含時滯的半主動懸架系統穩定性時頻分析

王策 羅曉亮 張洋瑞

（重慶交通大學，機電與車輛工程學院，重慶 400074）

1 前言

汽車懸架的作用是減少車輛行駛時的沖擊，然而，懸架的阻尼器在響應上存在時滯，可能導致懸架系統失穩，出現危及車輛行駛安全的分岔現象，嚴重影響車輛的乘坐舒適性。因此，合理的時滯設計可以提高車輛的穩定性。

對于懸架系統的時滯穩定性分析，學者們開展了大量研究。汪若塵等[1]基于多項式判別理論，研究了含時滯的半主動懸架系統的失穩機理，得到了懸架系統的失穩條件和臨界時滯，為半主動懸架系統的時滯控制研究提供了基礎。邵素娟等[2]運用廣義施圖姆（Sturm）準則推導了時滯無關穩定區域的臨界增益和穩定性開關的臨界時滯。龐輝等[3]基于時滯開關天棚控制的半主動懸架模型和時滯微分方程理論，提出了利用李雅普諾夫穩定性理論求解懸架控制系統臨界時滯的理論分析和數值計算方法，結果表明，當時滯達到臨界值時，懸架系統的穩定性將嚴重惡化。閆光輝等[4]利用勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）穩定性準則分析了模型的穩定性條件，并計算了系統的臨界時滯，計算分析和仿真結果表明，Routh-Hurwitz穩定性準則可以為主動懸架的設計和滯后不穩定機制奠定理論基礎。Chu等[5]研究了時滯對受控質量阻尼單自由度系統穩定性的影響和修正問題，求解了導致系統失穩的臨界時滯的顯式解和數值解。Yan等[6]基于穩定性切換理論，推導了含時滯的主動懸架系統穩定性條件，并通過狀態變換和優化方法設計了最優控制策略，仿真結果表明，該策略下懸架系統保持穩定，性能得到改善。

上述研究中時滯方程理論繁瑣復雜，難以理解，需簡化處理，且未針對特定工況討論不同時滯的影響，未確定穩定條件下的較優時滯。由于含時滯的1/4半主動懸架系統的特征方程較為復雜，本文將利用滯后理論的全時滯穩定代數判據和穩定性臨界點分析半主動懸架系統的穩定性，得到系統全時滯穩定條件和穩定性臨界點，通過數值仿真，在特定工況下討論時滯對系統的影響，并通過時頻分析，研究不同時滯點在不同頻段對懸架系統穩定性的影響。

2 含時滯的半主動懸架建模

車身的垂向振動主要影響車輛行駛的平順性，而車輛的結構又相當復雜，本文忽略系統的車身俯仰運動和側傾運動，建立如圖1 所示的含時滯的1/4半主動懸架模型[7]。其中，m1、m2分別為簧上質量、簧下質量，k2、c2分別為懸架系統的剛度和減振器基值阻尼，k1為輪胎剛度，z2、z1分別為簧上質量和簧下質量的位移，q為路面輸入，τ為時滯，F(t-τ)為減振器的時滯阻尼力（主要為響應時滯產生的阻尼力）。

圖1 含時滯的1/4半主動懸架模型

懸架減振器的阻尼可分為基值阻尼c2和可調節阻尼cτ。考慮到半主動懸架是較為復雜的系統，存在許多時間上的滯后，例如，由作動器引起的響應時間滯后、測量信號在傳輸上的傳輸時間滯后和單片機的計算時間滯后均可能影響系統的穩定性。然而，與響應時間滯后相比，計算時間滯后和傳輸時間滯后非常小，對系統的影響較小，因此本文主要研究減振器內部特性的響應時間滯后對系統穩定性的影響[8]。

