研究真題 把脈考向
——函數y=Asin(ωx+φ)中參數ω的取值范圍問題

王敬全

(江蘇省南京市溧水區第二高級中學)

函數y=Asin(ωx+φ)中參數ω的取值范圍(最值)問題是近幾年高考的高頻考點及熱點,2022年全國卷中有4道試題涉及ω的求值或范圍問題,它與對稱性、單調性、最值及零點(極值點)個數等相結合,綜合考查函數性質,其中蘊含著核心素養、關鍵能力和必備知識,體現了高考試題的基礎性、綜合性和應用性,對學生的思維品質有著較高的要求.筆者整理了近年來全國卷中的這類考題,潛心研究解法、努力領悟立意、總結考查規律、預測考試方向,從而指導高三的復習備考.

【解法1】這類問題往往以選擇題的形式呈現,而選擇題又可通過特殊值代入的方法求解.

圖1

圖2

【分析】該題考查三角函數的圖象與性質,將函數的極值點和零點這兩個函數的重要特征量進行有機的融合,解題過程中對數形結合、化歸與轉化等數學思想方法有著很高的要求,數學抽象、邏輯推理、幾何直觀、數學運算等數學學科核心素養得到了很好的體現.此題入口較寬,學生可以從不同的角度切入,體現了高考試題的開放性,對學生思維的嚴謹性也有很高的要求.

圖3

(下同解法2)

【分析】相對于例1和例2,例3所給的區間端點不是0,如采用換元法,新元t所在區間的兩個端點均是變化的,無法確定它在正弦函數的哪個減區間中,難度陡增,只能考慮所有情況(用含k的區間表示),先根據ω有解,確定k的值(哪個區間的子集),然后求出ω的取值范圍.

因為函數y=cosx的單調區間為(kπ,kπ+π),k∈Z,

因為k∈Z,所以k=-1或k=0.

【分析】該題將函數的單調性以另一種形式呈現,轉化為函數在給定區間上單調,由于所給區間中沒有元素0,換元后新元t的區間兩個端點均不固定,且區間中沒有定值,難度加大.再加上是填空題,且是余弦函數,解決過程中還要分類討論,學生得分情況不好,最終全區平均得分0.24分.

歷年的高考題都是經過命題者精心打磨,立意、效度、信度都很高,且經過了高考的檢驗,科學性上有保證,有很強的導向性,是最權威的高考研究資料.作為一線教師及教研工作者,研究高考題應當成為一項常態工作,除了研究高考題的解法,更要研究其立意、背景、變式和導向,只有教師研究透了,才能領會命題者的意圖,向學生講清問題的本質,發揮試題的最大功能.事實上,高考命題從不回避陳題,很多試題都是“新瓶裝舊酒”,因此教師需在已有考題的基礎上,總結出這類問題的一般解法,盡可能多地想一想它還可能有的變化及考查方向,從而查漏補缺.