斜率連等式 求解公切線

王安寓

(江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

針對(duì)學(xué)生處理不好兩個(gè)曲線的公切線問題,筆者收集整理了兩條曲線的公切線問題,并給出一個(gè)行之有效的方法——斜率連等式,消元解方程組,以期幫助學(xué)生能將兩條曲線的公切線問題做一個(gè)總結(jié),形成系統(tǒng)知識(shí),內(nèi)化方法,掌握數(shù)學(xué)本質(zhì),形成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

在近期學(xué)校組織的周測(cè)和午練中,筆者所教班級(jí)中部分學(xué)生對(duì)兩條曲線的公切線問題處理不是那么如意,正答率較低.筆者調(diào)查了學(xué)校其他班級(jí)的情況,和筆者所帶班級(jí)情形類似.是什么原因造成學(xué)生不會(huì)求解兩條曲線的公切線問題?如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解決兩條曲線的公切線問題呢?求解數(shù)學(xué)問題,要具備:知識(shí)——相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn),方法——相應(yīng)知識(shí)與題的求解方法或數(shù)學(xué)思想,以及個(gè)人的思維品質(zhì)——復(fù)雜問題的分析能力與分解能力、繁瑣計(jì)算的耐性韌性、求解過程中的思維監(jiān)控等等.

一、知識(shí)儲(chǔ)備

如何求解兩條曲線的公切線問題呢?首先,曲線的公切線問題要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線斜率恰是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值;其次,要應(yīng)用兩點(diǎn)的斜率公式,這樣就建立了一個(gè)等式鏈,然后采用消元法解方程組,求出切點(diǎn)和斜率,再用點(diǎn)斜式方程得切線方程.

細(xì)節(jié)處理時(shí),還要先分清是在兩條曲線的公共點(diǎn)處的公切線,還是在非公共點(diǎn)處的公切線,這涉及到如何設(shè)切點(diǎn)的問題.

綜上,求解兩條曲線(函數(shù)圖象)的公切線問題,知識(shí)儲(chǔ)備是:①導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線斜率;②兩點(diǎn)的斜率公式;③消元法解方程組;④觀察方程組的式子結(jié)構(gòu)可能對(duì)解方程組有幫助.

二、公切線題型

兩條曲線(函數(shù)圖象)的公切線問題,從切點(diǎn)的屬性上大致分為兩類:

(1)在兩曲線的公共點(diǎn)的公切線問題;

(2)在兩曲線的非公共點(diǎn)的公切線問題.再細(xì)化為四類:

①求公切線的切點(diǎn)坐標(biāo);

②求公切線方程;

③由公切線求參;

④以公切線為工具解決其他問題.

其中第③類又分為三類:(ⅰ)由公切線求參數(shù)的值;(ⅱ)由公切線求參數(shù)的范圍;(ⅲ)由公切線的條件求參數(shù)范圍.根據(jù)設(shè)問或呈現(xiàn)的方式,還可以改編為存在性問題、探索性問題等等.上述四大類6小類題型,都可以采用一種方法——斜率連等式求解.由斜率建立等式關(guān)系,再通過消元等手段解方程(方程組)或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決問題.

1 公共點(diǎn)處的公切線

公共點(diǎn)處的公切線問題相對(duì)簡單,是兩個(gè)函數(shù)的公切線問題的基礎(chǔ)題.此類題目主要是求參數(shù)的值.

1.1 已知公共點(diǎn)處公切線相同求參

在兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)處存在相同的切線,研究參數(shù)的值是常規(guī)命題.求解該問題的方法是:求導(dǎo)、斜率連等式、解方程(方程組)得切點(diǎn),再代入函數(shù)求參.

【例1】(2022山東青島模擬)已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=-2x2+m,g(x)=-3lnx-x,若y=f(x)與y=g(x)的圖象有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處切線相同,則m的值為( )

A.2 B.5 C.1 D.0

【分析】題目含有一個(gè)參數(shù)m,只需求出切點(diǎn)坐標(biāo),代入y=f(x)即可.如何求切點(diǎn)坐標(biāo)呢?抓住公共點(diǎn)處的切線相同,求導(dǎo)、斜率建立方程,解方程即可.

