公式章 1 節 1基于仿真的多部件設備機會維修多目標決策優化方法

王梅　張少文　張祥祥　胡子翔

摘要：提出一種基于仿真的多部件設備機會維修多目標決策優化方法，考慮了多種維修方式、多種機會維修策略、非預期故障的隨機持續時長和成本以及隨機的預防性維修時長，利用蒙特卡洛仿真計算系統可用度和總成本，多目標粒子群算法進行求解最佳維修方式。將該方法應用到電子組裝線的某生產設備，結果顯示，同時考慮了隨機故障和預防性維修的機會維修策略具有更優的Pareto前沿，能夠進一步優化系統可用度與系統總成本，并對可用度和總成本的隨機分布進行了分析。

關鍵詞：預防性維修；機會維修；Pareto優化；蒙特卡洛仿真；粒子群算法

中圖分類號：TH17 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.004

文章編號：1006-0316 （2023） 05-0020-07

Multi-Objective Decision-Making Optimization Method for Opportunistic Maintenance of multi-Component Equipment Based on Simulation

WANG Mei，ZHANG Shaowen，ZHANG Xiangxiang，HU Zixiang

（ No. 38 Research Institute of CETC， Hefei 230088， China ）

Abstract：This paper proposes a multi-objective decision-making optimization method for opportunistic maintenance of multi component equipment based on simulation， taking into consideration multiple maintenance modes， multiple opportunistic maintenance strategies， random duration and cost of unexpected faults， and random preventive maintenance duration. Monte Carlo simulation is used to calculate system availability and total cost， and multi-objective particle swarm optimization algorithm is used to solve the optimal maintenance mode. The method is applied to a production equipment of an electronic assembly line. The results show that the opportunistic maintenance strategy， considering both random failures and preventive maintenance， has a better Pareto frontier， which can further optimize the system availability and total system cost. The random distribution of availability and total cost is analyzed.

Key words：preventive maintenance；opportunistic maintenance；Pareto optimization；Monte Carlo simulation；particle swarm optimization

頻繁的隨機故障停機和維修產生了高額的維修和停機成本，給企業帶來了嚴重的經濟損失。當多個部件分別按照自己的維修策略進行維修時將產生大量的停機時間和維修的固定成本。機會維修策略（Opportunistic Maintenance Strategy，OMS）利用某部件進行維修而導致系統停機的機會，對其余部件進行預防性維修，從而減少系統停機時間和維修的固定成本[1]。

近年來，研究了眾多的機會維修模型，用以確定多部件系統中各部件的維修類型和維修時機。在國外，Laggoune R等[2]進行串聯系統的機會維修，但維修方式過于理想化，只有替換和預防性替換。Su C等[3]考慮了硬故障和軟故障及非完美維修，然而未考慮非預期故障的機會維修。Zhou X等[4]提出一種基于時間窗的預防性維修模型，考慮了結構依賴性，但假設部件維修后修復如新，且各部件的機會維修窗口相同。Dinh D H等[5]提出一種同時考慮經濟依賴性和結構依賴性的多層次機會預防性維修方法，其局限性在于多部件的兩個層次的機會維修閾值相同。國內機會維修研究成果相對較少，特別缺少考慮隨機故障時的機會維修以及多目標Pareto最優的研究。常建美[6]考慮了進行預防性維修或者替換時的維修機會，但沒有考慮多目標的Pareto最優。劉池[7]建立了可靠性－維修成本多目標優化模型，獲得了Pareto前沿（Pareto Front），但沒有考慮隨機故障時的維修機會。王達夢[8]指出考慮隨機故障時的機會維修比不考慮隨機故障的機會維修有更佳的單位時間成本，但沒有考慮系統的可用度。

針對上述文獻研究的不足，本文綜合多種維修方式、多種維修機會以及多目標Pareto優化，同時考慮了部件間維修的經濟相關性，考慮了隨機分布的非完美維修時長和非預期故障成本及時長，分析了總成本和可用度的分布，為決策者安排機會維修提供科學依據。

