源于教材 發(fā)展于課堂
——核心素養(yǎng)與關鍵能力的落實

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

課程標準是教學的依據(jù),教材是落實課程標準的直接載體,教師是落實課程標準和教材的執(zhí)行者和實踐者,教師對課程標準和教材的理解直接影響到教學效果.充分利用教材,將教材中的例題和練習題進行深入的發(fā)掘和拓廣,可以有效地減輕學生負擔,達到提升學科素養(yǎng)和關鍵能力的目標,下面我們從教材的例題和習題出發(fā),探索導數(shù)中放縮法的本源.

一、題目

2.人教A版選擇性必修第二冊P97,練習1:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗證:sinx

4.人教A版選擇性必修第二冊P94,練習2:證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

5.人教A版選擇性必修第二冊P99,第12題:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗證:

(1)ex>1+x,x≠0;

(2)lnx0.

二、構(gòu)建知識網(wǎng)絡

1.題目1與題目2拓廣探究

(1)當x>0時,sinx

【證明】sinx0,

所以可令f(x)=x-sinx,x>0,則f′(x)=1-cosx,易知在x∈(0,+∞)上f′(x)≥0,

所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)>f(0)=0,

所以x-sinx>0在x∈(0,+∞)上恒成立,則sinx

由(1)可知m′(x)>0,所以k′(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以k′(x)>k′(0)=0,同理可得f′(x)>f(0)=0,所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=0,

2.題目3,4,5的拓展探究

(1)指數(shù)ex≥x+1切線的放縮的推廣.

①下面對其原式“加減乘除”并進行推廣:

如果把原式x替換成x+a,則原式變成ex+a≥x+a+1,切點x=-a.

如果把原式x替換成x+lnx,則原式變成xex≥x+lnx+1(x>0),切點x+lnx=0?x0≈0.568.

如果把原式x替換成x-1,則原式變成ex-1≥x,又可表示為ex≥ex,切點x=1;

②下面對其原式“丟1換x”并進行推廣.

如果把原式1丟掉,則變成:

(2)對數(shù)lnx≤x-1(x>0)切線的放縮推廣.

下面對其原式“加減乘除”并進行推廣.

如果把原式x替換成1+x,則原式變成ln(1+x)≤x(x>-1).

從上面的代換可以發(fā)現(xiàn),所謂導數(shù)中的“大招”其來源還是教材中的典型例題或習題的變形,這些所謂的“大招”只要教師在授課過程中稍加滲透就可以了.

三、典型應用

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

(Ⅰ)當a=0時,求f(x)的最大值;

(Ⅱ)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.

當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=-1.

①當a≤0時,ax-1≤0,所以當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時函數(shù)無零點,不符合題意;

所以f(x)有唯一零點,符合題意;

這時候就要從題目要求出發(fā),進行選擇性調(diào)整,目標是解決f(x0)≥0,所以將-(a+1)lnx進行放縮,有兩條途徑:一是選擇-(a+1)(x-1)≤-(a+1)lnx,我們試驗一下看能否成功:

整理得到x2-(a+1)x+1≤0.

由二次函數(shù)g(x)=x2-(a+1)x+1的性質(zhì)可知當0

命題得證;

令F(t)=-t2+2(a+1)t-a-2,則F(0)=-a-2<0,

所以f(x)恰有一個零點.

綜上可知,a的取值范圍是(0,+∞).

四、教學建議

高考對高中教學起到重要的引導作用.高考評價體系將“引導教學”納入核心功能,有利于理順教考關系,增強“以考促學”的主動意識.從這個角度講,高考不僅僅是對學生的選拔考試,也是對教師教學的一次評估,更是對教師在課堂中落實“立德樹人、服務選材、引導教學”的一次評估,所以做好高三復習對于教師就是一次非常有挑戰(zhàn)性的工作,也是非常具有創(chuàng)新性的工作,需要教師付出大量的時間和精力,不僅要在“一核四層四翼”上下功夫,還要著眼于學生的未來發(fā)展.現(xiàn)在的高三復習經(jīng)常見到的現(xiàn)象是訂閱一些教輔材料,通過教輔材料中大量的習題鞏固基礎知識與基本方法,教材經(jīng)常被束之高閣,偶爾使用一下.教材是落實“一核四層四翼”的基本載體,如何用好教材進行復習是一個值得研究的問題.上面例子說明教材中的試題與高考試題之間有非常高的相關性,通過對教材中例題和練習題的多角度拓廣使其能夠?qū)拥礁呖荚囶}中,就能夠?qū)崿F(xiàn)減負增效,提升學生核心素養(yǎng)和關鍵能力的目標.