立足關鍵能力的“平方差公式”教學策略研究

馬振華

1 數學關鍵能力的認識

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下面簡稱《數學課程標準》）有指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力”．從核心素養的內涵上看，關鍵能力顯然是核心素養的外顯，在《數學課程標準》中提出了６個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，并沒有對數學關鍵能力具體敘述．從核心素養的描述上，其主要表現與數學關鍵能力密切相關，例如數學抽象主要表現為“獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系”．這種描述顯然是一個過程，既然是過程那就一定需要以知識為載體，以活動為支撐，根據活動的表現情況能展現出能力的強弱，其他5個核心素養亦是如此，所以6種核心素養其本質中蘊含6中關鍵能力．

2 緣起：公式教學中學生數學關鍵能力的現狀

乘法公式是為了快速化簡具有特殊結構的多項式相乘的形式，有許多數學思想方法蘊含在其出現及發展的過程中，這些數學思想方法有助于數學關鍵能力的培養．特比是平方差公式作為公式學習的起始課，承載了乘法公式研究方法的指導、甚至是能力培養的重要使命．

在公式教學中，教師往往只重視公式的運用，雖然說以例題和練習作為重點可以提高學生運算能力，但這樣導致公式的研究較為片面，學生由于不清楚為何學而感到枯燥，無法認識公式的意義，進而導致這樣的“運算能力”留有隱患．教學中具體存在問題如下：

2.1 缺乏知識結構的指導

平方差公式是多項式乘法的特殊情況，在教學中如何使學生認識特殊之處，如果教學時僅僅使學生通過計算兩個特殊二項式相乘發現歸納，那么學生就無法整體認識乘法公式與多項式乘法的關系，不利于后續完全平方公式等知識的自然生成．

2.2 缺乏邏輯的引導推理

平方差公式（a＋b）（a－b）=a2－b2其本質是一個恒等式，對于恒等式的證明如何思考推理，從左往右、從右往左還是往中間化，這是培養學生嚴密思維的好材料，而不是僅僅就用整式的乘法法則化簡即可證明．公式的幾何驗證不是僅僅直接ppt展示計算，而是可以引導學生類比整式乘法研究方法的一致性思考等式左右兩邊代數的幾何特征，利用問題導向使學生逐步建立二次代數式和面積的關聯．

2.3 缺乏公式運用的程序化要求

平方差公式的運用往往會形成這樣的情況，簡單的學生直接寫出結果，當遇到字母表達時，學生往往無法解決，缺乏符號處理的能力和整體觀思考的經驗，在公式運用時引導學生先判斷確定a、b，其次代入a2－b2，最后化簡，并運用反例辨析加深學生對公式結構特征．

3 建構：關鍵能力導向下的公式教學思路

平方差公式的教學思路以“設計課堂活動-滲透思想方法-助力能力培養”三個維度展開，如圖1三位維度對應從外向內的圓指向關鍵能力的培養，以平方差公式教學為例，其中“外圈扇形”為課堂的核心活動，“中圈扇形”為學生感悟的思想方法，“內部扇形”為培養的關鍵能力．

4 實施：指向關鍵能力培養的公式教學

4.1 創設情境，從觀察和比較中培養數學抽象能力

在公式教學中，學生能在具體的例子中觀察每個式子的特點，比較不同式子之間的異同，抽象出有共同特征，用符號和文字語言概括，從而體會到數學抽象的具體步驟和方法，積累經驗，逐步形成數學抽象能力．筆者在平方差公式中，設計發現問題、觀察分析、歸納描述等環節幫助學生提出猜想．

問題1 上節課我們學習了多項式與多項式的乘法法則，你能來描述這個法則嗎？請與同桌說一說或寫一寫．

追問1：說一說我們是如何證明這個法則的？

師生活動：引導學生文字符號表述多項式乘法法則，分別回顧從數的角度分配律證明法則和從形的角度圖形面積驗證法則．

教學說明：文字語言和符號語言是法則或者規律抽象的高度概括，一方面說和寫有利于學生深化對法則的認識，有利于形成數學結構與體系，另一方面為本節課從數和形兩個角度證明平方差公式提供思路．

