深度學習視域下問題設計的“高階優化”
——以《函數與方程》復習課為例

林迪迪 陳 敏

(浙江省溫州市永嘉縣羅浮中學)

以《函數與方程》復習課為例,進行深度學習視域下的高三單元復習課的教學實踐.首先從低起點的問題引入,帶領學生回顧知識的發生、發展的過程,系統化地構建聯系,然后再進行螺旋式的變式拓展,幫助學生深化理解核心知識的本質以及所蘊含的數學思想方法,引領學生深度學習,發展理性思維水平,最后通過多維度的探究提煉發展學生的數學素養.

1.問題引領,深度體驗

在學生的“最近發展區”設置低起點的典型問題引出課題,能引起學生的共鳴,它是教學的起點,也是思維的增長點,能保證教學過程由淺入深、由表及里、由簡單到復雜、由單一到綜合、由低到高、循序漸進得開展、促使深度學習.

【引例】函數f(x)=ex-2的零點為________.

生1:ln2.

師:你是如何求得的?

生1:解方程ex=2.

師:厲害!那這道填空題的答案是?

生1:(ln2,0).

其他學生補充:零點是個數,不是個點,不能寫坐標,應該是ln2.

師:謝謝你們的解釋!這就是我們今天要復習的內容:函數與方程.

師生共同知識總結并板書:

零點的定義:________________.

函數y=f(x)的零點?________(函數與方程思想)?________(數形結合思想).

【設計意圖】通過引例設計,復習了函數零點的定義,從數的角度和形的角度重新認識函數零點.通過創設熟悉的問題情境,喚醒學生已有的知識結構,從數和形的角度認識和感受函數零點、方程的根.

2.螺旋變式,系統構建

深度學習的載體和原動力在于問題的廣度、梯度、深度,通過問題變式和方法變式引領學生探究,促進數學知識與方法的遷徙,促使學生的數學思維從低階逐步跨越到高階,驅動深度學習的順利開展.

片段1:合作探究,發現方法

【變式1】判斷方程ex-2+x=0的根的個數?并證明你的結論.

教師給出問題,學生小組合作討論,小組匯報討論結果.

生2:從形的角度直觀判斷.ex-2+x=0的根的個數?方程ex=2-x的根的個數?兩個函數f(x)=ex,g(x)=2-x圖象交點的個數.將方程的根的個數轉換為兩個函數圖象交點的個數,非常直觀的判斷方程ex-2+x=0有唯一的根.

師:非常棒!一目了然,一幅圖解決了問題.抽象的數的問題轉化為直觀的形的問題!

生3:令f(x)=ex,則f(x)在R上單調遞增.

令g(x)=2-x,則g(x)在R上單調遞減.

∵f(0)=1g(1)=1.

∴f(x)與g(x)的圖象有且只有1個交點,即ex-2+x=0有唯一的根.

師:感謝你!非常不錯的想法!但是,這樣的想法似乎還缺了點,誰還有補充?

(學生情緒高漲,都在積極思考更加嚴謹的方法)

生4:從數的角度嚴格證明.

令f(x)=ex-2+x,

∴f(x)在R上單調遞增.

又f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,

∴f(0)·f(1)<0.

由零點存在定理可知f(x)在R上存在唯一的零點,證畢.

師:謝謝你帶我們進入嚴謹的數學世界.方程的根的個數等價于函數零點的個數,然后利用零點存在定理從數的角度嚴格證明了.非常棒!

師生共同知識總結:

零點存在定理:若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象________,且________,則函數y=f(x)在區間(a,b)上________.

【設計意圖】通過變式,加深對函數零點的認識,從數的角度和形的角度來理解函數零點,以及函數與方程之間的轉換.

片段2:層層遞進,總結方法

【變式2】求函數f(x)=ex,g(x)=ax圖象的交點個數?并說明理由.

教師給出問題,學生小組合作討論,小組匯報討論結果.

生5:a的幾何意義為過原點的直線的斜率.

解得x0=1(k為相切時,切線的斜率),

∴切點為(1,e),k=e,

由圖可知(圖略):

當a>e時,有2個交點;

當a=e,a<0時,有1個交點;

當0≤a

師:厲害,這一小組借助于形,加以數的角度,數形結合判斷出交點個數.突破口——發現參數a的幾何意義為直線的斜率,反應在形的角度為直線的傾斜程度.那還有其他思考的角度嗎?

∴h(x)在(1,+∞)上單調遞增,在(-∞,0),(0,1)上單調遞減.

根據圖象及前面的分析,可得:

當a>e時,有2個交點;

當a=e,a<0時,有1個交點;

當0≤a

師:又是全新的視角,突破口為分離參數a,然后再借助于形的角度解決問題!非常棒,謝謝你的分享!

生7:令h(x)=ex-ax,h′(x)=ex-a,

①當a<0時,h′(x)>0,則h(x)單調遞增,

∴h(x)在R上有且只有1個零點.

②當a=0時,沒有零點.

③當a>0時,令h′(x)=ex-a>0?x>lna,

∴h(x)在(-∞,lna)上單調遞減,在(lna,+∞)上單調遞增,

∴h(x)min=h(lna)=elna-alna=a(1-lna).

當00,∴h(x)無零點.

當a=e時,h(x)min=0,∴h(x)有1個零點.

當a>e時,h(0)=1>0,h(x)min=h(lna)<0,h(a)=ea-a2>0.

∴h(x)在(-∞,lna)上有1個零點,在(lna,+∞)上有1個零點,即h(x)在R上有2個零點.

綜上所述,當a>e時,有2個零點;

當a=e,a<0時,有1個零點;

當0≤a

師:通過構造函數,借助單調性和零點存在定理對零點情況給予說明.邏輯思維非常的嚴謹.感謝你!

師:我們剛剛通過三種方法來解決這一問題,我們來總結反思每一種方法.切線法在于找出直線和曲線相切時的特殊情況為出發點,但僅僅適用于凹凸性不變的函數,而且在解答題很難描述清楚,更適用于選擇和填空題.參數分離的優點在于避免對參數的討論,但是會出現分參困難,或者不含參部分難求極值.直接討論,要對參數進行細致合理的分類,這對學生的能力提出了更高的要求.

【設計意圖】通過變式2的鋪墊,使學生儲備了足夠的知識經驗,學生自己不斷嘗試,探索不同的方法,不僅提升了自豪感,而且更加深刻認識了對函數與方程之間的聯系、數形結合解決函數零點問題.通過這兩道題目,求解思路更寬廣,能夠整合知識,梳理方法,提升能力,發展核心素養.

3.多維探究,思維進階

通過上述2個變式的螺旋式探究,學生基本掌握了零點問題的一般求解思路和解答程序,筆者又設置了一道變式,讓學生從不同維度探究求解策略,提煉方法,培育理性思維,發展數學素養.

【變式3】已知關于x的函數f(x)=ex-ax2-a2,

(Ⅰ)當0

教師給出問題,學生小組合作討論,小組匯報討論結果.

生8:

(Ⅰ)f′(x)=ex-2ax,令q(x)=f′(x),則q′(x)=ex-2a,

令q′(x)>0?x>ln2a,

所以f′(x)在(ln2a,+∞)上單調遞增,

在(-∞,ln2a)上單調遞減.

∴[f′(x)]min=f′(ln2a)=eln2a-2aln2a=2a(1-ln2a)>0,

∴f′(x)恒為正.

∴f(x)在R上單調遞增.

又f(0)=1-a2>0,f(lna2)=-a(2lna)2<0,

∴f(0)·f(lna2)<0.

由零點存在定理可知,f(x)在R上有唯一的零點.

師:非常厲害!完美詮釋了數學嚴謹!

生9:(Ⅱ)解法1:

令g(a)=-a2-x2a+ex,

(3)式顯然成立.

下面先證(1)式.

∴h′(x)在R上單調遞增.

同理可證(2)式成立.

解法2:

先證(1)式.

由切線不等式ex≥x+1(當且僅當x=0時等號成立),可得

下證(2)式:

由切線不等式ex≥x+1可得

師:今天主要講解函數零點的相關問題.由于時間關系,這道題留給同學們自己課后思考,還可以從其他哪些角度思考.

以上問題,學生主動探究,自主構建,互動交流,課堂十分活躍,同學們收獲滿滿,教學效果令人滿意.

4.教學反思及感悟

基于核心素養的深度學習,不同于傳統的被動接受,在課堂教學過程中以問題為載體,以自主探究和高階思維為學習與解決問題的基本手段,獲得對知識方法、思維方式的深度理解與建構.既是一種指向核心素養、利于核心素養生成的學習,也是一種追求知識的“質”勝過追求知識的“量”的學習.

4.1 數學課堂應給足學生“悟”的時間——深層體驗

本節課采用學生小組討論、小組匯報的形式進行,課堂是在學生的思維活動中構建的.在教學過程中要充分相信學生,讓學生全面、深入地參與教學過程.學之道在于“悟”.數學學習的本身就需要有悟的過程,悟的過程就是一個自我思考、自我反思、自我總結的過程.通過小組討論中思維的碰撞、以及自我反思總結,對學習對象蘊含的數學本質、規律進行思考和做出判斷,不斷地提高學生的數學思維品質.讓核心素養滲透到每一個教學環節中,流淌于各個不同的數學知識之間.在學生深層體驗中親歷解題過程,感悟解題思想方法,內化知識,構建自身知識體系,發展核心素養.

4.2 數學課堂恰當選擇“最近發展區”——深入探究

維果斯基提出“最近發展區”理論,教師的職責在于引導、幫助學生從已有的水平發展到他可能達到的水平.在實際課堂上,如何尋覓學生的“最近發展區”?如何選擇最佳的“教學最佳區”?“最近發展區”可能是知識型、方法型、能力型,還是可以是素養型,因此在課堂教學過程中,應當綜合考量、具體分析,辯證思考,從中選擇最適合學生的最佳“最近發展區”實施教學.比如在變式2的教學中,學生在平時學習中已經非常熟悉此類問題,積累了多種教學方法,直接討論法最易想到,但是參數的變化對函數單調性的影響,需要學生對此進行細致的分類討論.教師需要在學生的原有基礎上,進行有方向的引導教學.

4.3 強化思考交流,培養高階思維——深化思考

問題和變式在教學過程中起到很好的驅動作用,教師引導學生剖析問題本質,從“變”的現象中發現“不變”的方法本質,總結通性通法,然后再從“不變”的本質中探索“變”的規律,體現知識的遷移,為學生搭建解決問題的臺階.深度視域下的復習課還要以拓展和延伸為突破口,變換不同的問題情境,促進學生多維度深度思考,最終實現對知識體系和思想方法的感悟和內化,培養學生的高階思維,提升學生的核心素養.

我們應該關注每個教學環節,從每一個教學設計做起,立足每一個知識、方法,進行深度教學,讓學生進行深度學習,那么學生的數學能力的培養和數學核心素養的發展就不是一句空話,就能夠在課堂教學過程中落地生根、開花結果,促進學生終身發展.