洞悉趨勢 融聚未來
——2023年創新仿真題多維分析選登(一)

楊 飛 陳 威 韋敏妍

(1.河北省獻縣第一中學;2.大連市第八中學;3.廣西河池市民族高級中學)

【答案】D

【考點】平面向量的線性運算

【答案】B

【考點】圓錐的體積公式

【高考風向】高考數學試題的背景素材會緊密聯系國家社會經濟發展、生產生活、科技發展以及數學文化等具體情境,以此考查考生在數學情境中運用數學思想、知識方法解決實際問題的能力以及數學應用的靈活性和創新性.

3.某大學生社會實踐服務小分隊的7名大學生志愿者(包括甲、乙兩名大學生)要參加社區治理、鄰里守望、社區環境保護三個課題的調查,每名同學只參加一個課題組,每個課題調查組至少兩名同學,則甲、乙兩名大學生沒有被分到同一課題組的概率為( )

【答案】B

【考點】古典概型+排列與組合

4.已知函數f(x)=x3-2ax2+a2x+b在x=1處取得極大值5,則( )

A.a=3,b=1

B.a=1,b=5

C.曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為24x-y+9=0

D.函數f(x)的圖象關于點(2,3)對稱

【答案】ACD

【考點】極值+導數的幾何意義+函數圖象的性質

【知識拓展】已知f′(x)為函數f(x)的導函數,令g(x)=f′(x),若方程g′(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.任何一個三次函數都有“拐點”,且“拐點”就是三次函數圖象的對稱中心.

【全能解析負責教師:楊 飛 河北省獻縣第一中學】

1.在數列{an}中,定義an為不大于n且與n互質的正整數的個數,則( )

A.{a2n}是遞減數列 B.{a2n}是遞增數列

C.{a2n}為等差數列 D.{a2n}為等比數列

【答案】D

【考點】數列的單調性+等比數列的定義

【全能解析】由題易得a2=1,a4=2,a6=2,所以數列{a2n}不是單調數列(提示:通過列舉數列的前幾項結合數列單調性的定義進行判斷),故A,B錯誤;因為與2n互質的數為1,3,5,7,…,2n-3,2n-1,共有2n-1個,所以a2n=2n-1,則數列{a2n}為等比數列(提示:由等比數列的定義進行判定),C錯誤,D正確,故選D.

【高考風向】新定義試題是新高考的一種?？碱}型,在選擇題中經常出現,由于題目新穎,信息豐富,可以較好地考查考生分析問題、解決問題的能力,考生需要認真閱讀,理解題意,合理轉化,進而解決問題.

A.中點 B.三等分點

C.四等分點 D.五等分點

【答案】C

【考點】幾何體的外接球+球的截面性質

【方法技巧】解決球的截面問題關鍵在于合理使用球的截面的性質:(1)球的任意一個截面都是圓;(2)球的截面圓的圓心和球心的連線垂直于截面圓所在的平面;(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關系為R2=d2+r2.

3.已知經過點(-2,2)的兩條直線l1,l2均與曲線y=x3+m相切,若直線l1的方程為y=2,則m的值為________,直線l2的方程為________.

【答案】2 27x-y+56=0

【考點】導數的幾何意義

【高考風向】填空題設置多空試題是新高考的一大特點,有時還設置為開放性試題,可以培養考生的思維能力和核心素養.

問題:求雙曲線C的標準方程;

(Ⅱ)過點F2的直線l斜率為k,且與雙曲線C交于D,E兩點,直線A1D與直線A2E的交點為M,證明:在雙曲線C上存在定點N,使得△MF1N的面積為定值.

【考點】雙曲線的標準方程和幾何性質+直線與雙曲線的位置關系

【全能解析】(Ⅰ)若選①③,

因為C上的點到焦點的最小距離為1,

所以c-a=1,

若選②③,

因為C上的點到焦點的最小距離為1,

所以c-a=1,

(Ⅱ)證法一:設點D(x1,y1),E(x2,y2),M(x0,y0),

由題意知,直線l不與雙曲線C的漸近線平行,且斜率不為0,

消去y并整理得

(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,Δ>0,

則點N的坐標為(-2,3)或(-2,-3),

因此,在雙曲線C上存在定點N,使得△MF1N的面積為定值．

證法二:設點D(x1,y1),E(x2,y2),M(x0,y0),

由題意知,直線l不與雙曲線C的漸近線平行,且斜率不為0,

消去y并整理得

(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,Δ>0,

則點N的坐標為(-2,3)或(-2,-3),

因此,在雙曲線C上存在定點N,使得△MF1N的面積為定值．

【高考風向】解答題設置結構不良試題,是新高考的?？碱}型,可以培養考生的開放性思維.此外,挖掘隱含條件(定點、定直線等)也是高考壓軸題的常設考點.

【全能解析負責教師:陳 威 大連市第八中學】

A.m

C.n

【答案】A

【考點】利用導數研究函數的單調性

【全能解析負責教師:韋敏妍 廣西河池市民族高級中學】