【解析】設(shè)兩曲線y=f(x)與y=g(x)的公共點(diǎn)為(a,b),其中a>0,

又由g(1)=-1,得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),

將點(diǎn)(1,-1)代入f(x)=-2x2+m,可得m=1,故選C.

【點(diǎn)評(píng)】例1的求解流程是:由導(dǎo)數(shù)到斜率、由斜率相等到公共點(diǎn)的坐標(biāo)、由公共點(diǎn)的坐標(biāo)到參數(shù)值,斜率相等是解題的關(guān)鍵.

將切點(diǎn)給定,改編例1中的函數(shù)所含字母?jìng)€(gè)數(shù),得到例2.

A.0 B.π C.-2 D.3

【分析】由公切線得到在公共點(diǎn)處的切線斜率相等,建立一個(gè)方程,再將公共點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù),又得到兩個(gè)方程,三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù),解方程可得結(jié)果.

∴f′(0)=a,g′(0)=0,∴a=0.

又M(0,2)為f(x)與g(x)的公共點(diǎn),

∴f(0)=b=2,g(0)=1+c=2,

解得c=1,∴b+c-a=3.

【點(diǎn)評(píng)】例2看似未知數(shù)的個(gè)數(shù)較多,實(shí)際上比例1還要容易.求解時(shí)仍需要由導(dǎo)數(shù)得斜率,構(gòu)建方程.

1.2 以公共點(diǎn)處的公切線為工具研究恒成立

解決函數(shù)恒成立求參問題,方法多樣.通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化,可以構(gòu)造兩個(gè)具有公共點(diǎn)的函數(shù),以公共點(diǎn)處的公切線為臨界值,完成臨界值的探索,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題,研究函數(shù)的最值,完成參數(shù)范圍的求解,是一種具象“形”的方法.

【分析】我們?nèi)菀椎玫?當(dāng)分母不等于0對(duì)x≤1恒成立時(shí),-10,絕對(duì)值符號(hào)就能輕松化解且能去分母,此時(shí)我們得到ex≤x2-2ax+1,然后再研究特殊點(diǎn),發(fā)現(xiàn)左右兩邊是兩個(gè)函數(shù)且它們都經(jīng)過點(diǎn)(0,1),研究在公共點(diǎn)的切線,借助公切線研究恒成立問題.

圖1

圖2

【點(diǎn)評(píng)】解析求解過程分為三個(gè)大的邏輯段:(1)分母不為0對(duì)任意x≤1恒成立,求得實(shí)數(shù)a的大致范圍,并確定分母的正負(fù)號(hào)幫助去絕對(duì)值符號(hào);(2)引入兩個(gè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+1(x≤1)和h(x)=ex(x≤1),并觀察出g(0)=h(0)=1,將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式g(x)≥h(x)對(duì)任意x≤1恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為g(x)和h(x)在x=0處有相同的切線,即g′(0)=h′(0);(3)用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率,求出a的值并檢驗(yàn).上述三個(gè)邏輯段中,最關(guān)鍵的是第(2)個(gè)邏輯段.定點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)是解決問題的突破口.

在解析中易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)不等式F′(x)<0的求解.如果不知道F′(x)=0有2個(gè)不等根,那么會(huì)造成F′(x)<0的解為0

解析是以公切線為工具,由直到曲,破解臨界,找到臨界值a,直達(dá)目標(biāo),再轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立.當(dāng)然,作為填空題,后期的證明在考場(chǎng)上可以省略(考場(chǎng)上只要一個(gè)感性認(rèn)知,完成填空即可),在考后作進(jìn)一步研究時(shí)再縝密推理.

