暢言智慧課堂下的“函數(shù)奇偶性”主題教學(xué)設(shè)計(jì)

吳艷芹　馬杰

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在“實(shí)施建議”指出：“教師要明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體把握教程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.”這說明教師可以從單元主題的視角設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生從整體結(jié)構(gòu)上把握函數(shù)知識(shí)，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)知識(shí)連續(xù)性、系統(tǒng)性的認(rèn)知.

暢言智慧課堂是一款集電子教材、課堂教學(xué)、師生互動(dòng)、作業(yè)反饋為一體的多媒體設(shè)備，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺(tái)，可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的輔助手段，它對(duì)優(yōu)化課堂教學(xué)和轉(zhuǎn)變教學(xué)方式提供新思路，真正做到了把信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行深度融合.針對(duì)“函數(shù)奇偶性”教學(xué)，該多媒體設(shè)備發(fā)揮出了較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等素養(yǎng).

一、單元知識(shí)分析

本節(jié)課的內(nèi)容選自北師大版新教材必修一的第二章第四節(jié)“函數(shù)的奇偶性與簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”.北師大版教材一直把函數(shù)的奇偶性與冪函數(shù)放在同一個(gè)單元，可能一是由于課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)冪函數(shù)的要求較低，只需要掌握五個(gè)簡(jiǎn)單的冪函數(shù)的圖象，奇偶性相對(duì)于單調(diào)性、周期性而言，不如后者更能體現(xiàn)出函數(shù)的的本質(zhì)特征；二是利用簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象比較容易觀察到函數(shù)的對(duì)稱性，因此可以把這兩部分知識(shí)融合一起，既不會(huì)沖淡本章以函數(shù)的概念和性質(zhì)為核心的內(nèi)容，也有利于學(xué)生從整體上把握函數(shù)的奇偶性.函數(shù)奇偶性概念的本質(zhì)是對(duì)稱，對(duì)稱是和諧、莊重、優(yōu)美的，廣泛存在于世間萬物之中，從熟悉的函數(shù)出發(fā)，觀察圖象的特征，感受數(shù)學(xué)對(duì)稱的內(nèi)涵和形式的優(yōu)美，樹立學(xué)生從感性到理性的思維，幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)部分到整體的思考框架，為后續(xù)研究復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)減少工作量.

二、學(xué)情分析

從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，學(xué)生已經(jīng)在初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，并且對(duì)函數(shù)也有了一些知識(shí)儲(chǔ)備.同時(shí)，前面又學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，已經(jīng)積累了研究函數(shù)的基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).從學(xué)生的思維發(fā)展看，高一學(xué)生的思維能力正在由形象經(jīng)驗(yàn)型到抽象理論型轉(zhuǎn)變，能夠用直觀、推理、假設(shè)來思考和解決問題.

三、重、難點(diǎn)分析

本節(jié)課的重點(diǎn)是能夠利用函數(shù)的奇偶性的概念及其幾何意義去判斷函數(shù)的奇偶性.難點(diǎn)是符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)奇偶性、用對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系過渡到用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)奇偶性以及對(duì)“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用.

四、教學(xué)方法分析

奇偶性的教學(xué)不能簡(jiǎn)單地直接給出定義，而是通過觀察逐步得到，這也是一個(gè)積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程.教學(xué)中以暢言智慧課堂為載體，精心設(shè)計(jì)一個(gè)又一個(gè)帶有啟發(fā)性和思考性的問題，充分利用該電子設(shè)備的同步、拍照、聚焦、互動(dòng)、錄制等功能，使授課形式多樣化，提高了學(xué)生的參與度，讓學(xué)生在“觀察—思考—?dú)w納—總結(jié)—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程中，主動(dòng)參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，從而使學(xué)生完成對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累.為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，本節(jié)課以問題為導(dǎo)向，采用發(fā)現(xiàn)法、分析討論法、講授法突出奇偶性概念的形成過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象的對(duì)稱實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)的對(duì)稱，從而找出判斷函數(shù)奇偶性的方法.

五、主題教學(xué)目標(biāo)

由于函數(shù)的奇偶性可以從形和數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行刻畫，因此函數(shù)的奇偶性的教學(xué)目標(biāo)可設(shè)置為：會(huì)利用定義和圖象判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；在奇偶性概念的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，歸納能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

六、主題教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情景 導(dǎo)入課題

展示生活中的圖片，如圖1，讓學(xué)生感受生活中的對(duì)稱圖形，為下一步概念的理解做好鋪墊，進(jìn)而激發(fā)探究興趣.

設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例引入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)稱美，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)學(xué)函數(shù)圖象的對(duì)稱美，增強(qiáng)學(xué)生理性思維能力.

