基于文化回應的數(shù)學公式教學

程孝麗 張維忠

摘 要：基于文化回應的數(shù)學公式教學，應該設計文化關聯(lián)的教學情境，組織文化適切的課堂活動，引導學生完整經歷“歸納—猜想—證明—運用”的過程，讓學生在理解與掌握數(shù)學公式本身的同時，感受數(shù)學公式背后的文化意蘊。基于此，設計與實施《平方差公式》一課，主要包括三個環(huán)節(jié)：設置文化關聯(lián)的情境背景，初步感受數(shù)學公式與生活實際的緊密聯(lián)系；開展文化適切的合作探究，體驗數(shù)學公式的推導與證明；指向文化體驗的公式應用，生成對數(shù)學公式的文化性理解。

關鍵詞：初中數(shù)學；文化回應；數(shù)學公式教學；平方差公式

本文系浙江省教育科學規(guī)劃2023年度課題“新生代鄉(xiāng)村教師文化回應教學能力結構模型及培養(yǎng)研究”（編號：2023SCG373）的階段性研究成果。】

長期以來，數(shù)學公式教學普遍以“解題訓練”為主，讓學生記憶冰冷的公式、進行機械的模仿，忽視知識背后的“來龍去脈”。這不僅難以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，也容易造成學生陷入食而不化的學習困境。基于文化回應的數(shù)學公式教學，應該設計文化關聯(lián)的教學情境，組織文化適切的課堂活動，引導學生完整經歷“歸納—猜想—證明—運用”的過程，讓學生在理解與掌握數(shù)學公式本身的同時，感受數(shù)學公式背后的文化意蘊。這對于改善當下的數(shù)學公式教學，促進學生的深度學習，具有重要意義。［1］本文展示一節(jié)基于文化回應的數(shù)學公式課的教學與思考。

一、 教學思路

“平方差公式”是浙教版初中數(shù)學七年級下冊第3章《整式的乘除》第4節(jié)《乘法公式》第1課時的內容。“整式的乘除”是進一步學習因式分解、分式及其運算等代數(shù)知識的重要基礎，且較為廣泛地運用于實際生活和生產中。“平方差公式”作為“乘法公式”的起始內容，其“歸納—猜想—證明—運用”等學習思路與方法為“完全平方公式”“勾股定理”的學習奠定了方法論基礎。基于此，根據(jù)“文化回應數(shù)學教學”理念，《平方差公式》一課的教學思路如下：在情境導入、引出課題階段，以亞運會期間招待客人的本地特產——金華酥餅的包裝計重問題為背景，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學能夠給生活創(chuàng)造便利；在溫故知新、獲得公式階段，充分運用學生的已有知識與文化背景，從引入的“數(shù)”到一般化的“式”，以多項式乘法為基礎創(chuàng)設問題，引導學生經歷從特殊到一般的歸納過程，得出并理解平方差公式，然后引導學生用自己的語言抽象概括公式的結構特點并補充、修正，進而揭示平方差公式的本質；在拼圖驗證、表征公式階段，通過幾何方法的證明，自然而然地引出中國古代的“出入相補原理”，組織學生采用小組合作、動手操作等形式加以驗證，從幾何的角度說明平方差公式的推導；在學以致用、深化理解階段，結合平方差公式在數(shù)學中的簡單運用、變式運用和在生產、生活中的實際運用設計教學任務，讓學生進一步感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。

二、 教學設計與實施

下面重點對本節(jié)課核心教學環(huán)節(jié)的設計與實施進行說明。

環(huán)節(jié)1：設置文化關聯(lián)的情境背景，初步感受數(shù)學公式與生活實際的緊密聯(lián)系。

任務1：出示圖1、圖2。浙江金華是2023年杭州亞運會的分會場，作為東道主，你能給客人介紹一下我們金華的特產之一——金華酥餅嗎？

任務2：熱情的金華人民打算用酥餅招待遠道而來的客人。某酥餅店計劃制作一批禮盒裝。每盒有18個獨立包裝的小酥餅，每個小酥餅大約22克。請問：每個禮盒凈重大概多少克？

該環(huán)節(jié)的設置旨在通過生活中的數(shù)學巧算問題引出新課。緊跟“金華是2023年杭州亞運會的分會場，金華人民選取家喻戶曉的特產‘金華酥餅作為東道主的招待美食之一”這一時事，設置貼近學生生活的情境任務，拉近學生與數(shù)學之間的距離，讓學生體會到數(shù)學能夠帶來生活便利，同時增強學生對家鄉(xiāng)的自豪感。教學中，通過“速算王”的“絕招”，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，自然地引出新課。

環(huán)節(jié)2：開展文化適切的合作探究，體驗數(shù)學公式的推導與證明。

1. 發(fā)現(xiàn)公式，揭示本質

任務3：（1） 現(xiàn)有兩個不知道大小的數(shù)，請你隨意用兩個字母表示這兩個數(shù)；（2） 請把這兩個數(shù)的和與差分別用字母表示；（3） 請將所得的和與差相乘并化簡。

