一題多解 教材生根 錘煉素養(yǎng)
——以教材中的一道比較對數(shù)值大小習(xí)題為例

鄧成兵

(四川省成都市航天中學(xué)校)

通過對2017年到2022年全國高考試題分析,不難發(fā)現(xiàn),這六年均出現(xiàn)“比較對數(shù)值大小”的試題,而且難度在逐年由借助0和1來比較向壓軸題轉(zhuǎn)化(如統(tǒng)計(jì)表所示).

2017—2022年全國高考真題對數(shù)比較大小雙向細(xì)目表

教材是高考試題的“策源地”.很多試題的產(chǎn)生都來自教材的例習(xí)題的組合、加工和深化,所以大部分師生都能感受到數(shù)學(xué)高考試題是年年歲歲花相似,歲歲年年題不同,每年試題都給人一種“似曾相識”的感覺.

1.例題探究

每年高考試題都重在考查學(xué)生的基本知識、基本思想和基本技能.對學(xué)生的思維量、靈活性、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)均提出較高要求.高考試題源于課本的原型題或改編題,其所占比例非常高,這就要求教師要排除題海戰(zhàn)術(shù)的干擾,精心篩選課本的例習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生吃透教材的例習(xí)題,并進(jìn)行一題多解、一題多變.本文以2019年人教A版《數(shù)學(xué)必修第一冊》第141頁第13題(2)問為例,與大家交流.

1.1教材溯源,完善認(rèn)知

1.2解法探究,錘煉素養(yǎng)

生1:這還不簡單嗎?直接利用對數(shù)換底公式和我們常用的lg2和lg3的值代入比較.

其中l(wèi)g2=0.301,lg3=0.477,可知log23≈1.58,log34≈1.26,log45≈1.16,

∴l(xiāng)og23>log34>log45.

師:不錯(cuò)!這樣做雖然簡單,但如果記不住lg2和lg3的值或換成其他對數(shù)值,我們該如何進(jìn)行比較呢?

生2:老師,我知道,直接作差,再利用換底公式和基本不等式進(jìn)行比較.

∴(ln3)2-ln2×ln4>0,即log23>log34.

同理可得log34>log45.綜上所述,log23>log34>log45.

生3:既然可以利用作差+基本不等式作比較,那么利用作商法也可以進(jìn)行比較.

∴l(xiāng)og23>log34,比較log34>log45可以用生2的方法.

生4:老師,在生2和生3同學(xué)的提醒下,我想到可以用作差+換底公式進(jìn)行比較.

∴l(xiāng)og23>log34,比較log34>log45可以用生2的方法.

點(diǎn)評:生2、生3和生4采用的比較法(作差或作商),先將對數(shù)化為同底,由于對數(shù)沒有乘法或除法,但可以相加,不約而同地利用基本不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,最終可以比較大小.

生5:既然可以利用比較法+基本不等式作比較,那么我們也可以利用糖水不等式進(jìn)行比較.

即log32log34.

同理可得log34>log45.綜上所述log23>log34>log45.

點(diǎn)評:解決這類問題的關(guān)鍵是在對數(shù)換底公式基礎(chǔ)上,設(shè)法利用教材例題的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系問題.

生6:老師,我也想到利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行比較.

log23=log2333=log827,log34=log3242=log916

由對數(shù)函數(shù)的圖象可得,在第一象限,對數(shù)函數(shù)的圖象底大圖低,

∴l(xiāng)og827>log927?log23>log34.

同理可得log34>log45.綜上所述log23>log34>log45.

點(diǎn)評:以上判斷的三個(gè)對數(shù)值都是在(1,2)中,比較的關(guān)鍵是小數(shù)部分的大小比較,所以引入對數(shù)的運(yùn)算,把log23與log34的比較轉(zhuǎn)化為log2333與log3242的比較,再利用單調(diào)性進(jìn)行比較.只不過缺乏中間值選取的策略指導(dǎo),所以初步的估值是明確突破問題難點(diǎn)的關(guān)鍵.

