注重轉化思想 落地核心素養
——以基本不等式為例

索朗卓嘎

(拉薩那曲第一高級中學)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中明確了數學學科的核心素養與課程目標,要求學生能自主、自覺地運用所學數學知識和數學思維進行理性思考、邏輯推理,以解決相關問題.若要達到該目標,需要教師采用合適的方式,循序漸進,逐步引導學生夯基提能、訓練思維、開拓視野、學以致用.

在筆者看來,高考改革進程中,教師要把重心放在新教材的變化、知識模塊的變動、新高考考法與側重、課堂授課方式等,認真鉆研、探究,提煉出一套適合學生的學習方法,在教學中高效落實數學學科核心素養與四基四能.

“基本不等式”是高中新教材人教A版必修第一冊第二章的內容,與舊教材相比,放到了較靠前的位置,將其作為備用內容,為后面其他模塊的求解作基石,即可以與大多數模塊綜合命制試題或作為求解工具.可見基本不等式的重要性不言而喻.通過創設情境發現、探索“重要不等式”“不等式鏈”是不可忽視的一個內容,讓學生不僅知其然,還要知其所以然,這樣,才有利于發展學生的邏輯推理能力、數據分析能力與數學運算能力.另外,基本不等式也是高考重點考查的知識之一.在高考中一般是直接考查或者與其他知識模塊綜合考查,主要命題角度為比較大小、求最值、求范圍等,在各題型中都可能出現,主要考查靈活轉化能力.

因此,筆者以“基本不等式”為例,基于常見、常用的基本不等式基礎上,引導學生對于各類題型,學會如何思考、如何變形、如何破題、舉一反三,靈活運用所學知識解決問題.

一、知識儲備

1.定義

2.使用條件

使用基本不等式需要滿足條件“一正、二定、三相等”.

一正:各項必須為正數;二定:積或和必須為定值;三相等:等號成立的條件能否取到.

3.基礎不等式

(4)①一般地,當a,b∈R時,有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立．

當a,b∈R時,

4.不等式鏈

這個不等式鏈揭示了兩正數倒數和、積、和、平方和之間的不等關系,當某一部分為定值時,其余三部分都能取到最值,且都在兩數相等時取等號,利用這個不等式鏈往往可以使復雜問題簡單化.

二、題型與策略

以經典、啟發性試題引入,通過觀察、分析,提高對已知式或所求式的變形能力,利用“和定積最大”“積定和最小”求最值,鍛煉構造、建模思維,滲透數學分析、數學建模、數學運算的核心素養.

提高觀察、變形能力的途徑主要是:教學中注意引導學生,使學生的知識結構形成梯級,一般知識、主要知識、關鍵知識,使之形成一個有層次的有機融合體.這樣,學生在解決問題時,觀察有方向、分析有重點、知識用得上、方法有效力.一些有啟發性的練習有助與將學生的知識結構整理成梯級.

1.和式的最小值

需注意以下三點:

(1)優先確定兩個式子的正負;

(2)乘積是否為定值,若不是定值,則能否變形湊成積為定值;

(3)等號是否能取到要驗證.

思路:若要出現積為定值,只需將a變成a+5-5.

注意:本題求出的a值有2個,要根據a的范圍刪除一個.

注意:(1)變形后,兩個式子都是負數,此時不等號的方向是“≤”;

(2)本題求出的a值有2個,要根據a的范圍刪除一個.

思路:見和想積.若要出現積為定值,只需將2a變成2(a+5)-10.

注意:本題求出的a值有2個,要根據a的范圍刪除一個.

2.積式的最大值

【例1】(對和式采用基本不等式)

思路:本題“和”已經為定值,可直接利用基本不等式求“積”的最值.

【例2】(對積式采用基本不等式)

已知f(x)=6x(6-3x)(0

思路:觀察到3x+6-3x為定值,故對原解析式進行等價變形f(x)=6x(6-3x)=2·3x(6-3x).

【評析】正確的觀察是解決問題的第一步,例2注意到“6x=2·3x,3x與6-3x和為定值”是關鍵信息,由此入手解決問題.觀察與分析為伴才能保證正確.通過有啟發性的練習鍛煉觀察能力也就是鍛煉了分析能力.

3.根式的最值

“遇根式,先平方”,屢試不爽,求與根式有關的最值問題,也是如此,平方后,再變形、配湊.從示例、現象中找規律,這就是歸納,是學生需掌握的基本能力之一.

4.分式的最值

求解分式型的最值,一般先用消元法或整體法等方式處理,再同除以分子或分母,利用基本不等式求解.

轉化技巧1:令ax2+bx+c=m(dx+e)2+n(dx+e)+p,建立關于m,n,p的方程組,求解m,n,p.

思路1:整體法.以“x+1”為整體進行變形,設x2+3x-18=(x+2)2+m(x+2)+n.列出關于m,n的方程組,求解,然后分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

思路2:整體法.分子x2+3x-18=(x+6)(x-3)=(x+2+4)(x+2-5),將“x+2”看成一個整體,展開,分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

5.“1”的妙用

當已知條件中,代數式的值為1時,常常將所求代數式乘“1”、除以“1”或將所求代數式中的常數“1”用等于“1”的式子代替.

錯因:連續使用基本不等式時,忽視了等號成立的條件一致性.

警示:連續多次(2次及以上)使用基本不等式時,應注意保證等號成立的條件是相同的.

思考:將2x+4y=1,換成2x+4y=10,又該如何做呢?

思路:以“所求代數式的分母”為目標,進行變形.將x+y=6變形為x+3+y+6=15,將“x+3”“y+6”看成整體,與所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

思路:以“所求代數式的分母”為目標進行變形,將4x+5y=1變形得4(x+y)+y+2=3,然后將“x+y”“y+2”看成整體,與所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

6.不等式恒成立問題

恒成立或有解問題的關鍵是抓住最值,通常有以下兩種解題策略:

(1)不用參變分離.

如果參數不影響最值的求解,則不用分離參數,直接求最值即可.

①對任意的x∈D,f(m,x)≥0恒成立,則滿足f(m,x)min≥0即可;

對任意的x∈D,f(m,x)≥0有解,則滿足f(m,x)max≥0即可;

②對任意的x∈D,f(m,x)≤0恒成立,則滿足f(m,x)max≤0即可;

對任意的x∈D,f(m,x)≤0有解,則滿足f(m,x)min≤0即可.

(2)需要參變分離.

將參數從不等式中分離出來,使不等式的一端是含有參數的代數式,另一端是一個具體的函數,這樣就把問題轉化為一端含參數的不等式的形式,便于問題的解決.

①對任意的x∈D,f(x)≥g(a)恒成立,則滿足f(x)min≥g(a)即可;

對任意的x∈D,f(x)≥g(a)有解,則滿足f(x)max≥g(a)即可;

②對任意的x∈D,f(x)≤g(a)恒成立,則滿足f(x)max≤g(a)即可;

對任意的x∈D,f(x)≤g(a)有解,則滿足f(x)min≤g(a)即可.

思路:不用分離參數,直接求左邊式子的最小值,然后將問題轉化為求實數a的不等式.

【例2】對于任意m,n∈(0,+∞),都有5m2-amn+4n2≥0,求實數a的最大值.

7.基本不等式的多次使用

在求最值的過程中,有的題型適合采用多次基本不等式求最值,易錯點在于一定要驗算取等,如果各個不等式的等號不能同時成立,最終的不等式一定不能取等.可以這么理解:只有a≥b,b≥c的等號都取得到的前提下,才有a≥c,否則只能說a>c.

【講評】利用基本不等式求解最值問題,不論題目有沒有問何時取“=”,都一定要注意該不等式能否取“=”,這就是關鍵知識,即解題學中的“關鍵點”.若有多處取“=”,還應觀察其能否同時取“=”.

三、研究教學策略 落實素養教學

基本不等式幾乎貫穿于所有模塊中,是求最值的一大利器,每年高考都有對該知識點的考查,掌握其常考題型、解法是關鍵,難點是式子的變形.遇到問題,先仔細觀察式子與已知式子之間的關系,找到變形的切入點.

數學教學的重心應是幫助學生形成數學思維、建模思維,學以致用,這是數學素養的真正核心所在.如本篇所講“基本不等式”,將常見題型歸類,引導學生向目標方向去變形,明晰哪一類試題該用哪種方式去切入.在教學過程中,以學生的學為出發點,以培養學生的數學核心素養為目的,設置課堂教學與實踐.

科學、合理的課程設計是高效教學的基礎,也是核心.在新課標中,“基本不等式”一節的教學目標是讓學生從情境中發現、探索并證明基本不等式,探究其幾何背景,掌握用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題的基本方法.通過這一節的教學,激發學生的探究精神和認真學習的態度,體會數形結合、數學建模等數學思想,落實邏輯推理、數學運算等核心素養.教師需要從情境出發,引導學生通過分析探究、交流學習,發現和證明基本不等式,并給出其幾何解釋.通過對典型例題的分析,讓學生理解基本不等式成立的條件,能用基本不等式解決常見的“最值問題”,抓住本質,突破“基本不等式成立的條件以及構造幾何圖形驗證基本不等式”等教學難點.