底輥輕量化實用設(shè)計中減重孔臨界開孔率的研究及其應(yīng)用

毛思諾　林松　江競宇　房殿君

摘要：根據(jù)輥切設(shè)備的運動特性，提取了底輥的軸向轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)子質(zhì)量作為輕量化評價指標。針對拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)的不可加工問題，使用B樣條曲線和多段弧線依次對原拓撲結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)圓整處理，降低原輕量化結(jié)構(gòu)的加工難度。針對需要深孔加工的棒狀、柱狀零件提出轉(zhuǎn)子類結(jié)構(gòu)的開孔率表征參數(shù)。通過對不同孔數(shù)、孔徑、孔位置的轉(zhuǎn)子開孔與其應(yīng)力分布關(guān)系的研究，給出慣性載荷下轉(zhuǎn)子開孔率與應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系式。通過粒子群優(yōu)化算法對基于單級減重孔的輕量化方案進行迭代優(yōu)化。結(jié)果表明：樣條擬合方案減重率34.68%，性能提升率19.85%；分段曲線擬合方案減重率34.18%，性能提升率19.27%；組合孔方案減重率28.21%，性能提升率15.45%；基于目標優(yōu)化的單級孔方案減重率29.28%，性能提升率16.02%。

關(guān)鍵詞：輕量化結(jié)構(gòu)；拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計；模型后處理；應(yīng)力集中

中圖分類號：TH114 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.001

文章編號：1006-0316 （2023） 05-0001-08

Research and Application on Critical Opening Rate of Weight Reduction Holes in the Lightweight and Practical Design of Bottom Roll

MAO Sinuo1，LIN Song1，JIANG Jingyu1，F(xiàn)ANG Dianjun1，2

（ 1.School of Mechanical Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China;

2.Qingdao Sino-German Institute of Intelligent Technologies， Qingdao， 266000， China ）

Abstract：Based on the motion characteristics of the roll cutting equipment， the rotational inertia and mass of the bottom roll are extracted as the lightweight evaluation indicators. For the non-machinability? problem of the topology-optimized structure， structural rounding is performed on the original topology structure using B-sample curves and multi-segment arcs sequentially to reduce the machining difficulty of the original lightweight structure. The characterization parameters of the opening rate of the rotor-like structure are proposed for the bar and column parts that require deep hole processing. By studying the relationship between rotor opening and its stress distribution for different number of holes， hole diameters and hole locations， the relationship between rotor opening rate and stress concentration coefficient under inertial load is developed. The iterative optimization of the lightweight scheme based on single-stage weight-reducing holes is carried out by particle swarm optimization algorithm. The results show that the weight reduction rate of the spline fitting scheme is 34.68% with 19.85% performance improvement; the weight reduction rate of the segmented curve fitting scheme is 34.18% with 19.27% performance improvement; the weight reduction rate of the combined bore scheme is 28.21% with 15.45% performance improvement; the weight reduction rate of the single-stage bore scheme based on objective optimization is 29.28% with 16.02% performance improvement.

Key words：lightweight structure；topology design；model post-processing；stress concentration

輥切作為一種簡單可靠的成型工藝，在紡織領(lǐng)域被廣泛使用。在成型設(shè)備中，底輥的質(zhì)量隨其直徑的增長急劇增大，生產(chǎn)線往往需要使用大功率電機才能正常運轉(zhuǎn)。過大的底輥質(zhì)量還會嚴重影響設(shè)備的啟動和急停等過程的關(guān)鍵動力學(xué)性能，因此底輥的輕量化及其設(shè)計方法在工業(yè)界有著廣泛的需求。本文從輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度出發(fā)，實現(xiàn)底輥的輕量化。

輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計一般有拓撲優(yōu)化法、多目標優(yōu)化法、參數(shù)優(yōu)化設(shè)計法、經(jīng)驗法等，其中拓撲優(yōu)化法和經(jīng)驗法最為常用[1]。

工業(yè)界已經(jīng)嘗試將拓撲優(yōu)化實際應(yīng)用在工業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計和制造流程中[2]，但是拓撲優(yōu)化的原始結(jié)構(gòu)往往包含許多尖銳、破碎且不連續(xù)的表面，難以應(yīng)用于實際加工生產(chǎn)中，因此實際工程中結(jié)構(gòu)輕量化多采用減重孔方案。