師:比較對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)不同,一般是利用中間量法0和1,能否把三個(gè)對數(shù)值范圍轉(zhuǎn)化在(0,1)之間,再進(jìn)行比較呢?

生7:能.解法如下:

同理可得log34>log45,∴l(xiāng)og23>log34>log45.

點(diǎn)評:把三個(gè)對數(shù)值轉(zhuǎn)化到(0,1)范圍內(nèi),再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.

師:如果直接求這三個(gè)對數(shù)值的中間量,我們該如何找?依據(jù)又是什么呢?

生8:哦,老師,我知道了.由于log23,log34,log45都在(1,2)之間,可以利用二分法來確定中間量.

4log34=log344=log3256>5=5log33=log335=log3243,

4log45=log454=log4625<5=5log44=log445=log41024.

綜上所述log23>log34>log45.

點(diǎn)評:既不同底又不同指的指數(shù)式、對數(shù)式比較大小,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性來比較,一般可以取一個(gè)介于兩值中間且與題目中兩數(shù)都能比較大小的一個(gè)中間值,進(jìn)而利用中間值解決問題,把這種方法叫作臨界值法.利用臨界值法比較大小,關(guān)鍵點(diǎn)是尋找中間變量,該如何尋找呢?本解法分為兩個(gè)步驟:

(1)估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間;

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值.

師:除了上述方法外,請同學(xué)們觀察每個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)有什么關(guān)系?能否用一個(gè)函數(shù)來表示?

(同學(xué)們齊聲說:可以用f(x)=logx(x+1),且x>1表示)

師:如果能證明出函數(shù)f(x)=logx(x+1)的單調(diào)性,問題就迎刃而解.

生9:可以同生2同學(xué)的解法一樣,利用作差+基本不等式進(jìn)行證明,證明如下:

∴l(xiāng)ogx(x+1)>log(x+1)(x+2),

∴函數(shù)f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴l(xiāng)og23>log34>log45.

師:除了同生9同學(xué)用作差法+基本不等式證明外,還有其他方法嗎?

生10:老師,可以用導(dǎo)數(shù)法證明,證明如下:

易證xlnx<(x+1)ln(x+1)在(1,+∞)上成立,∴f′(x)<0在(1,+∞)上恒成立.

故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴l(xiāng)og23>log34>log45.

師:通過生9和生10的證明,得到函數(shù)f(x)=logx(x+1)(x>1)是單調(diào)遞減函數(shù).

把此結(jié)論推廣到更一般的通用結(jié)論:當(dāng)10,則logab>log(a+x)(b+x).

∵10,

∴(a+x)ln(a+x)<(b+x)ln(b+x),則f′(x)<0,

∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,得證logab>log(a+x)(b+x)成立.

點(diǎn)評:觀察式子結(jié)構(gòu)構(gòu)建函數(shù)模型,根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)頻率,設(shè)定自變量x適用條件,這種方法叫作構(gòu)造函數(shù).大多時(shí)候,三個(gè)數(shù)比較大小,可能某一個(gè)數(shù)會被刻意的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律,所以可以優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最近的兩個(gè)數(shù)去分析,再利用逆用函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù).本題利用同構(gòu)獲得一般性結(jié)論:當(dāng)10,則logab>log(a+x)(b+x),當(dāng)10,則logba>log(b+x)(a+x),從而多途徑引導(dǎo)學(xué)生巧妙構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

1.3思維導(dǎo)圖,錘煉素養(yǎng)

在新高考大背景下,為了讓數(shù)學(xué)的解題思路更清晰有序,且能夠高效精準(zhǔn)的將高中數(shù)學(xué)題目中所給定條件的知識點(diǎn)與自己大腦系統(tǒng)中已有條件的相關(guān)知識體系建立一個(gè)恰當(dāng)有效的有機(jī)聯(lián)系,筆者認(rèn)為可以借助思維導(dǎo)圖來完成,復(fù)雜的知識點(diǎn)經(jīng)過思維導(dǎo)圖呈現(xiàn),理解起來就清晰多了.如本題的思維導(dǎo)圖如下所示(生1、生2……分別對應(yīng)解法1、解法2):

2.鏈接高考,遷移經(jīng)驗(yàn)

本題的解法主要有四大類,一是估算法;二是放縮法;三是臨界值法;四是構(gòu)造法,這些方法當(dāng)然也能遷移到對應(yīng)的高考試題中,如下試題.

