數學課堂中“鏈＋”設例的實踐與思考

摘 要：“鏈+”設例是指設置問題情境關聯、思路探索延續、解答過程兼容、難度差異明顯的分層例題?！版?”設例在數學課堂中應用的一般步驟包括：確定例題教學的分層知識鏈，根據教學內容選擇母題，基于母題“鏈+”設例，運用“設例”展開教學。“鏈+”設例需要注意：不可偏離課時核心知識，應該強調例題的內在關聯，應該重視教學過程的設計。

關鍵詞：初中數學；例題設計；解題教學；“鏈+”設例；圓周角

本文系江蘇省中小學教學研究第十四期立項課題“初中數學‘鏈+課堂的實踐研究”（編號：2021JY14-L398）、江蘇省教育家型教師創新培養計劃項目“‘雙減背景下初中數學教學提質增效的實踐研究”的階段性研究成果。

數學課堂中，分層設計例題為學生拾級而上地學習和為不同能級的學生追求個性化發展提供了可能。關于分層設例及其教學應用，筆者曾多次撰文介紹。［1-3］本文在已有研究成果的基礎上，介紹一種有效的分層設例策略——“鏈+”設例，供大家參考。

一、 “鏈+”設例的含義

“鏈+”是筆者提出的概念，用來表示這樣一種教學理念（主張）：基于內容關聯，從一個基本點出發進行延伸與變化，從而構建結構化、序列性的教學資源（學習材料）。［4］“鏈+”設例是指設置問題情境關聯、思路探索延續、解答過程兼容、難度差異明顯的分層例題。“鏈+”設例是分層設例的一種，呈現的也是分層例題。但是，相較于只關注難度差異的分層設例，“鏈+”設例更加注重例題之間的內在關聯，注重情境的統一、思維的延續、過程的兼容等。筆者主要從知識點的個數、情境“包裝”的復雜程度、思考“破解”的角度以及認知能力的要求等方面形成例題的層級差異。

例如，筆者為人教版初中數學九年級上冊“21.2.1 配方法”第2課時設計的三道用配方法解一元二次方程的例題如下：（A） x2-4x＝7；（B） x2-4x-7＝0；（C） 12x2＝2x+72。這三道例題的求解過程大致可用圖1所示的流程圖表示。

這三道例題的主要特征如下：

問題情境關聯。三道例題均直接以方程的形式呈現，外形上略有差異：A級例題是可以直接配方的一元二次方程；B級例題是一元二次方程的一般形式，是將A級例題的常數項移到方程的左邊得到的；C級例題是將B級例題的一次項移和常數項都移到方程的右邊，同時兩邊除以2得到的。顯然，一旦理清了這些方程外形上的異同，其情境上的關聯便一目了然了：目標為解方程時，都可通過適當變形統一為A級例題的形式。

思路探索延續。運用配方法解這三個方程，其核心步驟都是“配方→‘定型→求解→檢驗”。無論選擇解答哪道例題，學生都會按照這樣的思路進行探索。其中，解答B級例題需要在上述核心步驟上“鏈+”移項，而解答C級例題則需要進一步“鏈+”整理（化二次項系數為1）。學生沿著A級例題的解題思路逐步展開探索，將會通過“鏈+”最終可以解答C級例題。

解答過程兼容。A級例題的求解過程是后面兩道例題求解過程的一部分；B級例題的求解過程囊括了A級例題的求解過程，同時又是C級例題求解過程的一部分……

難度差異明顯。三道例題中，A級例題最容易；B級例題的解答需要“跳一跳”，方可“摘到桃”；C級例題的難度最大，需要“站在板凳上”再“跳一跳”，才能“摘到桃”。B級、C級例題的難度主要體現在向A級例題的轉化上。

教學時，筆者鼓勵學生挑選能力所及的例題解答與交流，能選C級例題的不選A級、B級例題，希冀以此達成兩方面的目標：一是引導學生確認能力，培養數學學習的信心；二是激發學生的探索欲望，形成能力上的突破，獲得最大化的發展。