減重孔的數(shù)量、位置以及孔徑對輕量化效果和結(jié)構(gòu)強度都有一定影響。目前沒有一個統(tǒng)一的參數(shù)能夠量化大尺度開孔對轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)強度的影響，因此工業(yè)界的輕量化設(shè)計往往只能依賴于技術(shù)人員的經(jīng)驗。在實際輕量化過程中，工業(yè)界急需易于加工的、便于強度校驗且輕量化效果明顯的大尺度開孔輕量化方案。

針對以上問題，本文提出用于描述轉(zhuǎn)子類結(jié)構(gòu)開孔率的表征參數(shù)，并給出慣性載荷下轉(zhuǎn)子開孔率與應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系，使得設(shè)計者在設(shè)計之初就能評估所開的減重孔對結(jié)構(gòu)輕量化和強度的影響。此外，本文基于設(shè)計實例比較了各種輕量化方案的性能和輕量化效果。

1 基于結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的輕量化方案性能分析

1.1 優(yōu)化目標分析

輥刀系統(tǒng)由切刀刀輥、刀輥軸、底輥、底輥軸和機架構(gòu)成。以日本瑞光株式會社的某紡織品切割生產(chǎn)線為例，其驅(qū)動如圖1所示。

該系統(tǒng)由電機帶動，經(jīng)過減速器將扭矩傳遞給旋轉(zhuǎn)件，其等效轉(zhuǎn)動慣量為：

式中：J為系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)動慣量； 為底輥與電機間的減速比； 為刀輥與電機間的減速比。 、 分別為刀輥和底輥折算至電機軸處的轉(zhuǎn)動慣量。

由式（1）可知，等效轉(zhuǎn)動慣量最小時，輥刀系統(tǒng)具有最大轉(zhuǎn)動加速度及最短啟動時間，此時輥刀系統(tǒng)擁有最優(yōu)的運動學(xué)和動力學(xué)性能。綜上所述，本文將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量Iz作為動力學(xué)性能的評價指標，將轉(zhuǎn)子質(zhì)量m作為輕量化效果的評價指標。

1.2 拓撲優(yōu)化原理和流程

拓撲優(yōu)化是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計的重要手段，目前學(xué)術(shù)界已形成多種結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法[3]。如基于材料分布狀態(tài)的拓撲優(yōu)化法，其起源于Bends?e M P等[4]提出的均勻化理論。變密度法以單元相對密度值作為設(shè)計變量，使用均勻化方法計算出每個單元中間密度值對應(yīng)的有效材料參數(shù)，并通過重復(fù)迭代來獲得結(jié)構(gòu)設(shè)計域的最優(yōu)材料分布形式。但是由于其設(shè)計變量是以連續(xù)的函數(shù)描述，因此會導(dǎo)致灰度單元的存在而無法獲得清晰的拓撲結(jié)構(gòu)。Rozvany G等[5]提出引入懲罰函數(shù)來抑制灰度單元的方法，形成了目前變密度法的求解框架。雖然陸續(xù)有很多學(xué)者提出過諸如邊界描述的拓撲優(yōu)算法[6-7]，但主流依舊使用SIMP（Solid Isotropic Material With Penalization，基于固體各向同性材料懲罰模型）方法，該方法也被廣泛集成于當(dāng)今流行的幾大有限元商業(yè)軟件中。

1.3 拓撲優(yōu)化及衍生方案性能分析

SIMP法的最終拓撲形狀與懲罰系數(shù)直接相關(guān)。以本課題為例，懲罰系數(shù)取值在5.5～6.5之間能獲得如圖2（b）所示的平滑的局部結(jié)構(gòu)。

局部平滑結(jié)構(gòu)從宏觀上來看往往也是尖銳甚至不連續(xù)的，因此一般需要對模型進行后期圓整處理。本文以底輥為研究對象，在結(jié)構(gòu)拓撲的基礎(chǔ)上進行圓整和二次重構(gòu)，從而提高結(jié)構(gòu)合理性與光整度，達到降低加工難度的目的。