2 非公共點(diǎn)處的公切線

兩個(gè)函數(shù)在非公共點(diǎn)處的公切線問題是近幾年考試的熱點(diǎn),對(duì)邏輯思維能力的考查有較高的要求,具有很好的選拔性和區(qū)分度.求解函數(shù)公切線問題的常用方法仍是由斜率建立連等式,再消元轉(zhuǎn)化.

2.1 求公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)

由公切線求切點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算的難點(diǎn)在于如何消元,特別是含有指數(shù)、對(duì)數(shù)式的連等式.常規(guī)的多項(xiàng)式方程易于處理,而超越方程較難,其突破難點(diǎn)的方法是整體代入思想的靈活運(yùn)用.

【分析】題設(shè)沒有明確給出點(diǎn)P是兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn),那么,就不能按照公共點(diǎn)處的公切線求解(實(shí)際上曲線C1與曲線C2沒有公共點(diǎn)).設(shè)出兩個(gè)曲線的切點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)、斜率公式建立連等式,消元求解.

∴公切線斜率

且(3-x2)(x2-x1)=x2-2-x1ex1+x2-2,

【例5】已知曲線y=ex在點(diǎn)(x1,ex1)處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)(x2,lnx2)處的切線相同,則(x1+1)(x2-1)等于( )

A.-1 B.-2 C.1 D.2

【分析】在不同的點(diǎn)的切線相同,自然想到由導(dǎo)數(shù)、斜率公式得到一個(gè)連等式,對(duì)連等式變形,完成目標(biāo)式子的計(jì)算.

2.2 求公切線的方程

如能求得公切點(diǎn),那么就能求出公切線方程.公切線方程的求法只是比求公切點(diǎn)多一步:將求得的公切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得切線斜率,再由點(diǎn)斜式得公切線方程.

【例6】已知f(x)=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=lnx+2,直線l是曲線f(x)與g(x)的公切線,則直線l的方程為________.

【分析】求兩個(gè)給定函數(shù)的公切線,常規(guī)思路是求導(dǎo)、斜率公式建立連等式,消元求出切點(diǎn)橫坐標(biāo),點(diǎn)斜式求得公切線方程.

當(dāng)x1=0時(shí),切點(diǎn)為(0,1),斜率為1,切線方程為y=x+1;當(dāng)x1=1時(shí),切點(diǎn)為(1,e),斜率為e,切線方程為y=ex.

綜上,所求切線l方程為y=ex或y=x+1.

【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)建連等式后,如何消元?合比定理能讓分式的分母簡化;代入消元,是基本操作,分解因式是常用的解方程手段.

設(shè)直線AB與函數(shù)y=f(x)的圖象相切于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<0

【分析】表面上看,是求一個(gè)函數(shù)的切線,實(shí)質(zhì)上仍是求兩個(gè)函數(shù)的公切線.函數(shù)f(x)是分段函數(shù),與兩段分別相切的直線正是兩個(gè)函數(shù)的公切線.

2.3 公切線方程中的存在性問題

改變命題呈現(xiàn)形式,與存在性問題、探索性問題結(jié)合,我們有以下題目.

【例8】已知曲線f(x)=-2x3+3x2+12x-11,g(x)=3x2+6x+12,直線m:y=kx+9,是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線.

【分析】存在性問題的格式是:先承認(rèn)存在,再由條件尋找.本題的本質(zhì)仍是求公切線方程.

【解析】顯然直線m恒過點(diǎn)P(0,9).

假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線.

設(shè)切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),易得f′(x)=-6x2+6x+12,g′(x)=6x+6,

∴存在實(shí)數(shù)k=0,使得直線m:y=9是曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的公切線.

【點(diǎn)評(píng)】直線m恒過定點(diǎn)P,問題就轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)作兩個(gè)函數(shù)的切線,將公切線問題轉(zhuǎn)化為過一點(diǎn)作函數(shù)的切線問題,大大降低了問題求解的難度.由此建立的連等式更長一些,計(jì)算時(shí)可先選擇一個(gè)好算的,再代入驗(yàn)證.

