基于APOS理論的橢圓概念教學實踐分析

孫紅　翟洪亮

美國學者杜賓斯基等人建立的針對數學概念學習的APOS理論，強調學生學習數學概念需要進行心理建構，經歷操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schemas）四個階段，APOS理論的應用改變概念教學中靜態的教學方式，根據學生的認知規律，以活動為載體，通過操作使學生感受概念的形成過程，有利于學生結合自身經驗，建構新的概念體系，提升學生的數學素養.橢圓的幾何性質中概念較多，基于APOS理論的指導，從特殊的橢圓著手，讓學生實驗操作去感受相關概念、性質的發生過程，再引導學生從方程的視角加以研究，現整理如下：

二、課后感受

1.注重引入，使內容過渡自然

核心素養是在特定的情境中表現出來的知識、能力和態度.基于核心素養的數學教學特別重視情境的創設和問題的提出.解析幾何教學解決的兩大任務：一是根據所給條件求圓錐曲線的方程；二是根據圓錐曲線的方程研究圓錐曲線的性質.橢圓的幾何性質是解析幾何中首次比較系統地根據圓錐曲線的方程研究圓錐曲線的幾何性質，這對學生來說是全新內容，本節課通過兩個相關習題，直奔主題，從點滿足橢圓的定義得到橢圓的標準方程出發，通過變式引出橢圓的范圍，實現從圖形到方程視角的轉變，從等式到不等式的跨越，旨在強調通過橢圓的方程來研究橢圓的幾何性質的目的，讓學生去初步領略解析幾何的第二任務，體會它的教學價值.

2.注重操作，使學生認識深刻

橢圓的幾何性質這一節概念多，為了讓學生認識深刻，通過讓學生動手操作，在操作中接受多方信息刺激，感悟相關概念和性質.如讓學生通過對所畫特殊橢圓的觀察、整點代入方程驗證，發現四個特殊整點間的對稱關系，通過折疊圖形驗證，猜想橢圓的對稱性，再上升到理性的代數證明.當操作中點C位于橢圓短軸時，在直角三角形中易得a2=b2+c2，通過圖形直觀有力地揭示在求橢圓方程時為何要令b2=a2－c2的根源所在，加深學生對橢圓短軸的理解.在保持橢圓長軸長不變的情況下，通過改變焦距的大小，畫出不同形狀的橢圓，讓學生直觀感受到橢圓的圓扁程度與焦點離開中心的遠近程度有關，便于學生理解離心率的定義.

3.注重類比，使學生理解容易

著名心理學家奧蘇泊爾說：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言蔽之：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道什么.要探明這一點，并應據此進行教學.”這說明教學應從學生已有的知識、經驗和能力出發，立足最近發展區，要注重新舊知識間的類比.注重研究方法的類比.在代數中研究指數函數、對數函數的圖象和性質時都是由特殊的指數函數、對數函數的圖象著手，歸納得到一般的指數函數、對數函數的圖象和性質.同樣在解析幾何中，對于橢圓的性質研究也可以從特殊橢圓著手，再推廣到焦點在x軸上的一般橢圓的性質，從而可以放手讓學生自主探究焦點在y軸上的一般橢圓的性質.由拋物線的頂點位置類比到橢圓的頂點位置，銜接自然.注重定義的類比，通過斜率、速率類比到離心率的定義，用比值來刻畫方法是自然的，在后面導數的學習中平均變化率也是通過比來刻畫的，使學生深刻地認識到數學知識和數學方法是相互連通的，從而發展學生數學眼光，提升學生的數學素養.

參考文獻

［1］馬拉默德.杜賓斯基的生活［M］，楊仁敬，楊凌雁譯.南京：譯林出版社，1998.

［2］奧蘇泊爾.教育心理學一認識觀點［M］.佘星南，宋鈞譯.北京：人民教育出版社，1994.

［3］翟洪亮.對蘇教版高中數學教材中操作題的教學初探［J］.數學通報，2014，（4）：37-40.