柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與研究

王姝舒, 許的兵

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 工程素質(zhì)教育中心,安徽 宣城 242000; 2.安徽合力股份有限公司 工業(yè)車輛研究院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展,機(jī)器人被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)、服務(wù)業(yè)、家庭等領(lǐng)域[1]。應(yīng)用于這些領(lǐng)域的剛性機(jī)器人一般將電機(jī)安裝在關(guān)節(jié)處直接驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng),導(dǎo)致存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的缺點(diǎn)[2],為了解決這個(gè)問題,人們將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到柔索驅(qū)動(dòng)方式。從20世紀(jì)90年代日本學(xué)者在國際機(jī)器人與自動(dòng)化會(huì)上提出使用柔索驅(qū)動(dòng)方式的并聯(lián)機(jī)器人FALCON-7之后,柔索驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人得到了廣泛關(guān)注與發(fā)展[3-6]。文獻(xiàn)[3]研制了一款繩驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人,該團(tuán)隊(duì)在機(jī)器人控制策略、張力分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)分析等方面開展了諸多研究;實(shí)驗(yàn)證明該款混聯(lián)機(jī)器人的各項(xiàng)性能效果良好,但由于結(jié)構(gòu)和走線方式比較復(fù)雜等缺點(diǎn),使其應(yīng)用范圍受到限制。文獻(xiàn)[4]研制了一款新型的四自由度并聯(lián)機(jī)器人,對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)采用螺旋理論分析,該研究成果對(duì)于推動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人應(yīng)用具有重要意義。文獻(xiàn)[5]利用球面解析理論分析機(jī)構(gòu)空間位形,得到機(jī)構(gòu)多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的位置矢量,分析了球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的性能指標(biāo)。文獻(xiàn)[6]研制了一款根據(jù)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái),該回轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)較高精度的運(yùn)轉(zhuǎn)。

針對(duì)串聯(lián)機(jī)器人存在剛度小、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的問題,本文提出將共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)用做機(jī)械臂的腕部部位,并將共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與串聯(lián)機(jī)器人組合成串、并混聯(lián)的結(jié)構(gòu)形式和采用柔索驅(qū)動(dòng)的方式,使柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、工作空間大、累積誤差較小、剛度較大的優(yōu)點(diǎn)。針對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)復(fù)雜問題,提出共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的柔索驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)方案和基于多支鏈幾何約束的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值解法。

1 混聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人本體組成包括腰部關(guān)節(jié)、大臂、小臂、末端共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、張緊器、驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)、導(dǎo)向滑輪等。其中:串聯(lián)機(jī)器人作為混聯(lián)機(jī)器人的一部分具有十分重要的作用,本文串聯(lián)機(jī)器人決定整個(gè)混聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間;共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為混聯(lián)機(jī)器人的腕部關(guān)節(jié),可以實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)器人末端姿態(tài)的改變。

1.1 串聯(lián)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文串聯(lián)機(jī)器人具有三自由度[7],采用模塊化設(shè)計(jì)方案。串聯(lián)機(jī)器人通過柔索驅(qū)動(dòng)的方式,將電機(jī)和滾珠絲杠等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)安裝在基座,以此來降低機(jī)器人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和提高機(jī)器人人機(jī)交互安全性。

串聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)方式為:電機(jī)與滾珠絲杠傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸入軸相連,通過在腰部關(guān)節(jié)、大臂、小臂側(cè)板位置設(shè)計(jì)并安裝滑輪對(duì)繩索進(jìn)行導(dǎo)向。由于繩索是柔性介質(zhì),只能承受單向力,為了實(shí)現(xiàn)單電機(jī)帶動(dòng)串聯(lián)機(jī)器人單個(gè)關(guān)節(jié)的正反轉(zhuǎn)動(dòng),采用類似于帶傳動(dòng)的閉環(huán)繩驅(qū)動(dòng)方案。同時(shí)為了防止繩索在傳動(dòng)過程中出現(xiàn)松動(dòng)現(xiàn)象,采用S型安裝和在閉環(huán)繩索中采用魚眼螺釘?shù)膹埦o裝置。具體的三自由度串聯(lián)機(jī)器人三維模型設(shè)計(jì)如圖1所示,其中關(guān)節(jié)3走線示意圖如圖2所示,關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)1走線方案與關(guān)節(jié)3類似。