B樣條曲線被廣泛用于計算機圖形學(xué)領(lǐng)域，可以通過一系列中間控制點擬合出一條光滑且連續(xù)的曲線，其基函數(shù)是一個k階（k－1）次分段多項式，其遞推定義為：

式中：t為一組被稱為節(jié)點矢量的非遞減序列；i為節(jié)點的序號； 為節(jié)點i與節(jié)點i＋1之間的樣條曲線表達式。

本文基于B樣條曲線對原始拓撲結(jié)構(gòu)擬合的結(jié)果如圖3（a）所示。B樣條定義式的基函數(shù)本質(zhì)是一個遞推式，而實際制造過程中復(fù)雜曲線的加工會極大提高加工難度和加工成本，因此可以使用多段弧線在B樣條的基礎(chǔ)上進行如圖3（b）所示的形狀擬合。

上述后處理方法可以提高拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可用性，得到平滑的輕量化結(jié)構(gòu)，也有利于進一步的參數(shù)優(yōu)化和加工。

實際生產(chǎn)過程中，薄型零件往往采用沖孔和銑削等方式進行加工，而棒狀、柱狀零件往往只能采用鏜孔鉆孔等加工方式，因此，基于拓撲優(yōu)化的結(jié)果，利用多級圓孔組合的方式對輕量化結(jié)果進行近似，對柱狀零件的加工具有一定的實際意義。拓撲優(yōu)化流程及衍生方案模型如圖4所示。

本文定義性能提升率為相較于原結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量的減小比例；定義減重率為相較于原結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子質(zhì)量的減小比例。

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方案及其衍生方案的性能對比如表1所示，該數(shù)據(jù)表明，基于樣條曲線擬合和分段弧線擬合方案的輕量化效果和動力學(xué)性能與原拓撲結(jié)構(gòu)十分接近，基于組合孔近似方案的輕量化效果和性能則與原拓撲結(jié)構(gòu)差距較大，但是此方案只需常規(guī)加工機床（鏜孔、鉆孔設(shè)備）即可完成零件加工，適用于需深孔加工的柱狀零件。

2 基于單級孔減重優(yōu)化方法的性能分析

基于組合孔的輕量化方案雖然極大降低了加工難度，但是依然需要數(shù)次換刀才能完成零件加工，因此單級孔的輕量化方案的研究具有十分重要的現(xiàn)實意義。

實際生產(chǎn)過程中，開孔的數(shù)量、位置及大小等關(guān)鍵參數(shù)往往是由工人或設(shè)計人員憑經(jīng)驗給出，導(dǎo)致后期的零件性能驗證和校核需要花費大量的經(jīng)濟和時間成本，因此，轉(zhuǎn)子的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力值在設(shè)計階段就應(yīng)該被充分考慮。

2.1 無開孔應(yīng)力分析

底輥類轉(zhuǎn)子在軸向上不受外載荷，所以可將其視為一個平面應(yīng)力問題。

為了定量分析轉(zhuǎn)子的應(yīng)力狀態(tài)，本文對慣性力下基盤的極值切應(yīng)力公式進行推導(dǎo)。慣性載荷下轉(zhuǎn)子載荷與角加速度滿足：

式中：M為轉(zhuǎn)子載荷； 為轉(zhuǎn)子角加速度； 為轉(zhuǎn)子內(nèi)徑； 為轉(zhuǎn)子外徑；r為采樣點到旋轉(zhuǎn)中心的距離；b為轉(zhuǎn)子厚度； 為材料密度。

慣性載荷下的轉(zhuǎn)子在周向上只受到切應(yīng)力作用，并且轉(zhuǎn)子在軸向上沒有外載荷。如圖5所示，切應(yīng)力在轉(zhuǎn)子厚度方向上是均勻分布且方向一致的。

τ為切應(yīng)力。

為驗證式（7）的準確性，取材料為結(jié)構(gòu)鋼， ＝7.89×10-3 g/mm3，在 ＝100 rad/s2的基盤轉(zhuǎn)子的有限元模型上隨機采樣100個采樣點，記錄其到旋轉(zhuǎn)中心的距離r，以及所在位置的極值切應(yīng)力 。