問題2 你能用多項式乘法法則化簡下列算式，你能發現什么規律？

師生活動：學生獨立化簡，分別讓3位學生板書．

追問1：上述問題中相乘的兩個多項式有什么共同點？

追問2：兩個2項多項式的積的結果出現了什么情況？

師生活動：關注相乘的兩個多項式和結果的項數和次數，相同的是兩個多項式都是一次兩項式，結果次數是二次，但不同的是結果的項數有四項、三項、二項．

追問3：同樣是二項式乘二項式，為什么它們的結果有四項、三項、二項的情況？

師生活動：這與相乘的二項式的項有關系導致化簡時出現合并同類項，從而引起項數減少．接下來我們將來研究兩個二項式相乘積的結果只有兩項、三項的特殊情況，使得運算減少步驟變得更加簡便．今天我們先研究最特殊情況，即兩個二項式相乘積的結果只有兩項的情況，板書平方差公式．

教學說明：公式的產生其本質為了簡便運算，從數學內部引入這樣的設計能使學生體會乘公式的研究目的，有利于學生建構乘法公式的體系．在觀察算式左右兩邊時學生從多項式的次數和項數兩個方面的特征對結果進行分類，培養學生觀察分析的能力，讓問題自然發生，符合學生認知特點，讓學生初步感受公式的適用條件．

問題3 觀察（4）（5）（6），結果是兩項的式子，相乘的兩個多項式和它們的積中各項有何關系？

追問：你能將發現的關系用式子表達出來嗎？

師生活動：學生觀察并思考，發現相乘的兩個多項式的規律，用字母表示成（a＋b）（a－b）=a2－b2．

一方面通過復習多項式乘法法則和證明方法，以計算的方式引入具有承上啟下的作用，算式中（1）為一般形式，（2）是十字相乘的形式，（3）是完全平方公式，（4）（5）（6）是平方差公式，是本節課主要研究對象，這樣的設計使學生初步感受乘法公式要研究的內容，體會“一般”到“特殊”的關系，初步能觀察到公式的特征，為下一步概括公式提供幫助．另一方面通過關鍵問題的指引，使學生歸納出本節課研究的平方差公式.

4.2 探究活動，從歸納和驗證中培養邏輯推理能力

在上述環節，學生從特殊到一般歸納出平方差公式的結構特征，學生認識到了平方差公式是公式（a＋n）（b＋m）＝ab＋am＋nb＋nm中字母a，n，b，m有特殊關系時的“特例”，即當a＝b， n＝－m時，平方差公式使用需要滿足一定條件，可以通過辨析對比分析使學生明確公式使用的結構特征，防止學生盲目使用平方差公式．

提出猜想后證明猜想肯定需要推理，如何讓學生想到推理方法呢？通過課前的追問回顧：說一說我們是如何證明這個多項式乘法法則的？類比想到數的角度用分配律證明，即數式通性，而形的角度用面積嘗試證明．在用乘法公式證明過程中，運用“左邊＝右邊”的形式驗證等式成立是一般的解決方法，注意不是僅僅是一個化簡的過程．此外，在問題6中具體數字的乘積計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），教師可以通過問題串“能直接使用平方差公式嗎？為什么？”“與（2+1）相乘要能使用平方差公式缺少什么？”“與（22+1），（24+1），（28+1）呢？”“我們可以補充什后么，達成使用平方差公式化簡？”引導學生反復分析嘗試，最后得到添加（2－1）之后可以達到效果，此時教師可以繼續追問“添加后對算式的結果有影響嗎？為什么？”這些過程都有助學生形成嚴密的思考邏輯，促進提高邏輯推理能力．

4.3 類比思考，從剪拼和構造中培養直觀想象能力

直觀想象是建立數與形的聯系，在整式的乘法法則中已經逐漸滲透數形結合思想，用圖形面積驗證法則成立．同樣在平方差公式亦是如此，但平方差公式的左邊代數式（a＋b）（a－b）中構造邊長為a－b的長方形對于七年級學生較難想到，可以從公式的右邊a2－b2啟發，形成兩個正方形的面積差圖形，進而利用剪拼活動解決圖形驗證公式，紙片的剪拼，增加學生的動手能力，直觀可操作，減少學生的思維負擔．