圖1 三自由度串聯(lián)機(jī)器人

圖2 串聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)3走線

1.2 共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種特殊的并聯(lián)機(jī)構(gòu),可以作為串聯(lián)機(jī)器人的腕關(guān)節(jié)。本文混聯(lián)機(jī)器人的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),即3條支鏈近端桿的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心軸線共線,由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3條均勻分布支鏈共同組成,具體設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用的柔索驅(qū)動(dòng)方式如圖4所示。

安裝在基座的電機(jī)與滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸入軸相連,通過關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3內(nèi)部走線設(shè)計(jì)和滑輪導(dǎo)向作用,帶動(dòng)共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的齒輪軸轉(zhuǎn)動(dòng),進(jìn)而齒輪軸與共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)近端桿發(fā)生內(nèi)齒輪嚙合驅(qū)動(dòng)。

圖4 共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3走線示意圖

由于繩索具有單向受力的特性,為實(shí)現(xiàn)單電機(jī)帶動(dòng)共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)單個(gè)關(guān)節(jié)正反轉(zhuǎn)動(dòng),采取類似于帶傳動(dòng)的閉環(huán)繩驅(qū)動(dòng)的布線方案,該方案具有各根繩索之間相互獨(dú)立、傳動(dòng)穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。因?yàn)槔K索是柔性介質(zhì),只能單向受力,所以共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用S型閉環(huán)走線,并且在閉環(huán)繩索中間安裝魚眼螺釘進(jìn)行張緊,通過螺釘?shù)男D(zhuǎn)維持繩索的張緊。

1.3 整體設(shè)計(jì)

本文柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人由串聯(lián)機(jī)器人和共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)共同組成,其組成方案有2種,即上串下并形式和上并下串形式。上串下并方案是指將共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為基座,串聯(lián)機(jī)器人連接在共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)之上形成混聯(lián)機(jī)器人。本文采用的是上并下串的組成方案,該方案是將共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為腕部連接在串聯(lián)機(jī)器人上形成混聯(lián)機(jī)器人,這種組成方案具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性好、工作空間大以及串聯(lián)累積誤差可以得到共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的補(bǔ)償?shù)葍?yōu)點(diǎn)。

混聯(lián)機(jī)器人采用增材制造實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的輕量化,具體實(shí)物效果圖如圖5所示。機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)均采用模塊化設(shè)計(jì),使零部件實(shí)際裝卸和繩索的安裝、更換更加簡單方便。

圖5 混聯(lián)機(jī)器人實(shí)物圖

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)建模是分析混聯(lián)機(jī)器人工作空間、奇異性的前提,對(duì)于混聯(lián)機(jī)器人的研究十分重要。因?yàn)楸疚拇?lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)3末端與共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入端安裝是重合的,所以本文柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模采取分開分析的方法。

串聯(lián)機(jī)器人采用SD-H法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。首先,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)連桿SD-H坐標(biāo)系建立規(guī)則建立串聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系,具體如圖6所示。圖6中:Z軸位于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸線上;X軸為Z軸的公垂線;Y軸由X軸與Z軸確定。

圖6 串聯(lián)機(jī)器人SD-H坐標(biāo)系簡圖

根據(jù)SD-H法得到串聯(lián)機(jī)器人連桿參數(shù),見表1所列。表1中:θ表示關(guān)節(jié)角;α表示連桿扭轉(zhuǎn)角;d表示連桿偏距;a表示連桿長度,根據(jù)本文串聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù),a2、a3分別為272、284 mm。

表1 串聯(lián)機(jī)器人連桿參數(shù)

由SD-H法可知相鄰連桿坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣表達(dá)式為:

(1)

(2)

其中:c1=cosθ1;c23=cos(θ2+θ3);s1=sinθ1;s2=sinθ2;s23=sin(θ2+θ3)。其他三角函數(shù)縮寫類似表示。

對(duì)于串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解存在多解形式,實(shí)際中一般選擇最優(yōu)解。本文采用解析法求解串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。其中對(duì)于關(guān)節(jié)角3、關(guān)節(jié)角2,由式(2)可得:

(3)

(4)

其中,px、py、pz為關(guān)節(jié)末端位置矢量在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量。

令式(3)進(jìn)行平方和運(yùn)算,等式左邊等于右邊可得:

(5)

利用消元法,由式(4)可得:

(6)

關(guān)節(jié)角2是在關(guān)節(jié)角3的基礎(chǔ)上得到的,而關(guān)節(jié)角3具有2組解,理論上會(huì)導(dǎo)致關(guān)節(jié)角2、關(guān)節(jié)角3的解有8種不同的組合情況,但滿足式(6)中最后一個(gè)方程的情況只有4種,即

(7)

其中:s3,1=θ3,1;s3,2=θ3,2。關(guān)節(jié)角1的求解由式(3)可得:

(8)

2.2 共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在動(dòng)平臺(tái)初始姿態(tài)下建立共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系[8]。機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系原點(diǎn)O定義在多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸線的交點(diǎn)處;Z軸垂直于基底,方向向上;X軸與Z軸相互垂直,方向指向動(dòng)平臺(tái)的對(duì)稱中線;Y軸可由右手定則確定。球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系簡圖如圖7所示,各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)軸線上的單位向量用W、V、U表示。

定義α1表示向量夾角〈W,U〉,α2表示向量夾角〈W,V〉,α3表示單位向量Vi(i=1,2,3)中任意兩者之間的夾角,β表示向量夾角〈V,U〉,γ為Ui(i=1,2,3)中任意兩者之間的夾角。已知本文設(shè)計(jì)的共軸3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)主要有α1=45°、α2=90°、α3=120°、β=90°、γ=0°,輸入軸的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)角為θi(i=1,2,3)。當(dāng)輸入軸的輸入角度為θi時(shí),Wi的坐標(biāo)如下:

(9)

其中,ζi=2(i-1)π/3,i=1,2,3。

圖7 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系簡圖

共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)根據(jù)幾何約束關(guān)系可得9個(gè)獨(dú)立的約束方程如下:

(10)

非線性方程組可以采用數(shù)值求解方法通過MATLAB軟件中的fsolve()函數(shù)進(jìn)行求解。為了提高函數(shù)的計(jì)算精度,通過迭代法求得駐點(diǎn)的一個(gè)近似點(diǎn),需要給定一個(gè)初始值。羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式可以通過初始猜測值優(yōu)化數(shù)值求解結(jié)果,初始值假設(shè)單位向量繞Z軸旋轉(zhuǎn)了ψ=10°,可得羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式如下:

Wi,rot=Wicosψ+(Wi×k)sinψ+k(k·Wi)(1-cosψ)

(11)

其中,k=(0,0,1)。

對(duì)于共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解,根據(jù)式(10)中1個(gè)約束方程,通過萬能公式化簡可得:

(12)

其中

(13)

通過共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以編寫m文件驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。本文共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用l-l-l裝配方式,即3條支鏈的遠(yuǎn)端桿都安裝在近端桿的左側(cè),該安裝類型的特點(diǎn)是逆解只能取正值這唯一解,在球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)角度范圍內(nèi)隨機(jī)取值可以驗(yàn)證正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)存在唯一解,具體見表2所列。

表2 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解表

2.3 整體運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

因?yàn)榈?關(guān)節(jié)末端坐標(biāo)系與共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,并且兩者坐標(biāo)系的關(guān)系為串聯(lián)機(jī)器人末端坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°,所以根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié),可得混聯(lián)機(jī)器人的整體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為:

(14)