二、 “鏈+”設例在數學課堂中的應用

下面以人教版初中數學九年級上冊“24.1.4 圓周角”第1課時為例，談談“鏈+”設例在數學課堂中應用的一般步驟。

（一） 確定例題教學的分層知識鏈

我們應該基于課標、教材和學情來確定例題教學的分層知識鏈，確?！版?”設例的“正方向”。根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》給出的與圓周角相關的內容要求，“24.1.4 圓周角”第1課時的核心知識主要有“同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等”，“直徑所對的圓周角是直角”等。筆者對上述核心知識做了適度“鏈+”，形成例題教學的分層知識鏈，具體見表1。

（二） 根據教學內容選擇母題

所謂“母題”，是指包含學生所要鞏固的學習內容、具有可塑性的題目。母題是“鏈+”設例的起點，一道好的母題可以改編形成多道難度不一的題目。母題可以是教材中的例題、練習，也可以是中考題或段考題，還可以是原創題。選擇母題既要考慮與學生所學內容相關，還要考慮題目的可變性。

為了幫助學生鞏固核心知識，筆者選擇教材中的例4作為母題進行“鏈+”設計。為了便于下面的陳述，這里先呈現該題并做簡要分析。

如圖2，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC、AD、BD的長。

解答本題需要用到圓周角定理的推論、勾股定理、等腰直角三角形等知識。由于題中給出了很多條件，可以生成許多結論。比如，由AB是直徑，可以推出∠ACB＝∠ADB＝90°，在得到Rt△ACB和Rt△ADB的同時，還可進一步得到∠CAD+∠CBD＝180°，這實際上就是后面要學習的“圓的內接四邊形的對角互補”；由∠ACB的平分線交⊙O于點D，可以得到∠ACD＝∠BCD，進一步發現這兩個角都是45°，再結合“同弧或等弧所對的圓周角相等”，可以得出∠ABD＝∠BAD＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝BD，AD＝BD，即△ADB是等腰直角三角形；如果再用上題中的線段長，就可以求出圖中所有線段的長。

（三） 基于母題“鏈+”設例

1. 降低解題要求，形成A級例題

“鏈+”設例，要保證課時核心知識全覆蓋。就算是難度最低的A級例題，也不能出現課時核心知識的疏漏。在保證上述要求的情況下，可以通過降低解題要求的方式來實現母題難度的降級，形成A級例題。

在對上述母題進行“鏈+”設計時，為了保證覆蓋“直徑所對的圓周角是直角”這一核心知識，筆者將題中的“求BC、AD、BD的長”變為“求BC的長”；為了避免原題中核心知識的遺漏和“條件無用”，筆者增加了“求∠ABD的度數”。如此編排，通過兩個難度不大的求解目標形成A級例題，讓那些學習能力不強、基礎薄弱的學生能夠順利解答并展開交流。

2. 減少中間臺階，形成B級例題

B級例題難度中等。如果母題難度中等的話，可把母題直接作為B級例題。除了考慮難度之外，B級例題的確定還要考慮其是否為A級例題的進一步發展，其求解過程能否兼容A級例題的求解過程。

上述母題中，求BC的長難度不大，求AD的長與求BD的長方法一樣，基礎都是得到△ADB是等腰直角三角形（相當于A級例題中求得∠ABD＝45°）。因此，在設計B級例題時，筆者抽掉“求BC、AD的長”，將解題目標確定為“求BD的長”。其解答過程與上述母題相同，不僅涵蓋了A級例題的求解過程，而且比上述母題提升了不少難度。

3. 重設解題目標，設計C級例題

為了保證對A、B、C三級例題的解答，學生在小組、班級交流時有共同的話題，在確保知識點全覆蓋的情況下，“鏈+”設例還要盡可能做到為三級例題的交流創設共同的語境，在情境和問題兩者中保持一個穩定。比如，可創設一致的情境，即不改動題干，通過重設解題目標，來形成難度最大的C級例題。一般情況下，C級例題可以由B級例題解題目標進一步發展得到。