學生獨立完成，教師巡視指導，然后請三名用不同字母表示和計算的學生上臺板演。結果如下：（1） （ｍ+ｎ）（m-n）=m2-mn+mn-n2=m2-ｎ2;（2） （x+y）（x-y）=x2-xy+xy-y2=x2-y2;（3） （p+q）（p-q）=p2-pq+pq-q2=p2-q2。

追問：觀察三位同學的運算結果，有什么相同之處？請你概括出這三個式子的共同結構特征。

引導學生抽象概括出“兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差”。

任務4：（出示圖3）觀察、思考平方差公式的結構特征，用自己的語言描述。

師生合作，共同揭示公式的結構特征。

追問：下列變形的平方差公式正確嗎？說明理由。（1） （-a+b）（-a-b）=a2-b2；（2） （a-b）（-a-b）=b2-a2。

師生再次總結公式的結構特征和字母a、b的代表性。

該環(huán)節(jié)的設置旨在引導學生歸納出平方差公式，揭示該公式的本質特征。從課前引入的特殊的“數(shù)”到任務3中學生選取的不同的字母，符合初中生由數(shù)到式的認知特點；根據(jù)三位學生給出的式子，再次由特殊到一般，抽象概括出平方差公式。從文化回應的角度來看，任務3使用學生的知識架構與先前經驗，使得數(shù)學教學與學生的文化背景、已有經驗建立起有意義的聯(lián)系，為后面的學習創(chuàng)造更深層次的環(huán)境。任務4中，學生的“土味”數(shù)學闡述表明不同文化背景的學生對公式特征的歸納存在一定的差異。教師在認可學生正確的描述后加以完善，用規(guī)范的文字語言和幾何語言高度概括，突破公式字母意義的局限，建立起有效的“條件反射”，而不是機械記憶。注重不同文化背景的學生數(shù)學語言的發(fā)展，也是“文化回應數(shù)學教學”的內在要求。教師應該積極回應學生的對話：一方面給予肯定與鼓勵，一方面及時修正與補充。

2. 幾何驗證，表征公式

任務5：在邊長a米的大正方形紙板的一角挖掉一個邊長為b米的小正方形（如圖4），經裁剪后拼成了一個大長方形（如圖5），問：（1） 你能分別表示出裁剪前后的紙板面積嗎？（2） 你能得到一個怎樣的結論？

學生通過圖形的剪拼驗證平方差公式之后，教師介紹中國古代的“出入相補原理”，讓學生初步體驗運用該原理處理面積問題的方法。

追問：若對圖4所示的紙板只剪一刀，除了裁剪成圖5所示的圖形，是否還可以裁剪成其他圖形來計算面積呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？請以小組為單位，動手操作完成。

學生小組合作完成之后，教師指名學生上臺展示，得到能拼出的圖形有矩形、梯形和平行四邊形（分別如圖6—下頁圖8所示），每個拼圖都滿足平方差公式。

該環(huán)節(jié)的設置旨在從幾何的角度驗證平方差公式，讓學生對該公式有全面、深入的理解。學生初次通過拼圖活動來驗證等式，缺乏相關的活動經驗。因此，教師通過問題引導學生，讓學生對“割補法”有直觀的感受，進而引入中國古代的“出入相補原理”，讓學生感知該方法的由來，感受中國古代數(shù)學的魅力。以此為“腳手架”，讓學生小組合作探究，以期達到發(fā)展學生思維，開闊學生思路的教學效果。教學中，學生探索的過程充分展示了學生自主建構新知的過程，深刻體驗了出入相補原理。其中滲透的面積割、補、拼等重要的思想方法以及數(shù)形結合和轉化的思想方法，也為接下來的學習奠定了基礎。

概而言之，以“用自己的語言表達平方差公式的特征”“小組合作、上臺展示幾何方法驗證平方差公式”等活動形式，為不同文化背景的學生提供了充分的參與和交流的機會；通過師生合作、組內合作，讓學生自然而然地掌握了本節(jié)課的重點，突破了本節(jié)課的難點。

環(huán)節(jié)3：指向文化體驗的公式應用，生成對數(shù)學公式的文化性理解。

任務6：出示金華體育館外觀照片。作為賽事場館之一的金華體育館為迎接亞運會的到來，對原來邊長為a m的正方形花壇進行改建，使其縱向縮小2 m，橫向擴大2 m，成為長方形花壇（如圖9），問：改建后花壇的面積有沒有變化？如果有變化，變化多少？