【分析】本題與例8有很大區(qū)別.例8可以轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的切線問題,例9沒有定點(diǎn).求解時(shí)仍按“導(dǎo)數(shù)、斜率公式建立連等式、消元解方程組、點(diǎn)斜式寫方程”的操作流程實(shí)施.

由F′(t)>0有t>3;由F′(t)<0有0

2.4 公切線求參

由公切線求參是對(duì)逆向思維的考查.由公切線求參又分為兩大類:求參數(shù)值、求參數(shù)范圍(或參數(shù)最值).由公切線求參數(shù)的值,往往是第1類“2.2.1 求公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)”的逆向思維命題,即在“2.2.1 求公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)”的基礎(chǔ)上,將求得的切點(diǎn)代入原函數(shù)即可完成求參數(shù)的目標(biāo).由公切線求參數(shù)范圍,往往寓“動(dòng)”于題,對(duì)考生的綜合能力要求較高,也是各種考試中常見的具有選拔功能的高檔試題.解決此類問題,常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域,或轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)分析直線與曲線的位置關(guān)系,通過分析字母的幾何意義求得參數(shù)的范圍.

【例10】(2022河北邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈R),直線l與f(x)的圖象相切于點(diǎn)A(1,0),若直線l與g(x)的圖象也相切,則a等于( )

A.0 B.-1 C.3 D.-1或3

【分析】由f(x)的導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)得公切線斜率,再由g(x)的導(dǎo)數(shù)、斜率構(gòu)建連等式,解出參數(shù).

【解析】由f(x)=xlnx求導(dǎo)得f′(x)=1+lnx,則f′(1)=1+ln1=1,于是得函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(1,0)處的切線l的斜率為1.

【點(diǎn)評(píng)】給出一個(gè)函數(shù)的切點(diǎn),研究兩個(gè)函數(shù)的公切線,是最基本的題目,也是簡單題.溝通二者的是公切線的斜率,由此建立連等式,解方程組即可.

【例11】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1存在公切線,求實(shí)數(shù)a的最大值.

【分析】由導(dǎo)數(shù)、斜率得到連等式后,兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù),可以通過代入等方法消元,將參數(shù)a表示為某個(gè)字母的函數(shù)(可選擇切點(diǎn)的橫坐標(biāo),亦可選擇切線斜率k),通過函數(shù)的值域或最值完成試題的解答.

令F(x)=2x2-2x2lnx,

則F′(x)=2x(1-2lnx),

【點(diǎn)評(píng)】整體代入和單列代入是消元的常用手段.用x2表示a后,就轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)F(x)=2x2-2x2lnx的最值,熟悉的操作:導(dǎo)數(shù)、單調(diào)、極值(最值).

【例13】(2022南昌模擬)已知曲線C1:y=ex+m,C2:y=x2,若恰好存在兩條直線l1,l2與C1,C2都相切,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.(答案:(-∞,2ln2-2)).

例12、例13與例11都是類似的題目,只是參數(shù)的位置不同,但求解的方法基本相同,在細(xì)節(jié)處理上存在一點(diǎn)差異,讀者可以試著做一做.

2.5 公切線為工具

運(yùn)用公切線的臨界性,再通過旋轉(zhuǎn),就可以解決一類方程的解的個(gè)數(shù)問題或函數(shù)恒成立問題.

【例14】(2023江蘇連云港一模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x2+xlnx.設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=ax3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】常規(guī)思路是將條件方程轉(zhuǎn)化為x+lnx=ax2后,引入新函數(shù)F(x)=x+lnx-ax2,研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,討論繁瑣,不易理解.如果移項(xiàng),那么就能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系,通過公切線這一個(gè)臨界位置,研究兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),就相應(yīng)方便很多.

