

生1：都用符號代表數字。

師：很好，再找一找，還有什么共同點呢？

生2：都有等號。

師：這樣含有等號的式子叫等式。像這樣有圖形的等式，你們覺得應該取個什么名字？

生（齊）：圖形等式。

師：接下來請大家算一算圖形等式里的圖形都代表數字幾。

（學生回答出分別是2、9、12）

師：我們把這樣求出圖形等式中圖形所表示的數的過程叫圖形等式推算。

讓學生在舊知的基礎上提煉本質，明確圖形等式和圖形等式推算的概念，認識到圖形等式推算就是求出圖形等式中圖形所表示的數的過程，在不斷進行鞏固訓練的基礎上，加深學生對概念的理解。

（2）觀摩優秀案例，打破學生思維定式

在圖形等式推算的練習中，部分學生覺得圖形等式推算換湯不換藥，無非就是求未知數。此時，利用優秀的案例讓學生重新認識圖形等式推算是十分必要的。

將常見的圖形等式推算運用到行程問題中，是學生沒有嘗試過的，他們不免充滿了陌生感。這時，用簡單易懂的案例介紹圖形等式推算的方法，鼓勵學生多接觸，學生對于圖形等式推算就不那么陌生了。而用稍復雜的案例能讓學生對圖形等式推算產生一定的興趣，當用圖形等式推算解決了難題，一道難題被解決的喜悅往往能培養出學生對圖形等式推算的好感。

2.有效審題，學會圖形等式推算

盡管有的學生基礎知識掌握得很好，但如果不會審題、看不懂題意，題目還是解不出來，更談不上什么教學效果。因此，認真審題、能準確把握題目中有價值的信息，顯得尤為重要。

審題步驟可分為初讀、細讀、精讀、復讀。筆者認為這是對數學信息的搜集、整合、概括、再思考的過程。教師要引導學生結合題中重點詞句理解題意、借助圖形與一定的方法輔助解決問題，從而學會圖形等式推算。

（1）理解重點詞句

課堂上，經常能聽到教師問“你得到了哪些數學信息”后，學生僅是完整地將題目讀一遍。數學信息確實在題目中，但它們隱藏在重點詞句里，如行程問題中常見的相對、相向、相背、相遇、相差、同時、同向等詞語，抓住這些關鍵詞，往往能順勢把題意轉化成圖形等式。

【案例2】把題意轉化成圖形等式

出示題目：兩地相距270 千米，甲、乙兩車同時從兩地相對開出，1 小時后相遇。已知甲車的速度是乙車的1.5 倍，求甲、乙兩車每小時各行多少千米？

師：同學們，讀完后，你劃出了哪些重點詞句來幫你理解題意？

生1：“同時”“相對”“相遇”。

生2：“甲車的速度是乙車的1.5倍”。

師：很好，我們來分析一下這句話。

（板書：如果乙車速度=每小時行□千米

甲車的速度是乙車的1.5倍

甲車的速度=□×1.5）

師：現在，甲乙兩車的速度都可以用含□的式子表示出來，那么怎么列等式呢？

生3：甲乙兩車行的路程加起來等于兩地間的距離，列式□+1.5×□=270。

師：解答得很棒，同學們，這就是我們列出來的圖形等式。

（2）培養畫圖意識

【案例3】認識畫圖的重要性

題目：甲、乙兩車同時從兩地出發，相向而行。已知甲每小時行45千米，乙每小時行32千米，相遇時甲車比乙車多行52千米，此時過了幾小時？

師：誰來說說該怎么列圖形等式？

生1：假設過了★小時甲乙兩車相遇，由于甲車每小時比乙車多行45-32=13（千米），過了★小時甲車比乙車多行13×★千米，所以13×★=52。

（生1說完后，很多學生搖頭表示不明白）

生2：老師，我知道了，我能把這句話表述清楚。先畫圖（如圖1），表示過了★小時甲乙相遇。等量關系：甲行的路程-乙行的路程=52 千米，即45×★-32×★=52。

圖1 甲乙兩車行程示意圖

培養學生畫圖意識，需要教師適時加以引導。講課中，教師要少畫圖，鼓勵學生自己動手畫一畫、說一說，讓學生發自內心體會到畫圖能將問題簡單化，有助于理解題意、快速準確地列出圖形等式。