根據上述母題設計C級例題時，筆者保持題干不變，將解題目標定為：求CD的長。此題頗有難度：容易發現，要求的CD在三角形△ACD和△BCD中，△ACD和△BCD中除了CD之外的邊和角（或其某個三角函數）都是已知（可求）的，但是學生缺少三角函數和解三角形的知識（沒有學過三角恒等變換和正弦定理、余弦定理），在這兩個三角形中解不出CD的長。因此，需要構造新的以CD為一條邊的三角形，具體可以由△ADB是等腰直角三角形，想到AD和BD之間的旋轉變換關系，考慮將△ACD繞點D順時針旋轉90°（或將△BCD繞點D逆時針旋轉90°），到四邊形ADBC外面。也就是，作DE⊥CD，交CB的延長線于E（或作DF⊥CD，交CA的延長線于F），如圖3。由此易得∠CAD+∠CBD＝∠CBD+∠DBE＝180°，所以∠DBE＝∠CAD；又∠BDE＝∠ADC，BD＝AD，可得△BDE≌△ADC，則BE＝AC＝6，DE=CD；在Rt△ACB中用勾股定理求出BC＝8后，就可以在等腰直角三角形CDE中用勾股定理求出CD=72了。顯然，這里求CD的過程把A、B兩級例題的求解過程都囊括進來了。

（四） 運用設例展開教學

課堂教學中，教師出示“鏈+”例題后，一般要帶領學生經歷自主探索、小組交流、全班交流的過程。在這個過程中，“鏈+”例題能讓學生的學習活動自然分層（適合自己）、相互關聯（獲得發展），讓每一名學生都竭盡全力開動腦筋，使出渾身解數，努力向別人展示自己最便捷的探索過程和最完美的解題過程。

教學“24.1.4 圓周角”第1課時，學生學完圓周角定理及其推論之后，筆者投影展示“鏈+”例題：“如圖2，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D。（A） 求BC的長和∠ABD的度數；（B） 求BD的長；（C） 求CD的長?！弊寣W生自主選擇能夠解答的最難例題，讀題標注，探索思路，并嘗試給出解題過程。學生自主審題，預估難度，選擇最適合自己的例題；再綜合運用所學知識，努力給出所選例題的求解過程。

8分鐘后，自主探索結束，筆者讓學生在小組中交流，分享自己探索思路的過程、解題的過程和結果以及關注的解題要點。三級例題的共性部分自然會出現在學生的對話中。

3分鐘后，小組交流結束，筆者組織全班交流。首先，一名解答A級例題的學生與大家交流了自己的求解過程。接著，一名解答B級例題的學生在上述過程的基礎上，就“如何求BD的長”與大家展開進一步交流，呈現求得BD＝52的詳細過程。在解答C級題的學生與大家交流時，筆者安排解答A級例題的學生和未能完成B級例題的學生繼續探索B級例題或自主訂正B級例題。通過師生互動交流，解答C級例題的學生很快發現，構造具有公共頂點的“手拉手”雙全等三角形（如圖3所示，△BDE≌△ADC，△ADF≌△BDC），是求得CD＝72的有效方法。筆者進一步追問：解決C級例題用到了哪些知識？是如何形成這一解題思路的？進而，把全等三角形中的基本圖形和新學的知識鏈接在一起，形成知識網絡。隨即，解答B級例題的學生和未能完成C級例題的學生繼續探索C級例題或自主訂正C級例題。在整個交流的過程中，學生的活動因為解答的情況出現了差異：有人在講，有人在聽；有人在再探索，有人在訂正。