采樣點數(shù)值與表達式的擬合程度如圖6所示，其擬合曲線的R方值為0.99998，均方根誤差為0.000263，所以此切應(yīng)力表達式是十分準確的。

2.2 小開孔應(yīng)力分析

小孔應(yīng)力集中問題可以利用圣維南原理（Saint Venants Principle）進行分析[8]。以小孔圓心為原點，以長度R2為半徑做大圓，如圖7所示。根據(jù)圣維南原理可知，大圓周應(yīng)力分布與無孔時相同，該結(jié)構(gòu)在極坐標系下的邊界條件為：

式中： 為極角； 為極徑； 為 的徑向正應(yīng)力； 為所受外載荷； 為 處的環(huán)向切應(yīng)力。

σθ為極角為 時的環(huán)向正應(yīng)力；σR為極徑為R時的徑向正應(yīng)力。

平面小孔問題等價于內(nèi)邊界是自由面、外邊界受均勻載荷的圓環(huán)應(yīng)力問題，假設(shè)極坐標系下平面應(yīng)力函數(shù)為：

當(dāng) 取最小值r時，孔邊應(yīng)力取得最大值 。綜上所述，圓形小開孔問題的孔邊最大應(yīng)力集中系數(shù)為3。由于僅當(dāng)開孔的孔邊界距離結(jié)構(gòu)的自由邊界大于1.5倍圓孔直徑時，開孔問題才能被歸類為小開孔問題，因此可以計算出在小開孔范疇內(nèi)，最大減重孔直徑為55.5 mm，開孔位置位于距離圓心110 mm處的圓周上，開孔數(shù)量為5個，此時減重率僅0.74%，顯然對于以輕量化為目的的設(shè)計來說，小開孔方案遠達不到輕量化性能需求。

2.3 大開孔應(yīng)力分析

當(dāng)基盤上的減重孔較大或者減重孔邊界離連軸孔距離過近時，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布將不符合圣維南原理假設(shè)，因此大開孔問題需要單獨校驗孔邊應(yīng)力狀態(tài)。大尺度開孔類問題已不再屬于彈性力學(xué)中小孔問題的范疇，開孔的孔效應(yīng)與自由面的邊界效應(yīng)交織影響，因此很難給出應(yīng)力計算的具體解析式。

相關(guān)研究者在土木建筑[9]以及船舶結(jié)構(gòu)[10]領(lǐng)域?qū)Υ蟪叨乳_孔腹板或蜂窩梁常使用開孔的孔徑D與梁高H的比值表征開孔大小，并基于此參數(shù)研究開孔尺度對梁承載能力的影響。本文在參考蜂窩梁研究方法的基礎(chǔ)上，提出用于表征純慣性載荷下的轉(zhuǎn)子開孔類問題的開孔率表征參數(shù)為：

式中：L為開孔所在圓周半徑；n為圓周上均勻開孔的數(shù)量； 為開孔的孔半徑，如圖8所示。

實際上開孔率表征參數(shù)并不能完全準確反應(yīng)開孔問題的應(yīng)力集中位置或者結(jié)構(gòu)薄弱點，但由于減重孔所在位置圓周的曲率要遠遠小于減重孔本身孔徑的曲率，所以兩者本身數(shù)值差距微小，因此把式（16）作為開孔率表征參數(shù)是合理的，且易于工程實際應(yīng)用。

為了表征孔的應(yīng)力集中效應(yīng)，定義應(yīng)力集中系數(shù)K用于表征應(yīng)力集中程度：

式中： 為孔邊的最大馮米塞斯（von Mises）應(yīng)力； 為未開孔基盤上同一位置的von Mises應(yīng)力，可以通過式（18）計算其數(shù)值。

根據(jù)徐秉漢等[11]的研究，單位剪切載荷產(chǎn)生的孔邊切向正應(yīng)力要遠遠大于其他載荷產(chǎn)生的孔邊切向正應(yīng)力，因此對于打孔的轉(zhuǎn)子來說，孔應(yīng)力集中的極值往往出現(xiàn)在靠近旋轉(zhuǎn)中心一側(cè)，根據(jù)蔣赟[12]對腹板大尺寸圓形開孔梁的受力研究，受剪力作用的腹板孔邊正應(yīng)力在與腹板中心線成約35°附近達到最大值。本文研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子類問題也符合此規(guī)律，其名義von Mises應(yīng)力為：