問題4 我們知道整式的乘法可以用圖形面積來驗證，平方差公式是否可以用圖形來驗證呢？

追問1：在整式的乘法中，我們由代數式的幾何特征解決問題，例如ab聯想到長寬為a、b的長方形面積，進而利用幾何面積法證明．那么平方差公式你可以想到什么？你更容易想到哪邊代數式的幾何特征？

師生活動：前提是a＞b＞0，從a2－b2出發，先構造出邊長為a的正方形，然后挖去邊長為b的正方形，教師發下紙片，如圖2．

追問2：請利用手中的紙進行剪拼，你用另外的一種方法表示紙片的面積，證明平方差公式？

師生活動：學生在老師事先準備好的紙片進行剪拼，獨立思考解決，然后小組交流，教師巡視指導，為展示作準備，常見拼圖解決的方法有如圖3的三種情況，從而驗證a2－b2=（a+b）（a－b）．

教學說明：通過探究活動，滲透二次代數式和面積的關系，在手腦并用的同時可以讓學生學到許多知識，利用拼圖詮釋乘法公式，有利于學生對于乘法公式的理解，實現數形有機結合，同時也為平方差公式賦予幾何的直觀解釋．

初中的代數恒等式一般能用幾何面積來表示，幾何圖形的面積用不同方法算兩次表示時就可以得到了一個等式．由圖形與等式的轉換，使學生認識數與形的聯系，使形成一定的思維習慣，從而更好地培養了直觀想象能力．

4.4 辨析鞏固，從運用與分析中培養數學運算能力．

數學運算能力的培養是學習數學的重中之重．通過一系列習題的練習，使學生總結平方差公式運用的基本步驟和注意事項，進而掌握平方差公式的結構特征，使學生養成一絲不茍的運算態度，培養數學運算能力．

問題5 下列表中多項式相乘哪些能用平方差公式化簡？如果能，指出多項式中哪些數或式相當于公式中的a，b，并將其表示成a2－b2的形式，并化簡得出結果．

追問1：如何判斷能夠用平方差公式進行化簡？

追問2：運用平方差公式化簡的步驟是怎樣的？

師生活動：學生回答問題，并相互補充．可以總結出以下經驗（1）在運用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結構特征：有符號相同的項和符號相反的項；（2）符號相同項為a，符號相反的項為b；（3）切勿忘記公式右邊的平方，還要化簡．

教學說明：鞏固平方差公式的特征，知道哪一個數或式子相當于公式中的a和b，然后依照公式，寫出平方差，最后化簡，利用表格形式能使學生明確使用平方差公式的步驟．

練一練 運用平方差公式填空

（1）（a－4）（）=16－a2;

（2）（2x+y－5）（2x－y+5）=（）2-（）2.

師生活動：鼓勵學生先獨立思考，再相互交流，學生展示，并相互補充．進一步理解如何確定a、b：（1）一般地，符號相同項為a，符號相反的項為b；（2）公式中的字母a、b可以是具體的數、單項式、多項式．

教學說明：引導學生深入分析平方差公式的結構特征，明確a， b的意義．

問題6 計算下列各式：

（1）97×103；（2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）；

（3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）.

教學說明：（1）（3）使學生平方差公式的構造變形，實現靈活運用；（2）是混合運算，體現出平方差公式在整式乘法中的簡便性．

應用公式進行化簡是學生再次獲取知識的時候，精選不同層次的能使不同層次的學生獲得發展，在化簡中關注學生的書寫過程，挑選出引領示范的學生解答過程進行展示，然后反思總結出程序化的步驟，逐步落實鞏固公式的運用，培養數學運算能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部．普通高中課程方案（2017年版） ［S］.人民教育出版社，2017，4．

［2］喻平.數學關鍵能力測驗試題編制：理論與方法［J］.數學通報，2019，（12）：1-7.

本文是2020浙江省教師教育規則課題《“整式的乘除”教學中學生關鍵能力培養研究》（深題編號G2020033）的階段性研究成果.）