含時滯的1/4半主動懸架模型的動力學方程為：

3 時滯穩定條件下可調阻尼和臨界時滯的求解

3.1 時滯系統穩定條件下可調阻尼cτ求解

根據時滯微分方程理論，懸架系統的微分方程通解的形式為：

式中，Zi(s)為zi(t)經過拉氏變換的解；s為特征值；t為時間。

將式（2）帶入式（1）得到特征方程：

即

要使含有時滯的系統穩定，特征方程D(s,τ)=0需滿足以下條件[9]：

a.特征方程D(s,τ)=0的解皆有負實部；

b.特征方程D(s,τ)≠0恒成立。

在條件a下，當τ=0時，特征方程為：

對于條件a，式（5）的所有解均有負實部。然而，在實際懸架系統中，系統的各參數均不可能為負數，因此式（5）各項的系數均大于0。當s=0 時，D(0,0)=k1k2，顯然恒大于0；方程的最高次項的冪為偶數，因此，不論s趨于∞或-∞，方程D(s,0)＞0 恒成立，所以，對?s∈[0,+∞)，式（5）中各項的系數均為正，方程D(s,0)＞0。根據勞斯（Routh）判據判斷系統穩定性的充要條件：特征方程所有項的系數均為正數，且Routh 表中第1 列數均大于0，如表1 所示；式（5）的系數滿足表1所示的關系。

表1 條件a的Routh判據表

表1中a0、b0、c0、d0可表示為：

因此，滿足條件a的公式為：

根據式（6）和式（7）可以求解出滿足條件的可調阻尼cτ的取值范圍。簧上質量m2、簧下質量m1、輪胎剛度k1、懸架彈簧剛度k2、減振器基值阻尼c2、減振器可調阻尼cτ均為正值，故式（7）恒成立，可調阻尼cτ皆滿足條件a。

對于條件b，要使特征方程D(s,τ)≠0 恒成立，令s=iy，且?y∈R1及?τ∈R1+，則特征方程D(s,τ)≠0 恒成立等價于D(iy,τ)≠0恒成立，y為不等于0的實數，z為實數，可利用分線式映照處理方程中含時滯的指數項[9]：

集合{ω=eiθ,θ∈[0,2π]}與{z=iy,y∈R}之間構成一一對應關系，式（4）可表示為：

將式（9）中的實部和虛部分開，實部用f(z,y)表示，虛部用g(z,y)表示：

根據式（10）可以求解其結式R(f,g)：

令

則

根據M(y)=0 無實根即等價于條件b 的解，可求解出穩定條件下可調阻尼cτ的取值范圍。

綜合條件a 和條件b 可求解可調阻尼cτ的取值范圍。

3.2 時滯臨界點的求解

時滯位移反饋控制會擾動懸架系統。為保證系統的穩定性，本文采用特征根和穩定臨界點的方法分析時滯系統的穩定性。時滯獨立穩定區是根據懸架系統參數確定的，系統的穩定性不受時滯的影響。

含單個時滯的常系數時滯微分系統的特征方程具有以下一般形式[10]：

其中，PT(s)的次數較QT(s)高，時滯τ≥0，結合式（4）可得到多項式PT(s)和QT(s)：

由時滯穩定性理論可知，時滯系統漸近穩定的充分條件是特征方程的特征解均含負實部。當特征根包含純虛數時，系統處于穩定與不穩定的邊界。假設特征方程存在虛根s=±iω(ω＞0)到達虛軸時，才可能發生穩定性切換，穩定性切換點應滿足D(iω,τ)=0，用歐拉公式e-iω=cos(ωτ)-i·sin(ωτ)，則式（15）可表示為[11]：

其中：

為了使D(iω,τ)=0，必須將多項式中的實部與虛部分離。由于式（18）的實部和虛部均為0，可得到：

根據sin2(ωτ)+cos2(ωτ)=1，消除三角函數項，得到關于ω的多項式方程F(ω)：

式中，n為多項式的項數。

根據式（19）可得：

綜上所述，D(iω,τ)=0即可等價于F(ω)=0。

系統穩定性切換點在時滯無關穩定性區域外時，系統穩定性是不固定的。特征根的實部會隨著時滯的增加而改變符號，這意味著會通過改變時滯來改變系統的穩定性。假設方程實根ω為正，則ω下的一系列臨界時滯可由式（23）求解：