（3）學會推算等式

一步到位的圖形等式，學生是容易完成的。故重點和難點是兩步甚至三步以上圖形等式推算。

【案例4】圖形等式推算方法

出示：35×□+300=720。

師：圖形等式中的運算順序同一般數學算式，所以某一步中含有圖形的，需要看作一個整體。解這個算式，把35×□看作一個整體，想35×□等于幾？一個加數=和-另一個加數，得到35×□=420，

題目轉化為一步圖形推算。出示：120-◇×5=30。

生1：我把◇×5 當成一個整體，減數=被減數-差，◇×5=90，◇=18。

出示：40×■+60×■=2400。

生2：利用乘法分配律，轉化成（40+60）×■=2400，就能很快算出■。

出示：2×★+1=★+3。

生3：這個圖形等式可以通過兩邊同時減1 轉化成2×★=★+2。

師：非常好，那現在怎么求★呢？

（生3搖搖頭，表示沒有辦法。）

師：一邊有圖形的要先合成一處，那兩邊有圖形的首先要轉化成只有一邊有圖形，兩邊同時減去一個★，得★=2。

師：那能解“2×★-3=★-1”嗎？

生4：等式兩邊都先同時加上3，轉化成“2×★=★+2”，就和前面那題一樣啦！

通過實踐讓學生認識到等式一邊有圖形的要先合成一處，等式兩邊都有圖形的需要轉化為只有一邊有圖形，利用四則運算不斷求解二步以上的圖形等式。

3.舉一反三，運用圖形等式推算

學習了圖形等式推算這一解題策略后，學生碰到各種行程問題，要第一時間辨別該題適不適合用圖形等式推算來解決，要根據等式選擇合適的方法。

（1）辨析題型

【案例5】討論圖形等式推算的題型特點

師：同學們，你們認為哪些行程問題可以不用圖形等式推算來解？

生1：我認為能直接求出來的題可以不用。

師：反之，不能直接求出來的題可以用圖形等式推算對嗎？還有沒有可以不用圖形等式推算來解的？

生2：簡單的題可以不用。

師：你的意思是復雜的題可以用圖形等式推算，但是簡單或復雜因人而異。其實“直接求出來”與“簡單”是同一個意思。我們說一步到位的題、正向思維運算的題可以不用圖形等式推算。

出示案例3 的變式：甲、乙兩車同時從A、B 兩地出發，相向而行。已知甲車每小時行45 千米，乙車每小時行32 千米，相遇時甲車比乙車多行52 千米，問A、B兩地相距多少千米？

生3：這個題可以先用圖形等式推算，假設相遇時間為★小時后，求得★是4 小時，A、B 兩地的距離是45×4+32×4=308（千米）。

顯然，已有一部分學生意識到圖形等式推算在解決較復雜的行程問題時的重要性，會選擇圖形等式推算來解決。

（2）建構模型

在一定的鞏固訓練基礎上，學生對用圖形等式推算解決行程問題已有了經驗。此時，通過一類圖形等式推算總結出一類代數模型的求解方法（見表1），能為以后的方程學習做鋪墊。

表1 由圖形等式到方程

隨著圖形等式增多，代數模型呈現形式變得多樣，但在一系列轉化合并后仍會回到最基礎的代數模型。另外，教師還可鼓勵學有余力的學生探究三步以上圖形等式的代數模型求解方法。

4.發散思維，滲透圖形等式推算

圖形等式推算作為一種解題策略，不僅能解決行程問題，還能解決其他類型的問題，如解決雞兔同籠問題、求長方形長和寬等。在教學中不要單純地就題論題，而要把學生已學的方法滲透到多種題型中去，一方面鞏固圖形等式推算的訓練，另一方面使學生意識到要融會貫通新方法，發散思維地運用它。

三、實踐反思

圖形等式推算在問題解決中具有十分重要的作用，它生動形象地將復雜的數學問題變得簡單明了。在實踐研究過程中，筆者看到學生運用圖形等式推算解決問題的意識增強，對題目的辨析思考能力增強，學生運用圖形等式推算解題，大大提高了他們的問題解決能力，同時也大大提高了課堂學習效率。然而，圖形等式推算作為解決問題的一種策略和方法，與五年級“等式性質”不同，那么教師在教學中應如何引導學生靈活選擇這一策略方法？影響學生運用這一策略的因素又有哪些？這一系列的問題都值得繼續思考。