(1)(2018·全國Ⅲ卷(理)·12)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )

A.a+b

B.ab

C.a+b<0

D.ab<0

則a+b≈0.748-1.738=-0.990,ab≈0.748×(-1.738)≈-1.300,

∴ab

解法2:∵0

∴ab<0,a+b<0.

點(diǎn)評:此真題用到了方法一估算法和方法二放縮法.

(2)(2022·全國甲卷(文)·12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

∴a=10m-11>10lg11-11=0.

∴b=8m-9<8log89-9=0.綜上,a>0>b,故選A.

點(diǎn)評:此真題解法采用了作商+基本不等式求解.

(3)(2020·全國Ⅲ卷(理)·12)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則( )

A.a

C.b

【解析】由題意可知a,b,c∈(0,1),無法用臨界值0和1比較.

∵4log53=log534=log581,3=3log55=log553=log5125,

∵4log85=log854=log8625,3=3log88=log883=log8512,

點(diǎn)評:此解法考查臨界值法.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

則f′(x)=-sinx+x>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

∴b>a,∴c>b>a,故選A.

點(diǎn)評:此真題解法采用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法.

從以上四個(gè)高考題的解析分析可以看出,高考題強(qiáng)調(diào)通性通法的考查,這些解法立足于教材的典型例習(xí)題中.尤其是在高三復(fù)習(xí)中,教師應(yīng)該回歸教材,注重通解通法,用好用活經(jīng)典型,巧妙引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多變尋找共性,從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.一題多變,揭示本質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過這樣一句話:“掌握數(shù)學(xué)也就意味著要善于解題”,所以解一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題不能只就題論題或一題多解而草草結(jié)束,而是要揭開此題的內(nèi)涵和價(jià)值.為實(shí)現(xiàn)這一目的,需要對它進(jìn)行變式.通過一題多變,不但可以啟示我們要注意探索多種題型轉(zhuǎn)變的一般規(guī)律,揭示其本質(zhì)特征;而且還能錘煉學(xué)生的核心素養(yǎng),幫助學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).本題進(jìn)行如下變式,讀者可以嘗試從通解通法入手,完成下列四個(gè)變式題.

【變式1】已知a=log32,b=log43,c=log54,則下列關(guān)系正確的是( )

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【變式2】已知a=log36,b=log510,c=log714,則下列關(guān)系式正確的是( )

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【變式3】已知a=log64,b=log96,c=log129,則下列關(guān)系式正確的是( )

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【變式4】已知a=log0.10.2,b=log0.20.3,c=log0.30.4,則下列關(guān)系正確的是( )

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】(1)B (2)A (3)B (4)B

點(diǎn)評:作為教師,對于高考中的熱點(diǎn)問題,需要做個(gè)有心人,將相關(guān)題目進(jìn)行整理歸納,分析其命題的角度和解題的方向,剖析其中的基本思想,讓學(xué)生在面對此類問題時(shí)心中有解題的大方向和清晰的解題策略.

4.教學(xué)反思

以上分析可見,一道看似簡單的選擇題,被挖掘出的價(jià)值不亞于一道大題,真是“小小比較,大大學(xué)問”.因此要對課本上的一些典型例題進(jìn)行認(rèn)真地探究,尤其是在高三復(fù)習(xí)中一定合理地再利用,挖掘其內(nèi)在的潛能,綜合提高學(xué)生解決似曾相識問題的能力,錘煉學(xué)生的核心素養(yǎng).