多媒體作用：以視頻播放的方式展示生活常見的對(duì)稱圖形，激發(fā)學(xué)生審美情趣和審美能力.

環(huán)節(jié)二 探索新知 形成概念

問題1 畫出并觀察函數(shù)f（x）=x2和 g（x）=2－x的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察函數(shù)圖像，明確本節(jié)課研究?jī)?nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，善于歸納的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

問題2 如圖2，圖3，類比函數(shù)的單調(diào)性，你能用符號(hào)語言精確地描述“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”這一特征嗎？

師生活動(dòng)：同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等.即對(duì)x∈R，f（－x）=f（x）.學(xué)生仿照這個(gè)過程，說明函數(shù)g（x）=2－x 也是偶函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：列表、畫圖是獲得函數(shù)圖象的一個(gè)重要方法，圖象可以從宏觀上發(fā)現(xiàn)對(duì)稱，表格則是從具體的數(shù)對(duì)出發(fā)，清晰地感知函數(shù)的對(duì)稱特征，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象的對(duì)稱實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)的對(duì)稱，從而得出偶函數(shù)概念.

多媒體作用：在授課平板上，設(shè)置情境，發(fā)布問題，引發(fā)學(xué)生積極思考圖象、表格里的數(shù)值所呈現(xiàn)的特征，然后以搶答的方式進(jìn)行提問，對(duì)回答正確的同學(xué)及時(shí)表揚(yáng)，營(yíng)造積極學(xué)習(xí)的氛圍.

問題3 判斷下列函數(shù)是偶函數(shù)嗎？（口答）

師生活動(dòng)：強(qiáng)調(diào)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（優(yōu)先）；函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)定義域中的任意x都有f（－x）=f（x）.

設(shè)計(jì)意圖：定義辨析，加深對(duì)偶函數(shù)概念的理解，明確定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的必要條件，也是定義對(duì)“x∈I都有－x∈I”表述的原因.

多媒體作用：利用教師平板中的設(shè)置的練習(xí)，利用同屏、互動(dòng)、隨機(jī)提問的功能，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的思維的敏捷性.

環(huán)節(jié)三 自主探究 類比拓展

問題4 觀察函數(shù) f（x）=x和g（x）=1x 的圖象，如圖4，圖5，分析兩個(gè)函數(shù)圖象的共同特征.

問題5 通過表格觀察函數(shù)特征.

師生活動(dòng)：依然優(yōu)先考慮到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后總結(jié)出函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù) 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，且對(duì)定義域中的任意x都有f（－x）=－f（x）.

設(shè)計(jì)意圖：類比偶函數(shù)概念的形成過程，小組討論，自主探究形成奇函數(shù)概念，并自主探究奇偶函數(shù)的異同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和探索精神.

問題6 判斷下例函數(shù)是奇函數(shù)嗎？（口答）

設(shè)計(jì)意圖：類比偶函數(shù)的處理方法，加深學(xué)生對(duì)奇函數(shù)的概念理解.

多媒體作用：通過具體的問題情境，發(fā)布問題，分組討論，然后以隨機(jī)選人的方式提問表格里的數(shù)值所呈現(xiàn)的特征，并利用教師平板中鼓掌等激勵(lì)功能，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考問題.

環(huán)節(jié)四 強(qiáng)化定義 深化內(nèi)涵

問題7 你能說出奇函數(shù)與偶函數(shù)有哪些共同點(diǎn)以及不同點(diǎn)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生歸納總結(jié)問題7，教師多媒體完善表格，最后教師總結(jié)：奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)從局部管窺到整體.

問題8 （1）判斷函數(shù)f（x）=x3+x的奇偶性.

（2）如圖6是函數(shù)f（x）=x3+x圖象的一部分，你能根據(jù)的奇偶性畫出它在 軸左邊的圖象嗎？

（3）一般地，如果知道y=f（x）為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡(jiǎn)化對(duì)它的研究？

（4） 同步課本P66中的思考交流.

設(shè)計(jì)意圖：借助函數(shù)的奇偶的特點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)的圖象，幫助學(xué)生識(shí)圖、畫圖、用圖，知道對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

多媒體作用：利用暢言智慧課堂聚焦功能進(jìn)行講解、畫圖，然后同步教學(xué)資源、快速調(diào)用轉(zhuǎn)入課本中的思考交流，使學(xué)生通過自己運(yùn)算判斷出函數(shù)的奇偶性，并補(bǔ)充圖形、通過拍照上傳，5分鐘內(nèi)陸續(xù)有27位學(xué)生上傳了自己的作業(yè)，通過作業(yè)可以實(shí)時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，在提交作業(yè)的過程中突出學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)，增強(qiáng)了他們的獲得感.