4分鐘后，筆者再次帶領全班梳理解答本題用到的課時核心知識，進行全課小結。

三、 關于“鏈+”設例的幾點注意

（一） “鏈+”設例不可偏離課時核心知識

“鏈+”設例之所以能進入課堂，主要在于調動學生參與學習的積極性、提升學生獲得發展的可能性等方面。而這些歸根到底源自每節課的學習目標。學生在前面的學習中獲得了不少新的知識與技能，自然希望在應用中大展身手。所以，“鏈+”設例絕不可偏離課時目標，而應該圍繞課時核心知識定向“鏈+”。要特別留意的是，設計的A、B、C三級例題是否因為知識點的增刪，導致探索主題與課時目標產生偏差、教學重心發生偏移、在無關知識的應用上耗費太多的時間，而將課時核心知識弱化。上述案例中的A、B、C三級例題無論是解答還是交流，始終圍繞圓周角定理及其推論展開，這正是本節課的核心內容。A、B、C三級例題的自主探索和不同形式的交流，對學生理清本節課的核心知識是十分有利的。所以，無論是什么樣的課，無論是什么內容的教學，一旦目標確定，我們就應沿著目標指引的方向設計層級清晰的“鏈+”例題，以此帶領學生每課進步一點點。

（二）“ 鏈+”設例應該強調例題的內在關聯

一般情況下，“鏈+”設例呈現的三級例題在題干或問題上存在密切的聯系，而這些內在的聯系點恰恰是教學過程中探索與交流的主要話題。試想一下，如果“一題一世界”，一節課能不能容下三道例題的探索與交流真的很難說。所以，“鏈+”設例時，筆者常在題干或問題兩者中固定一個，變動另一個，使得例題在變化中有著不變，形成“同情境，異目標”或“異情境，同目標”的分級例題，為交流提供“同一方向”。本文所舉的例題屬于“同情境，異目標”類例題，題組在同一個題干下生長出多個不同層級的解題目標，而這些目標之間又有著明顯的包含關系，如C級例題解答過程包含B級例題解答過程，B級例題解答過程包含A級例題解答過程，如圖4。當然，有時也可以形成如圖5所示的設例關系。要注意的是，無論是哪一種形式的改編，其解答過程中的關聯點（圖4、圖5中的陰影部分）都將是課時教學的重點，也是交流對話要關注的重點。因此，我們應該留意，關聯點的設計是“鏈+”設例的核心所在。

（三） “鏈+”設例應該重視教學過程的設計

“鏈+”設例不僅要重視例題的設計，而且要重視例題教學過程的設計。要充分體現學生在教學活動中角色的準確定位?！坝行У慕虒W活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者?！保?］例題是用來解的，不是用來看的，更不是用來“炫富”（展示教師和優生的思路與過程）的。沒有學生自主經歷的例題解答與交流歷程是虛假無效的。這也不是我們所追求的“人人平等”的公平教學。“鏈+”設例所追求的是既讓學生體會到解題不語的“痛苦”，又讓學生享受到順利得解的愉悅。自主解答需要解題不語，而交流分享需要過程體驗。只有在豐富的過程歷練后，學生才能發表自己的見解，分享自己的經驗和教訓。教材例題一般只有一個層次的題目，根據課時安排即可。而“鏈+”設例所呈現的是三級例題，在不同的教學時點上，給學生的難度估判是不一樣的。放在今天做恰到好處的題組，放到明天說不定連C級例題都不難了。所以在“鏈+”設例中，應該同時考慮到“學生什么時候解答”“什么時候，在什么范圍內交流”“交流什么”“怎樣交流”“教師在學生解答與交流的過程中起到什么作用”“如何發揮這些作用”等問題，摒棄例題解答和交流的“三替代”（教師替代、優生替代、軟件替代），努力創設讓每一名學生都真正解起來、說起來、動起來的教學過程，讓人人能參與且有收獲。

總之，“鏈+”設例基于分層的知識鏈，以分層例題為抓手，用分層解答與分享交流推動學生分層發展，在幫助學生獲取“四基”、發展“四能”的同時，助力學生形成正確的情感態度和價值觀，獲得核心素養的發展。設計幾道例題不難，但要像本文所示的“鏈+”設例那樣，使呈現的例題有著緊密的內在聯系，從外形到內核、從探索到交流都有邏輯關聯，那就著實不易了。為此，作為有效的嘗試，“鏈+”設例一直在路上。筆者一直孜孜以求，期待各位同行專家的指點。

參考文獻：

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