任務7：回顧任務2，分析能夠快速運算的技巧與方法。

任務8：已知兩個正數(shù)的和為20，積為96，求這兩個數(shù)。

能回答出來的學生基本上采用試根法湊答案。教師在認可“湊”的基礎上介紹丟番圖所采用的“和差術”。

追問：“和差術”設元的依據(jù)是什么？

該環(huán)節(jié)的設置旨在以舉一反三的方式考查學生對平方差公式的靈活運用。三個任務環(huán)環(huán)相扣。任務6和任務7基于任務1和任務2的亞運會情境，考查平方差公式在生產、生活中的實際運用。其中，任務7是對任務2的呼應，在新知學習后再解決學習前的問題，能夠加深學生對平方差公式的印象，也能讓學生意識到數(shù)學公式的運用給生產、生活帶來的便利。任務8的設計基于任務7——均是數(shù)字計算中平方差公式的運用。特別地，在此引出丟番圖的“和差術”：假設所求兩數(shù)分別是10+x和10-x，則（10+x）（10-x）=96，由平方差公式得100-x2=96，x2=4，x=2，故所求兩數(shù)分別是12和8。讓學生重溫古人運用平方差公式解決問題的方法，體會數(shù)學文化的多元性，讓學生的數(shù)學學習成為一場文化體驗之旅，引導學生體會數(shù)學公式背后蘊含的文化意蘊，實現(xiàn)對數(shù)學公式的文化性理解。［2］

三、 教學反思

（一） 設計文化關聯(lián)的教學內容，關注文化的多樣性

“文化回應數(shù)學教學”主張在文化、學生與數(shù)學之間尋找聯(lián)結，讓學生在自身文化基礎上參與數(shù)學學習，感受數(shù)學的多元文化樣態(tài)，使學生的數(shù)學學習真正發(fā)生。因此，基于文化回應的數(shù)學公式教學，需要設計文化關聯(lián)的教學內容，關注文化的多樣性。

一方面，重視與學生所處真實日常生活情境的關聯(lián)。《平方差公式》一課，任務1、任務2和任務6的素材，都是學生熟悉且引以為傲的金華特產或標志性建筑。從貼近現(xiàn)實生活的情境入手，能拉近數(shù)學與生活、數(shù)學與學生之間的距離，改變數(shù)學在學生心目中“冰冷”“乏味”“無用”的印象，有效調動學生學習數(shù)學的積極性。生活中，“樸素的數(shù)學”“街頭數(shù)學”比比皆是。相關的問題都可以讓學生在數(shù)學與生活之間建立有力的聯(lián)系。只有把學生對數(shù)學的理解植根于學生的文化實踐中，才能真正讓學生感受數(shù)學文化的魅力，成為生活中問題解決的貢獻者。

另一方面，重視與數(shù)學史的融合。數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分，若能有效地將數(shù)學史融入數(shù)學教學，則不僅能增加教學的趣味性，激發(fā)學生學習的積極性，而且能幫助學生對數(shù)學有更廣、更深的認識與理解。《平方差公式》一課，任務5引入的“出入相補原理”為學生從幾何角度驗證平方差公式提供了思考的方向與路徑。在動手操作的過程中，學生重走古人之路，體驗平方差公式的幾何論證。其中滲透的數(shù)形結合與轉化的思想方法，對接下來的學習起著引領作用，產生觸類旁通的效果。任務8引入的“和差術”讓學生深刻體會到古人的智慧，理解西方文化熏陶下數(shù)學家的思維方式：盡管古人沒有用簡潔的字母表達公式，但這并不影響他們對平方差公式結構與算理上的認識。這拓寬了學生的數(shù)學視野，豐富與完善了學生對平方差公式的理解。

（二） 創(chuàng)設權力共享的課堂模式，關注文化的再建構

“文化回應數(shù)學教學”更加關注學生的課堂參與和認知發(fā)展，提倡為不同文化背景的學生提供公平而有質量的學習機會，通過教師與學生、學生與學生、學生與教材的交流與回應，幫助學生建構屬于自身文化的意義空間，以實現(xiàn)對數(shù)學的深度理解。

因此，基于文化回應的數(shù)學公式教學，要秉持以學生為主體的理念設計各個環(huán)節(jié)，讓學生有充分、公平的課堂參與機會。《平方差公式》一課，8個任務在兩個班的教學實踐中分別用了32分鐘和34分鐘，特別是任務4和任務5，兩個班差不多都用了10分鐘，目的是讓每一位學生都有較為充分的時間與教材、教師、同伴對話，開展數(shù)學交流，從而將本節(jié)課的重難點“平方差公式的探索與產生過程”“平方差公式的結構特征”等數(shù)學知識，轉化為與學生自身文化相關的個體知識。

此外，在學生參與的過程中，教師還要積極回應學生的表達。一方面，肯定學生正確的回答，讓學生獲得成就感，建立學習數(shù)學的自信心；另一方面，關注學生在回答中暴露出來的問題，給予針對性的修正與補充。《平方差公式》一課，完成任務4的過程中，學生用自己的語言歸納平方差公式的結構特征時，會存在表達只有自己明白或描述不完整等情況。這表明，學生理解與掌握數(shù)學語言面臨困難。這時，教師用規(guī)范的文字語言和幾何語言做高度概括，讓學生通過與自己表述的融合再建構，實現(xiàn)對平方差公式的結構特征的深入理解。

參考文獻：

［1］ 孫道斌.例談數(shù)學公式課的教學［J］.山東教育，2013（21/22）：62-64.

［2］ 張維忠.數(shù)學教育中的數(shù)學文化［M］.上海：上海教育出版社，2011：218.