立足本手　巧構(gòu)妙手　釋疑俗手

安愷凱　沈丹丹

2022年語文新高考Ⅰ卷以圍棋的三個術(shù)語“本手、妙手、俗手”為作文題目，其中本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法.筆者由此想到，在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中，不也會經(jīng)常遇到的正規(guī)解法、精妙解法、以及貌似合理卻錯誤的解法嗎？筆者便從“本手、俗手、妙手”三個角度分別入手，來探究一道對稱雙變量條件最值問題，現(xiàn)整理如下，以饗讀者.

1 問題呈現(xiàn)

問題1 設(shè)實數(shù)a，b滿足a+b=6，則（a2+4）（b2+4）的最小值為＿＿＿.

這是一道題既簡潔又優(yōu)美的雙變量函數(shù)的條件最值問題，其優(yōu)美感來自于代數(shù)結(jié)構(gòu)中的對稱性，即在條件和結(jié)論中，任意交換兩個變量都不會改變條件和目標函數(shù).然后在這道試題簡潔優(yōu)美的外表下，卻隱藏著有一個極具誘惑性的“俗手”，即通過令兩個對稱變量相等來求出最值，文獻［1］稱這種方法為對稱變量法.在一次測試中，不少學(xué)生便把a=b=3代入目標函數(shù)求得最小值為169，測試情況反映出對稱變量法這招“俗手”具有明顯的普遍性，也反饋出該類型問題具有一定的深度探究價值.

文獻［1］針對此問題進行了探討，但僅僅先由整體換元法來求得正確結(jié)果144（當a=3+5，b=3-5或a=3-5，b=3+5時），再通過指出“144比169小”來否定對稱變量法.筆者認為這并不能完全打消學(xué)生心中的疑惑：“答案為什么不是a=b=3這一對稱、優(yōu)美、合乎情理的數(shù)，而是3±5這一怪異、丑陋、匪夷所思的數(shù)？對稱變量法的錯因到底在哪里？對稱變量法的適用條件又是什么？”筆者首先肯定學(xué)生的質(zhì)疑精神，繼而將問題1中的條件與結(jié)論推廣到一般形式，使其更有研究價值.

2 立足本手 風(fēng)光不與四時同

問題2 設(shè)實數(shù)a，b滿足a+b=m（m＞0），則當t＞0時，f（a，b）=（a2+t）（b2+t）的最小值為＿＿＿，此時實數(shù)a，b的值分別為＿＿＿.

5 結(jié)語

2022年語文新高考Ⅰ卷對“本手、妙手、俗手”有如下闡述：“本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造.一般來說，對本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升.”在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中也正是如此，教師首先應(yīng)當立足于“本手”，即立足于“四基”，引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，從而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)；其次應(yīng)注重在解題教學(xué)過程中合理體現(xiàn)幾何直觀與代數(shù)運算之間的相互融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解，從而實現(xiàn)解題教學(xué)由“知識立意”向“能力立意”的轉(zhuǎn)變，以此才能促使學(xué)生在解決具體問題時，從不同角度來巧施“妙手”.同時“俗手”亦有豐富的思維價值，通過對“俗手”的錯因與成因的深度探究，可養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神，也有利于提高學(xué)生的獨立思考能力.

參考文獻

［1］孫承輝.從學(xué)生的三個疑問反思基本不等式復(fù)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2018（6）：48-50.

本文是江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項課題《高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)策略研究》（課題編號：2021JY14-XK16）的階段性成果.）