其中，θ=ωτ，θ的取值可由式（23）、式（19）求解，取值范圍為[0,2π]，因此，一系列的臨界時滯點為[12]：

得到臨界時滯點后，需要判斷每個臨界時滯點對應的特征根實部的變化，從而判斷系統穩定性的變化情況。式（18）可以視為s對τ的函數，通過求導可得到特征根實部對臨界時滯點的變化趨勢，由T表示：

由式（15）可得：

從而得到：

式中[13]：

根據式（21）可得：

因此：

從方程F(ω)=0中解得的簡單正根為：

相應地得到一系列的臨界時滯點τi,k(i=1,2,…,m;k=0,1,2,…)，且有：

由于多項式F(ω)的第1項的系數大于0，有：

和

特征根實部的變化可以由式（25）確定：T=1 表示隨著時滯τ的增加，特征根s的實部在復平面內由左向右穿過虛軸，系統從穩定切換到不穩定；T=-1表示隨著時滯τ的增加，特征根s的實部由右向左穿過虛軸，系統從不穩定切換到穩定。如果方程沒有正的實根，則系統不進行穩定性切換，即無論τ如何取值，系統都是穩定的。如果方程有正的實根，則系統將進行有限次的穩定性切換，最終變得不穩定。因此，利用正實根數量的變化，可以求解系統的臨界時滯。

4 時頻分析

仿真工況設置為以10 km/h 的車速過減速帶，通過分析時頻特性研究時滯對系統的影響。表2所示為懸架各參數取值。

表2 懸架各參數取值

根據表2和前文的求解，取可調阻尼cτ=800 N·s/m，分別比較時滯為0 s、0.4 s、0.8 s、1.2 s 條件下過減速帶時懸架性能指標的變化情況，分析時滯在不同工況下對系統的影響。

若可調阻尼cτ不在時滯穩定調節范圍內，取可調阻尼cτ=1 300 N·s/m，此時懸架各參數不滿足時滯穩定條件，根據式（22）求解得到僅有的4 組正實根 分 別 為ω1=7.415 6、ω2=9.338 4、ω3=74.163 1、ω4=95.380 42。

當ω1=7.415 6時，臨界時滯點為：

當ω2=9.338 4時，臨界時滯點為：

當ω3=74.163 1時，臨界時滯點為：

當ω4=95.380 42時，臨界時滯點為：

經求解對比，得到系統的穩定臨界時滯點為τ=0.025s，因此，穩定性區間為0～0.025 s。在τ=0.025 s附近分別取τ=0.024 s和τ=0.026 s，觀察穩定臨界點與附近點懸架系統的穩定性和性能指標的變化情況。

本文采用過減速帶時輪胎受到的激勵為車輛過離散路面的沖擊激勵，路面減速帶模型如圖2 所示。為方便分析，將激勵模型用三角函數表征[14-15]。

圖2 減速帶激勵模型

減速帶激勵的數學模型表示為：

式中，h、L分別為減速帶的高度和寬度；v為車輛行駛的速度；f為減速帶的激勵頻率；ωr為減速帶激勵函數。

在時滯穩定條件下，選取不同時滯，在穩態條件下進行仿真，結果如圖3 所示。由圖3 可知，時滯為0 s、0.4 s、0.8 s、1.2 s 時，系統均處于穩定狀態，沒有發散現象。時滯為0 s 時，相對于其余時滯，懸架性能指標的第一峰惡化，但通過減速帶后，余顫收斂快；表3 所示為時滯穩定條件下不同時滯對應的懸架性能指標均方根，結合表3分析，簧載質量加速度均方根在時滯為0.8 s 時最小，懸架動行程和輪胎動載荷的均方根在時滯為0 s時最小。因此，在離散沖擊路面下合理選取時滯，可以提高車輛行駛的平順性和操縱穩定性。