環(huán)節(jié)五 講練結(jié)合 鞏固內(nèi)容

例1 思考辨析，判斷正誤：

（1）對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在x使 f（－x）=－f（x），則函數(shù)y=f（x）一定是奇函數(shù).（ ）

（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù).（ ）

例2 函數(shù)f（x）=x2+3 的奇偶性（）.

A、奇函數(shù) B、偶函數(shù)

C、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

多媒體作用：學(xué)生在提交答案的過程中，暢言智慧課堂能夠?qū)崟r(shí)呈現(xiàn)答題情況，方便教師跟蹤全班答題進(jìn)度，利用暢言智慧課堂互動(dòng)中的答題卡功能，也能顯現(xiàn)出哪些同學(xué)作答錯(cuò)誤以及最終的正確率，從而對(duì)教學(xué)效果了如指掌.

訓(xùn)練1 已知f（x）=x（x－1x），則函數(shù)（）.

A、是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

B、是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

C、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

D、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

訓(xùn)練2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1） f（x）=4－x2；（2）f（x）=x2（x+1）x+1； （3）f（x）=0.

師生活動(dòng)：例題講解完后，由老師進(jìn)一步補(bǔ)充拓展：按照奇偶性將函數(shù)分類為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)，進(jìn)而給出第（3）題答案.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題了解函數(shù)奇偶性的判斷方法，并通過學(xué)生練習(xí)規(guī)范推理演繹，當(dāng)堂形成教學(xué)反饋與評(píng)價(jià).

訓(xùn)練3 將下面的函數(shù)圖象按照奇偶性分類：

設(shè)計(jì)意圖：由圖象直觀感知判斷函數(shù)的奇偶性，由“數(shù)”到“形”體現(xiàn)“奇偶性”研究的意義.

多媒體作用：通過暢言智慧課堂中的“搶答”和“隨機(jī)”互動(dòng)功能，為互動(dòng)主體提供了更加有趣、更加平等和更具懸念的選擇權(quán)與被選擇權(quán).一方面能較好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)課堂提問方式過于單一的缺陷，增強(qiáng)課堂提問的趣味化、懸念性和緊迫感，熏陶學(xué)生公平與公正的價(jià)值觀.

環(huán)節(jié)六 歸納小結(jié) 提升認(rèn)知

1.函數(shù)奇偶性的概念；

2.奇偶函數(shù)的圖像特征；

3.主要數(shù)學(xué)思想：化歸思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想.…

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思、歸納、總結(jié)的能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)奇偶性認(rèn)識(shí)的再次深化.

環(huán)節(jié)七 分層作業(yè)課后反饋

必做題： 教材第67頁習(xí)題2-4 第3題；

拓展題：已知函數(shù)f（x）為定義在（-2，2）上的奇函數(shù).（1）求f（0）的值；（2）若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，且有f（2+a）+f（1-2a）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層，體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)理念，也符合當(dāng)下的“雙減”政策.

多媒體作用：利用暢言智慧課堂布置，學(xué)生做完后可以及時(shí)提交，教師在線批改，并把批改情況及時(shí)反饋給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)無延遲的師生交流，教師也可以發(fā)布班級(jí)的優(yōu)秀作業(yè)，供其他同學(xué)參考，在線進(jìn)行生生交流，促進(jìn)學(xué)生共同提高作業(yè)質(zhì)量.

七、主題教學(xué)反思

從世間萬物的對(duì)稱之美入手，由特殊到一般，逐步生成函數(shù)的奇偶性概念；從單元主題的視角精心設(shè)計(jì)的問題串，助力學(xué)生從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的邏輯鏈中去理解概念、掌握概念.以暢言智慧課堂作為載體，改變了教師以往的傳統(tǒng)講述、板書等手段，它集聲音、圖像、視頻和文字等媒體為一體，能產(chǎn)生生動(dòng)活潑的效果，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和記憶能力，出色的完成這一主題教學(xué).借助這種交互式多媒體環(huán)境，把課件展示與智慧課堂的有機(jī)結(jié)合，使教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)更加的直觀與便捷，既能充分顯示了數(shù)學(xué)對(duì)稱之美，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性、高效性、直觀性、真實(shí)性，又能增加學(xué)生的參與度，培養(yǎng)學(xué)生的自信心及獲得感，從而實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合.

本文系安徽省教育信息技術(shù)研究課題《基于“互聯(lián)網(wǎng)+”利用數(shù)學(xué)文化開展立德樹人的教育研究》（立項(xiàng)號(hào)：AH2020149）的研究成果.）