【解析】注意到x>0,故方程f(x)=ax3化為x+lnx=ax2,

設(shè)F(x)=x+lnx,G(x)=ax2,x>0,

顯然F(x)在x>0上單調(diào)遞增,且值域?yàn)镽,F(x)與G(x)的圖象如下(圖1～4):

圖1

圖2

圖3

圖4

顯然,當(dāng)a=0時(shí),G(x)=0,是一條直線,其與y=F(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意;

當(dāng)a<0時(shí),G(x)是開口向下的拋物線,由圖知,y=G(x)的圖象與y=F(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意(如圖1);

當(dāng)a>0時(shí),G(x)是開口向上的拋物線,設(shè)y=G(x)與y=F(x)相切于P(m,n),

則n=m+lnm=am2,

代入m+1=2am2,得a=1(如圖2);

當(dāng)0

綜上,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】求解本題有兩個(gè)難點(diǎn):(1)將方程f(x)=ax3化簡后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題;(2)運(yùn)用公切線研究兩個(gè)新函數(shù)的位置關(guān)系.引入新函數(shù),是一種創(chuàng)造意識(shí);運(yùn)用公切線研究新函數(shù)位置,是應(yīng)用意識(shí).數(shù)學(xué)素養(yǎng)是突破難點(diǎn)的有力武器.

3 公切線的綜合應(yīng)用

公切線是兩個(gè)函數(shù)的臨界直線,以公切線為著手點(diǎn),以運(yùn)動(dòng)為契機(jī),寓動(dòng)于題,以此來解決函數(shù)的綜合問題.

【例15】已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直線m:y=kx+9,f′(-1)=0.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是y=g(x)的切線;如果存在,求出k的值;如果不存在,說明理由;

(Ⅲ)如果對(duì)于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范圍.

【分析】注意到第(Ⅱ)問中的公切線恰是不等式f(x)≤kx+9≤g(x)的邊界線,因此,可考慮作出圖形,觀察圖形,結(jié)合旋轉(zhuǎn),研究直線y=kx+9的斜率的范圍.

【解析】(Ⅰ)∵f′(x)=3ax2+6x-6a,∴f′(-1)=3a-6-6a=0,∴a=-2.

∴存在k=0,使得直線m:y=9既是曲線y=f(x)的切線,又是y=g(x)的切線.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知過A(0,9)作曲線y=f(x)的切線有且只有一條y=9.

易求f(-2)=-7,記B(-2,-7).

綜上所述,k的取值范圍為[0,8].

【點(diǎn)評(píng)】切線作界,直線旋轉(zhuǎn),直觀得到斜率k的取值范圍,是本題的最優(yōu)解法.

(Ⅰ)求證:y=f(x)與y=g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱;

(Ⅱ)設(shè)直線l:y=k(x-1)夾在兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)之間,即f(x)≥k(x-1)≥g(x),試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【分析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)注意到第(Ⅰ)問中的點(diǎn)A恰是直線l:y=k(x-1)恒過的點(diǎn),聯(lián)想兩個(gè)曲線關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,那么,兩個(gè)曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線必過定點(diǎn)(1,0),且夾在兩個(gè)函數(shù)之間,通過圖形,即可求得斜率k的范圍.

【解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)注意到A(1,0)是曲線y=f(x)與y=g(x)的對(duì)稱中心,故曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線必過定點(diǎn)A(1,0),

【點(diǎn)評(píng)】例16是由例4改編而成,其求切點(diǎn)坐標(biāo)的方法較例4的方法快捷(巧用了對(duì)稱中心,當(dāng)然也可以采用例4的解法,只是運(yùn)算量增大),而實(shí)數(shù)k的幾何意義恰好是直線的斜率,從而借助公切線,動(dòng)靜結(jié)合,完成了目標(biāo)的求解.

以上16道題目,都是以公切線為切入點(diǎn)的精典試題,都能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、斜率構(gòu)建連等式求解,多題歸一,兩個(gè)曲線的公切線問題是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、解題能力和應(yīng)用意識(shí)的良好素材,引導(dǎo)學(xué)生深入思考和研究,歸類總結(jié),形成一類題型一種方法,提升解題能力,內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng).