函數性質撲朔迷離 三角模型撥云見日
——談構造三角函數模型解決抽象函數問題

唐 洵

(福建省福清第三中學)

新高考以來,以抽象函數性質為背景的問題屢見不鮮,此類問題大體上有兩種解法:一種是通過變換函數性質的表達式配合賦值法得到相應的結論,此方法雖為通法,但過程較為復雜,有時令人難以琢磨;另一種是根據題設的性質條件或所給表達式的結構特征構造相應的三角函數模型進行求解.那么如何選擇合適的三角函數模型?當題目中有多個函數時應當如何選擇?在構造的過程中有什么注意點?下面筆者結合此類問題的幾種題型進行講解.

1.預備知識,磨刀不誤砍柴工

1.1 奇偶性結論

(1)若f(ωx+φ)為奇函數,則f(x)的圖象關于點(φ,0)中心對稱.

(2)若f(ωx+φ)為偶函數,則f(x)的圖象關于直線x=φ對稱.

1.2 對稱性結論

1.3 周期性結論

(1)若f(x+a)=f(x+b),a≠b,則f(x)為周期函數,且T=|b-a|;若f(x+a)+f(x+b)=c,a≠b,則f(x)為周期函數,且T=2|b-a|.

1.4 導函數結論

(1)若函數f(x)可導且圖象關于直線x=a對稱,則其導函數圖象關于點(a,0)中心對稱;若函數f(x)可導且圖象關于點(a,0)中心對稱,則其導函數圖象關于直線x=a對稱.特別地,若偶函數可導,則其導函數是奇函數;若奇函數可導,則其導函數是偶函數.

(2)若某函數的導函數為奇函數,則該函數為偶函數;若某函數的導函數為偶函數,則該函數不一定是奇函數,但其圖象一定有對稱中心.

(3)若周期函數可導,則其導函數仍是周期函數(周期不變),反之不成立.

1.5 三角函數和、差與積的關系式

(1)積化和差:

(2)和差化積:

2.題型剖析,吾將上下而求索

2.1 基于單函數性質的構造

【例1】(2021·全國新高考Ⅱ卷·8)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

【答案】B

【點睛】若題設條件給出的是f(ax+b)的奇偶性(對稱性)、周期性、特殊值等相關性質時,可以此為契機,將f(ax+b)構造成滿足題設條件的三角函數;若選擇將f(x)構造成三角函數,則需先將f(ax+b)的性質還原為f(x)的性質后再構造,相對復雜,非必要時不采用.

【例2】(多選)(2023廈門二模)定義在R上的函數f(x)滿足f(2-x)=f(2+x)+4x,函數f(2x+1)的圖象關于點(0,2)對稱,則( )

A.f(x)的圖象關于點(1,2)對稱

B.4為f(x)的一個周期

C.f(2)=4

D.f(2 023)=-4 042

【答案】AD

【點睛】為了增加題目的難度,命題者有時會刻意隱藏函數的奇偶性或對稱性的信息,僅通過給出某個表達式讓該性質若隱若現,如本題中給出“f(2-x)=f(2+x)+4x”,此時需要通過認真觀察、正確書寫、充分挖掘、適度聯想,找出奇偶性或對稱性后,構造合適的三角函數模型.

2.2 基于單函數及其導函數性質的構造

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

【答案】BC

【例4】(多選)(2023池州二模)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R,且f(x)在R上單調遞增,記g(x)=f′(x),若f(3x-2)+f(4-3x)=f(3),g(x)+g(4-x)=4,則( )

A.f(-1)=0

B.f(f(1))>f(0)

C.g(f(-1))

【答案】ABD

【點睛】構造三角函數模型研究抽象函數,目的是將抽象的性質形象化,但在多選題中,對于一些簡單的選項,可以通過直接賦值或者簡單的代數變換得到,如本題中的A,B選項,并且本題在構造出g(x)后,由于還原為原函數的未知量較多,還需借助f(-1)=0進行輔助,因此有時需要雙管齊下進行解題.

2.3 基于雙函數性質的構造

【例5】(多選)(2023安徽模擬)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,f(x+1)-1是奇函數,g(x+2)是偶函數,f(x)-g(x+2)=4,g(2)=3,則( )

A.f(x)為奇函數

B.4為f(x)的一個周期

C.f(2 023)=-1

【答案】BD

【點睛】雙抽象函數的問題特征是兩個函數時而分離,時而聚集,如本題中“f(x+1)-1是奇函數,g(x+2)是偶函數,g(2)=3”體現了兩個函數各自的性質,而“f(x)-g(2+x)=4”體現了兩個函數之間的聯系,因此只要能夠確定一個函數的模型,另外一個自然迎刃而解.由于本題中g(x+2)同時出現在“分離”與“聚集”中,因此對g(x+2)進行構造.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【答案】D

【點睛】由于題設給出的函數性質均涉及g(x),因此本題選擇g(x)構造三角函數.值得注意的是,在構造的過程中,可以先由g(x)圖象的對稱性得到g(x+2)為偶函數,再利用待定系數法確定相應的數據,最后通過f(x)+g(2-x)=5得出f(x).

2.4 基于雙函數及其導函數性質的構造

【例7】(多選)(2023棗莊一模)已知函數f(x)和g(x)及其導函數f′(x)與g′(x)的定義域均為R,若f(x+2)-g(1-x)=2,f′(x)=g′(1+x),且g(x+1)為奇函數,則( )

A.函數y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱

C.函數y=g′(x)的圖象關于點(2,0)對稱

【答案】ACD

【點睛】在求解本題時,也可以根據g′(x+1)是偶函數,構造g′(x+1)=Acosωx+b(ω>0)進行求解,要注意導函數為偶函數,原函數未必為奇函數;此外,此構造在還原為原函數時所帶系數相對復雜一些,但也能正確解題.

【例8】(多選)(2023湖北八市3月聯考)設定義在R上的函數f(x)與g(x)的導函數分別為f′(x) 和g′(x),若g(x)=f(2x-1)-2x,且f(x) 與g(x+1)均為偶函數,則下列說法一定正確的是( )

A.f′(1)=1

B.f′(2 023)=2 023

【答案】ABD

【點睛】本題若直接根據f(x)與g(x+1)均為偶函數或者f′(x)與g′(x+1)均為奇函數進行構造,容易陷入構造誤區,無法使得題設條件同時成立;此時應當對題設條件先分析,再構造;另外本題的函數并非單純的三角型函數,在構造時應當結合題設數據作出分析.

2.5 基于聯想公式的構造

A.-3 B.-2 C.0 D.1

【答案】A

【點睛】本題解題的難點在于需要通過題設表達式的結構特征,聯想出對應的三角函數公式,進而得到相關的三角函數后,再利用待定系數法進行求解;考慮到問題為求值,還可以使用賦值法進行求解,具體如下:令x=1,y=0,得f(0)=2,令x=1,y=1,得f(2)=-1,令x=2,y=1,得f(3)=-2,令x=3,y=1,得f(4)=-1,令x=4,y=1,得f(5)=1,令x=5,y=1,得f(6)=2=f(0);令x=6,y=1,得f(7)=1=f(1),以此得到一個周期的值,進而得到答案.

則( )

A.f(0)=0

B.f(x)為偶函數

C.f(3+x)=-f(3-x)

【答案】ACD

3.歸納小結,為有源頭活水來

【問題1】構造三角函數模型求解問題的題目特征是什么?

【答案】當題設條件呈現函數的奇偶性、對稱性、周期性等性質,或是給出一個類似于三角函數公式的表達式時,考慮構造三角函數求解,常見的設問為求值或者研究函數的對稱性與周期性.

【問題2】如何合理地構造三角函數模型?

【答案】若題設給出的是函數的相關性質,則需在分析性質的基礎上進行構造,最好能夠基于一個奇函數或者偶函數進行構造;若題設給出的是某個三角函數的公式,需要結合公式中的三角函數進行構造.

【問題3】在確定大致的三角函數模型后,仍然有很多未知的參數,此時應當如何進一步得到更加精確的三角函數?

【答案】在確定大致的三角函數模型后,需進一步根據題設中的條件,利用待定系數法得到其他的系數,但并不能保證所有的系數都能被求出.

【問題4】當題設中既有原函數又有導函數的性質時,應當如何作出選擇?

【答案】當二者同時出現時,應優先選擇原函數構造三角函數模型,此時要注意將導函數的性質還原成原函數性質時的一些易錯點,如導函數為偶函數時,原函數不一定是奇函數.

【問題5】當題設和問題比較簡單時,應當如何作出選擇?

【答案】直接利用函數的性質進行變換處理或者直接構造簡單的三角函數進行求解即可.