一道聯考試題的探究

黃海霞

題目 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，長軸長為2.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（1，0），求實數k的取值范圍.（2020屆湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯盟” 高三聯考）

答案：（1）橢圓C的方程為x24+y2=1；（2）實數k的取值范圍為k>55或k<－55，即k>55.本題（2）內涵豐富，值得深入探究.

1.探究一般性結論

對于本題（2），我們自然要問：若直線l：y=kx+m（k≠0）與一般的橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（x0，0），那么，實數k的取值范圍是什么？經探究，可得如下一般性結論.

結論1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（x0，0）（0bx0（a2－b2）2－a2x20.

證明：設直線l：y=kx+m（k≠0），將其代入橢圓C的方程，得b2x2+a2（kx+m）2－a2b2=0， 整理得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2－b2）=0. Δ=（2a2km）2－4（a2k2+b2）·a2（m2－b2）=4a2b2（a2k2－m2+b2），于是Δ>0m20 ②. 又由條件知直線MN的垂直平分線的方程為y=－1k（x－x0）.將點P的坐標代入得b2ma2k2+b2=－1k（－a2kma2k2+b2－x0） b2km=a2km+（a2k2+b2）x0m=－（a2k2+b2）x0（a2－b2）k－（a2k2+b2）x0（a2－b2）k2b2x20（a2－b2）2－a2x20（注意到②式）k>bx0（a2－b2）2－a2x20.

特別地，當a2=4，b2=1，x0=1時，k>1×1（4－1）2－4×12，即k>55或k<－55.這就是上述試題第（2）小題的答案.

2.探究雙曲線、拋物線的情形

對于雙曲線、拋物線，是否具有相應的性質？經探究，可得

結論2 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），若斜率為k（k≠0）的直線l與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（x0，0）（x0>a2+b2a），則實數k的取值范圍為k>bx0a2x20－（a2+b2）2或k

證明：設直線l：y=kx+m（k≠0），以“－b2”替換結論1證明過程中的“b2”，可得Δ=－4a2b2（a2k2－m2－b2），m=－（a2k2－b2）x0（a2+b2）k.于是Δ>0m2>a2k2－b2－（a2k2－b2）x0（a2+b2）k2>a2k2－b2. 當a2k2－b2<0，即k0時，可得（a2k2－b2）x20>（a2+b2）2k2 k2>b2x20a2x20－（a2+b2）2（注意到由x0>a2+b2a，可得a2x20－（a2+b2）2>0）k>bx0a2x20－（a2+b2）2.綜上，結論2得證.

結論3 已知拋物線C：y2=2px（p>0），若斜率為k（k≠0）的直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（x0，0）（x0>p），則實數k的取值范圍為k>p2（x0－p）.

證明：設直線l：y=kx+m（k≠0），代入拋物線C的方程，得（kx+m）2－2px=0， 整理得k2x2+2（km－p）x+m2=0.由Δ=4（km－p）2－4k2m2>0－2pkm+p2>0kmp2k>p2（x0－p）.

3.試題鏈接

應用上述結論，可簡捷解決一類有關問題.

題1 （2015年全國高考浙江卷（理）19）已知橢圓x22+y2=1上兩個不同的點A，B關于直線y=mx+12對稱.（1）求實數m的取值范圍；（2）略.

簡析：由條件知a2=2，b2=1，直線AB的斜率k=－1m，線段AB的垂直平分線過點（－12m，0）即x0=－12m=k2.由結論1得k>1×k2（2－1）2－2×（k2）22－k2>12k2<32m2>23m>63或m<－63.

題2 （2008年全國高考天津卷（理）22）已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點為F1（－3，0），一條漸近線的方程為5x－2y=0.（1）求雙曲線C的方程；（2）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為812，求k的取值范圍.

簡析：（1）雙曲線C的方程為x24－y25=1（過程略）.（2）設線段MN的垂直平分線與x，y軸的交點分別為（x0，0），（0，y0），由條件知y0－x0=－1k，x0y0=81，由此可得x20=81k，x0=9k.由結論2得k>5×9k4×81k－（4+5）2；或k<524k2－k－5>0，或k<52k>54，或k<52.又k≠0，則k的取值范圍（－∞，－54）∪（－52，0）∪（0，52）∪（54，+∞）.

題3 （2016年全國高考江蘇卷（理）25）在直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2=0，拋物線C：y2=2px（p>0）.（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q，

①求證：線段PQ的中點坐標為（2－p，－p）；

②求p的取值范圍.

簡析：（1）拋物線C的方程為y2=8x（過程略）.（2）①證明過程略：②由條件知，直線l： x－y－2=0為線段PQ的垂直平分線，則x0=2（2>p），直線PQ的斜率k=－1.據結論3，得－1>p2（2－p）2（2－p）>pp<43.又p>0，p的取值范圍為（0，43）.