將六開孔和八開孔的方案做為實驗組，在控制D/H＝0.35～0.95的前提下，每種方案各設(shè)置200個樣本進行校驗。原始數(shù)據(jù)與表達式的擬合程度如圖9所示，其R方值均大于0.98。上述結(jié)論表明，在不同開孔數(shù)、不同開孔率表征參數(shù)的情況下，該式依然有較好的擬合度，能夠準確反映受慣性載荷的減重孔采用不同開孔率表征參數(shù)時的孔邊應(yīng)力集中系數(shù)。

由圖9可以看出，K隨D/H的提高而呈指數(shù)級上升。在D/H＞0.87時，K甚至將超過10，此時繼續(xù)提高D/H將會嚴重影響結(jié)構(gòu)強度且輕量化效果提升十分有限。因此對于轉(zhuǎn)子類結(jié)構(gòu)，減重開孔建議其D/H≤0.87。

2.4 單級孔方案性能分析

若一個厚度b、材料密度 、外徑 、內(nèi)徑 的轉(zhuǎn)子平面上有N組減重孔，且各組減重孔半徑為 ，減重孔所在圓周半徑為 ，根據(jù)平行移軸定理可得出：

由式（20）可知，底輥的轉(zhuǎn)動慣量最小化問題本質(zhì)上是一個帶約束的最優(yōu)化問題，其具體表達形式為：

本節(jié)以日本瑞光株式會社的某套輥刀系統(tǒng)中的底輥為算例，使用粒子群優(yōu)化算法尋求單級孔方案的最優(yōu)解，最終得到，當(dāng)減重孔半徑為67 mm、孔位置圓半徑為143 mm時，轉(zhuǎn)子具有最好的動力學(xué)性能，其具體迭代過程如圖10所示?？梢钥闯?，該算法在迭代次數(shù)超過100時目標值趨于穩(wěn)定。

基于目標優(yōu)化算法的單級孔輕量化方案的減重率為29.28%，性能提升16.02%。對比表1可以看出，雖然單級孔方案的動力學(xué)性能和輕量化效果稍弱于拓撲優(yōu)化及其衍生方案，但是優(yōu)于基于組合孔近似的輕量化方案。

3 結(jié)論

本文從輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度出發(fā)，針對拓撲優(yōu)化方案，優(yōu)化了拓撲優(yōu)化及其衍生方案的設(shè)計流程，分析了各方案的可加工性，針對開孔方案，提出了用于表征開孔尺度的表征系數(shù)以及臨界開孔率的概念，并把此參數(shù)作為約束條件，將結(jié)構(gòu)設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為有約束目標的優(yōu)化問題。最后，本文基于設(shè)計實例，通過粒子群優(yōu)化算法得到了基于單級孔的最優(yōu)輕量化方案。

本文分析并對比了單級孔輕量化方案與拓撲優(yōu)化及其衍生方案的動力學(xué)性能和輕量化效果。結(jié)果顯示，單級孔方案在輕量化效果和性能接近拓撲優(yōu)化及其衍生方案的前提下，大幅降低了加工難度和加工成本。

本研究為此類工程問題的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析和輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了技術(shù)上的參考依據(jù)，同時也給出了行之有效的減重方案、計算方法及設(shè)計流程。

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收稿日期：2022-12-21

基金項目：國家重點研發(fā)計劃（2022YFE0114300）

作者簡介：毛思諾（1997－），男，湖北黃岡人，碩士，主要研究方向為機械制造及自動化，E-mail：maosinuo@163.com。*通訊作者：林松（1957－），男，四川廣元人，工學(xué)博士（德），主要研究方向為產(chǎn)品研發(fā)方法及其智能設(shè)計、虛擬產(chǎn)品生產(chǎn)及其數(shù)字孿生、智能裝置及其人機協(xié)調(diào)、技術(shù)系統(tǒng)可靠性及其安全設(shè)計，E-mail：slin@tongji.edu.cn。