多元表征體驗 建構空間觀念

吳秋菊（福建省上杭縣實驗小學）

幾何直觀和空間觀念培育對于培養孩子空間想象力，提升學生空間思維品質極為重要。那么，“雙減”背景下的“高效課堂”怎樣建構孩童的空間觀念呢？筆者通過執教人教版義務教育教科書·數學六年級下冊第三單元《圓柱的認識》一課為例來闡明具體做法。

一、眼上觀體，體實而不虛

人類認識事物的第一步通常是眼觀，如果觀感豐滿，影像則清晰。良好的開端是成功的一半。《圓柱的認識》作為《圓柱和圓錐》這一單元的起始課，對整個單元乃至整個空間觀念的建構意義重大。鑒于此，課前布置學生充分收集有關圓柱的實物和自制有關圓柱的學具。課始，學生拿出課前自制的五顏六色、各式各樣的學具。接著讓學生高舉自以為是的圓柱體，并說說怎樣的圖形是圓柱？初步讓學生從眾多形態各異的“體”的對比中認識“圓柱”的外部印象。接著讓學生晾曬課前收集的圓柱形實物。教室好像召開圓柱體博覽會。燈籠、硬幣、空心鋼管、茶葉罐……讓學生置身于圓柱形體的世界。最后，伴隨著經典音樂，欣賞著生活中的圓柱形物體，師生仿佛來了一場說走就走的旅行。隨著小導游的介紹，一會兒來到福建永定土樓，一會兒來到北京天壇……真切感知這些圓柱正放、倒放、斜放的“姿態”，并且從中深切體會到：無關圓柱體橫、豎、斜怎么擺放，也無關它們的大小、胖瘦，像這樣的形體就叫作圓柱體。

如此一轉、一舉、一賞、一游，學生始終在觀察中真實感知圓柱體的“體形”，對圓柱體的初始印象豐富而又具體，而這恰與數學家阿蒂亞認為的“幾何是真實視覺思維占主導地位”相吻合。

二、手上觸體，體真而不假

眾所周知，口說千遍不如動手一遍。“動手又動腦，才能有創造”。現實情境和活動經驗是發展空間觀念的基礎。空間觀念的建立必須與活動緊緊相連，僅僅靠眼觀還遠遠不夠。為了進一步真切認識圓柱，還需要讓學生帶著問題，親歷一系列觸體的動作，幫助他們感知真實、有形的圓柱：

首先，認識圓柱的面。面有哪些特征？讓學生邊閉眼邊觸摸邊描述。孩子們的感受是真實的：從上往下摸，圓柱是直直的，全身一樣大，圓柱有兩個圓形的底面和一個側面，摸圓柱的側面時手指在做彎曲運動，感知圓柱的側面是一個曲面。圓柱的兩個底面大小怎樣？你有什么辦法驗證？孩子們可謂八仙過海各顯神通。有的同學找來茶葉罐，把蓋取下來直接進行重疊比較；有的同學將圓柱體的兩個底面在橡皮泥上印一印，發現印痕完全吻合；有的同學利用同圓中直徑最長的道理從而推測兩個圓大小完全相等；還有的同學根據圓面積公式算一算發現它們的面積相等……雖然孩子們的探究方法各異，但結果卻相同：圓柱的兩個底面無論大小和形狀都完全相同。

接著，探究高在哪兒？讓學生動手指認，圓柱上下兩個底面圓心之間的距離叫作圓柱的高。圓柱的高又有哪些特征？讓學生用事先準備的竹簽和圓柱形蘿卜做實驗：將竹簽垂直插入圓柱形蘿卜，再抽出來量一量、比一比后發現：高有無數條，而且長度都相等。為了拓寬對高的認識，讓學生雙手比畫不同圓柱形體的高，感受不同圓柱形物體的高度。如，鉛筆的長度、硬幣的厚度、井的深度以及圓柱形水管里水流的速度等，知道它們雖然說法不同，但本質上都相當于圓柱的“高”。

然后，探究圓柱的側面展開圖有哪些特點？放手讓學生親自動手剪一剪：有的同學沿髙剪，發現圓柱側面展開圖呈現長方形（含正方形）；有的同學沿著圓柱側面上下任意兩點的連線斜著剪，發現圓柱側面展開圖呈現平行四邊形；有的同學隨心所欲地剪發現圓柱側面展開圖呈現凹凸有致的不規則圖形……再把展開圖圍一圍后發現：不管豎豎地剪、斜斜地剪，還是不按規則地剪，最終均能圍回原來圓柱形模樣。學生就這樣在圓柱的側面的圍與展、展與圍中真切體驗到了平面與立體間的自如轉換，這也為學生順利發現圓柱的側面積計算公式埋下了伏筆。

最后，認識圓柱的其他特性。讓學生用手中的立體圖形滾一滾，經體驗后對比發現：圓柱容易滾動，而長方體、正方體和三棱柱等立體圖形不易滾動；再讓學生把長方形小旗快速旋轉后發現：旋轉速度越快，圓柱越清晰可見。即使同一面小旗，分別以長為軸、寬為半徑旋轉而成的圓柱體的大小也不同。為什么會不同呢？究竟有哪些不同呢？這些都有效地激發了學生強烈的探究欲望。正如日本修三博士所言：人的智慧是集中在手指尖上的。學生的空間感知在真切觸摸中一點一點地浸入、形成，由表及里，由淺入深，由模糊到清晰，由立體到平面再到立體，學生的空間思維在二維與三維之間自如轉換，這對培育孩童的空間觀念至關重要。