3 B樣條軌跡規(guī)劃

3.1 軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃是機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制的前提,對(duì)于機(jī)械臂的實(shí)際場景應(yīng)用具有重要作用。軌跡規(guī)劃分為2種,即在笛卡爾空間和關(guān)節(jié)空間下的規(guī)劃。由于在笛卡爾空間下軌跡規(guī)劃的計(jì)算量大且實(shí)時(shí)控制不強(qiáng),本文選擇在關(guān)節(jié)空間下的軌跡規(guī)劃。在關(guān)節(jié)空間下傳統(tǒng)三次多項(xiàng)式插值軌跡規(guī)劃方法雖然可以使機(jī)械臂滿足位置和速度要求,但其加速度具有突變,會(huì)產(chǎn)生沖擊和振動(dòng)。為了使機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡連續(xù)、光滑、無沖擊,本文選擇能夠滿足絕大多數(shù)使用場景且計(jì)算量不大的三次B樣條曲線對(duì)本文機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃[9-11]。由于B樣條曲線具有分段處理能力,當(dāng)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃需要修改其中一段軌跡時(shí),該方法可以實(shí)現(xiàn)只需計(jì)算該段軌跡的控制點(diǎn)而不需要重新對(duì)整體軌跡進(jìn)行規(guī)劃計(jì)算。

B樣條曲線的k次(k+1階)遞推表達(dá)式為:

(15)

其中:Di(i=0,1,…,n)表示控制點(diǎn)且個(gè)數(shù)為n+1,其共同組成特征多邊形的頂點(diǎn);tk≤t≤tk+1,表示函數(shù)的定義域;fi,k(t)表示B樣條曲線的基函數(shù);k為次數(shù)。

基函數(shù)的定義被更廣泛接受的是Cox-de Boor遞推公式,基于Cox-de Boor基函數(shù)的遞推公式為:

(16)

式(16)遞推中若出現(xiàn)0/0的情況,則根據(jù)規(guī)定令0/0=0。

3.2 軌跡規(guī)劃仿真分析

本文選擇三次B樣條曲線進(jìn)行混聯(lián)機(jī)器人軌跡規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證本文混聯(lián)機(jī)器人位姿在關(guān)節(jié)空間下的靈活性和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的柔順性。

混聯(lián)機(jī)器人要求軌跡規(guī)劃經(jīng)過6個(gè)路徑點(diǎn),相鄰路徑點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為4 s。根據(jù)混聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可得6個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角在6個(gè)路徑點(diǎn)的逆解,見表3所列。

表3 混聯(lián)機(jī)器人軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)變量 單位:(°)

本文機(jī)械臂軌跡規(guī)劃總共形成5段軌跡,根據(jù)B樣條曲線遞推表達(dá)式和6個(gè)關(guān)節(jié)變量在路徑點(diǎn)處逆解得到型值點(diǎn),在MATLAB中編寫m文件求得B樣條曲線控制點(diǎn),進(jìn)而求得機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)B樣條曲線軌跡表達(dá)式。

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin軟件分析,可得6個(gè)關(guān)節(jié)的角度、角速度、角加速度等運(yùn)動(dòng)特性曲線,如圖8所示。

圖8 混聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性曲線

柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人采用B樣條曲線在經(jīng)過6個(gè)路徑點(diǎn)后得到的軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)特性表明:6個(gè)關(guān)節(jié)角速度連續(xù)可導(dǎo)且角加速度無突變,有效避免了機(jī)械臂產(chǎn)生振動(dòng)和沖擊;6個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)具有較好的柔順性,在工作空間內(nèi)混聯(lián)機(jī)械臂具有良好的靈活性。

4 結(jié) 論

為了解決傳統(tǒng)機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大、剛度小、負(fù)載自重比小的問題,本文開展了以下研究工作:

1) 提出并設(shè)計(jì)了一款用共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)械臂腕部關(guān)節(jié)的新型柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人,柔索驅(qū)動(dòng)作為一種柔性介質(zhì),可以擴(kuò)展新的驅(qū)動(dòng)方式。增材制造的混聯(lián)機(jī)械臂本體質(zhì)量僅為4.7 kg,實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂輕量化和低轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,提高了機(jī)械臂人機(jī)交互的安全性。

2) 根據(jù)共軸球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何約束關(guān)系和運(yùn)動(dòng)特性,采用矢量法對(duì)其正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析。

3) 通過B樣條軌跡規(guī)劃算法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了混聯(lián)機(jī)器人在工作空間內(nèi)具有較好的靈活性和各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的柔順性。

實(shí)驗(yàn)研究表明,本文對(duì)于柔索驅(qū)動(dòng)混聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和廣泛應(yīng)用具有一定的參考和推動(dòng)作用。