表3 時滯穩定條件下不同時滯對應的懸架性能指標均方根

圖3 時滯穩定條件下懸架性能指標時域響應

圖4所示為時滯非穩定條件下懸架性能指標時域響應，從圖4 中明顯可以看出，時滯為0.024 s 和0.025 s 時，在通過減速帶后，簧載質量加速度、懸架動行程、輪胎動載荷存在明顯的收斂趨勢，且時滯為0.024 s時的收斂速度比0.025 s時的收斂速度快，更加穩定，當時滯為0.026 s 時，系統明顯發散，處于失穩狀態；表4 所示為臨界時滯點及附近點懸架性能指標均方根，由表4 可知，在時滯為0.025 s 時，懸架性能指標均方根相對于時滯為0.024 s 時的懸架性能指標數值增大，但不會呈倍數增長，而達到失穩時滯0.026 s 時，懸架性能指標呈倍數增長，造成對系統不利影響。

表4 臨界時滯點及附近點懸架性能指標均方根

圖4 時滯非穩定條件下懸架性能指標時域響應

圖5～圖7所示為時滯非穩定條件下的懸架性能指標時頻圖，由圖5～圖7 可知，在通過減速帶后，時滯為0.024 s和0.025 s時，簧載質量加速度、輪胎動載荷、懸架動行程在各頻段下的功率隨時間的變化而逐漸減小，且在0～20 Hz頻段內的功率明顯大于其他頻段的功率，隨著時滯的增加，其他頻段的功率略有增加；時滯為0.026 s 時，簧載質量加速度、輪胎動載荷、懸架動行程在各頻段下功率會隨時間的變化而逐漸增大，且在0～20 Hz頻段下的功率遠大于其他頻段的功率，相對于時滯為0.024 s和0.025 s，其他頻段的功率也明顯增加。功率的持續增加，會給車輛造成不利影響，嚴重影響車輛的行駛安全性。

圖5 不同時滯下簧載質量加速度時頻圖

圖6 不同時滯下懸架動行程時頻圖

綜上所述，在離散沖擊路面下，時滯為0.024 s和0.025 s時，系統均不會失去穩定性，時滯為0.026 s時，系統發散，明顯失穩，降低了行駛安全性，且0～20 Hz 頻段的功率明顯大于其他頻段的功率。時滯穩定時，不同時滯下的懸架性能指標均方根不盡相同。因此，合理選擇時滯，可以提高車輛的平順性和行駛穩定性。

5 結束語

本文通過建立含時滯的1/4 半主動懸架系統，利用時滯微分方程理論，通過分析全時滯穩定性的充要條件，求解可調阻尼cτ的穩定區間范圍，對系統特征方程進行分析變換，求解臨界時滯點，通過求解得到可調阻尼cτ的穩定區間以及時滯臨界點，代入模型進行仿真，在離散沖擊路面的條件下，得到以下結論：

a.時域上，當可調阻尼cτ在穩定區間內時，不同時滯下的懸架性能指標不同，但系統均穩定，因此，合理選取時滯有利于提高車輛平順性和操縱穩定性。當可調阻尼cτ在穩定區間外時，求解得到臨界時滯為0.025 s：當時滯為臨界時滯和小于臨界時滯時，系統仍保持穩定，且時滯小于臨界時滯時的懸架性能指標均方根小于時滯為臨界時滯時的數據；當時滯大于臨界時滯時，系統發散失穩，車輛的平順性和操縱穩定性惡化。

b.頻域上，通過對臨界時滯點附近的懸架性能指標進行時頻分析可以發現，隨著時滯的增加，懸架性能指標的功率逐漸增大，這一情況與時域分析結果相符，并且低頻段功率明顯大于其他頻段功率，功率的持續增加，會給車輛造成不利影響，嚴重影響車輛的行駛安全性。