三、紙上畫體，體準而不糊

好玩和好動是小學生的天性。為了讓學生更深入地了解圓柱的形體特征，先讓孩子們觀看媒體演示：如何把一個個圓柱形實物剝離其高、矮，長、短，粗、細等非本質的元素而抽象出其本質圖形。然后，老師再示范徒手畫圓柱。最后，放手讓孩子們嘗試畫出大大小小的圓柱形，并在圓柱體上標注出圓柱的各部分名稱（如圖）。

學生經歷從有物到無物、有形到無形的認識—實踐—再認識的全過程，空間觀念由直觀感知發展到表象，認知視域不斷擴展，對圓柱的表象愈發清晰……接著，乘勝追擊：你能把圓柱的側面展開圖也嘗試畫出來嗎？學生因為有了前面的親自動手剪，很快就把不同剪法得到的圓柱側面展開圖畫出來了……再引導學生對比所畫的圖型進行觀察與思考：如果研究圓柱側面積的大小，你認為應該選擇哪種剪法更方便些？學生對此達成共識：沿“高”剪，圓柱側面展開圖是長方形。這又為學生自主發現“圓柱的側面積＝底面周長×高”奠定了堅實基礎。

最后，再把同一張長方形紙采用不同的圍法和旋轉時所觀察到的圓柱畫在紙上，竟然得到如此多的不同（如圖）。

經過這一圍，一轉、一畫，學生很容易發現：同一張長方形紙圍和旋轉得到的都是圓柱，但圓柱的底面周長以及半徑和高卻大不相同。這為后續發現圓柱的側面積和表面積計算公式，也為解決更復雜的立體圖形表面積和體積的實際問題奠定了基礎。

四、嘴上述體，體謹而不散

數學是思維的體操，語言是思維的外殼。“只有想得清才能說得清，說得清便想得清。”有了前面的眼看、手摸、筆畫，學生對圓柱已經有了一定的感性認識，非常有必要讓孩子們直抒胸臆，表達所見所感。無論是對圓柱的整體感官，直直的、通身一樣大，兩個底面摸上去平平的、側面光滑細膩，能滾很遠等真實質樸的語言；還是我們肉眼看一看，動手畫一畫、印一印、量一量、算一算、比一比，或簡單推理發現圓柱兩個底面是大小、形狀完全相同的圓，側面是一個曲面。亦或是用同樣大小的一張長方形紙圍成圓柱，有幾種不同的圍法呢？它們有哪些異同呢？同樣一張長方形紙旋轉，分別以長為高，寬為半徑旋轉得到的兩個不同的圓柱體又有怎樣的聯系和區別呢？……

至此，學生通過嚴謹、精準地自我描述，他們對圓柱的認知愈清晰、飽滿、有形。圓柱的表象已然深深植入腦海中，為抽象空間觀念的建立注入了強大的推進劑。

五、腦中想體，體立而不倒

眾所周知，對所有事物認識得深刻與否，最終都會反映在腦部世界里。教學中緊緊根據人類認知規律從感知到表象到抽象到應用的全過程，讓學生經歷肉眼觀體，動手觸體充分感知圓柱的特征；動手畫體，形成清晰的表象；配以語言精準描述圓柱的特征后，要求學生動腦想象：把你看到的圓柱請到腦海里，閉眼后你還能看見圓柱嗎？能想起圓柱的模樣嗎？圓柱的所有特征在腦中的影像有沒有越來越清晰呢？……借用課件、畫外音、微課等形式輔助學生邊閉眼邊想象邊操作，這樣學生的認知由點到面，由面到體，再由體到面、由面到點，點面體融合，互通轉化；由淺入深，由模糊到清晰，進而全面、精準地把圓柱的本質特征深深地印在腦海里，圓柱形體入腦入心，其形其體便立而不倒。

六、練中用體，體活而不死

學習的最終目的是更好地服務于我們人類。為了及時查缺補漏，檢驗教與學的成效，同時，更是為了學生靈活應用、學以致用，夯實基礎、發展能力，提升核心素養。我設計了一道“一拖幾”的綜合訓練題：

找一找：請學生找一個生活中常見且喜歡的圓柱形物體。可以找廚房常用的稀釋瓶，自己天天喝水的水杯，老師辦公用的筆筒，弟弟妹妹吃的奶粉罐等圓柱形物體。

估一估：請選一個你喜歡的圓柱形物體。例如筆筒，估一估它的底面直徑和高分別大約是多少cm？

量一量：測量驗證筆筒，它的底面直徑和高分別大約是多少cm？

做一做：嘗試做一個底面直徑8cm，高10cm 的圓柱形筆筒。

想一想：閉眼想象，大腦皮層對底面直徑8cm，高10cm 的圓柱形筆筒進行掃描刻錄，抽取其最本質的核心元素：底面直徑8cm，高10cm。

聯一聯：類比聯想推理：除了筆筒之外，底面直徑8cm 和高10cm 這兩個核心元素的圓柱形物體，我們生活中類似的物體還有哪些呢？

算一算：底面直徑8cm，高10cm 的圓柱體的側面積、表面積、體積……

經過有物到無物，無物到有物，再到無物化操作和想象，學生的空間觀念自然而然得以逐步建構；經過有形到無形，無形到有形再到無形，形神兼備，循序漸進，學生對形體的認知也越來越精準。久久為功，從而達到觀察、想象和操作三位一體，思維發展在同一水平線上。正如王昱珩所言：只要他看過，他的腦中即可成像，他的雙手便能做出。沒有他看過之后做不出來的東西，除非他的雙手動不了了。試想：如果我們的課堂從小培養我們的孩童多加觀察、想象和操作，相信我們一定能培養出更多具備豐富洞察力、想象力和操作實踐能力的高素質人才。