1 單部件的預防性維修策略

1.1 部件的故障率函數

威布爾分布具有強大的適用性，常用于描述部件發生隨機故障的可能性隨時間的變化規律[9]。可表示為：

式中： 為部件k的故障率分布函數；t為時間； 和 分別為部件k威布爾分布的形狀因子和尺度因子。

考慮王靈芝等[10]提出的三種維修方式：最小維修、預防性維修、替換，采用混合故障率模型，定義：

式中： 為部件進行第i次預防性維修前后的故障率函數； 為役齡遞減因子，0＜ ＜1； 為故障率遞增因子， ＞1； 為第i次預防性維修至最近一次預防性維修或替換的時長。

1.2 以可靠性為中心的維修策略

部件隨著運行時間的增加，其可靠度逐漸下降，故障率隨之增加，當部件的可靠度達到閾值R時進行預防性維修，由此可得可靠性方程為：

式中：exp[]為以自然對數e為底的指數函數。

聯立式（1）和式（3）便可得到部件每次的維修間隔[10]。

隨著預防性維修次數的增多，預防性維修間隔縮短，單位維修成本增加，因此需要確定預防性維修次數上限N，第N＋1次預防性維修改為替換操作，將部件修復如新。

約定符號定義：i、Nk分別為部件k的預防性維修次數和最大預防性維修次數，i＝1， 2， ...， Nk；ak、bk分別為部件k的役齡遞減因子和故障率遞增因子；Tki為部件k第i－1次預防性維修與第i次之間的無故障時長；λki（t）為部件k第i次維修前的故障率分布函數；Rkt為部件k的可靠度更新閾值；Xfk、Xgk、Xpk分別為部件k隨機故障維修成本、隨機故障維修時長和預防性維修時長，符合隨機分布；Cpk、Cdk、Ctk、τk分別為部件k單次預防性維修成本、單位時間停機成本、替換成本以及替換時長；Cs為單次維修的固定成本。

單部件替換周期內預防性維修策略假設條件為：隨機故障對部件故障率函數的影響可忽略不計；采用最小維修可將部件修復到故障發生前的狀態，發生故障前后故障率不變；部件k運行從全新狀態開始，替換后部件恢復如新。

部件k在其替換周期內進行Nk次預防性維修，第Nk＋1次預防性維修時進行替換，則其成本包括最小維修、預防性維修和替換的直接維修成本C1，因最小維修、預防性維修、替換而導致的停機成本C2。時長包括最小維修、預防性維修和替換時長以及部件的正常工作時間T'。分別計算為：

式中：E（）為隨機變量的期望值。

部件k替換周期內的單位時間成本為：

式（7）僅包含一個變量 ，可用遍歷求解，以最小化 ，其優化模型為：

2 多部件的機會維修模型

通常采用基于時間的方法確定部件是否需進行機會維修，如圖1所示，部件n的計劃預防性維修時間為tn1，部件m在tm1時刻需要進行隨機故障維修或預防性維修，此時系統會停機，部件n機會維修閾值為ΔTn，如果tm1＋ΔTn≥tn1，則部件n獲得了維修機會，可進行預防性維修或者替換，否則不進行機會維修。通過分析可知，機會維修閾值不能太大也不能太小，因此需要優化各部件的機會維修閾值ΔTn，使系統的可用度盡可能大、總成本盡可能小。

2.1 模型假設與符號定義

本文研究的系統屬于串聯系統，考慮到實際生產的復雜性，作以下假設：①部件在初始時刻和替換后都是從全新狀態開始退化；②隨機故障發生時，會被及時發現，并進行最小維修，且同一時刻只有一個部件會發生隨機故障；③系統只會因為最小維修和預防性維修而停機，任一部件的維修操作都會導致系統停機，各部件的停機損失相同，都為Cd。

本節在1.2節的基礎上增加如下符號定義：K為系統包含的部件數量；ΔTk為部件k的機會維修閾值；S為系統停機維修的次數，包括小修、預防性維修和替換而導致的停機；Iskj為指示函數，表示在第s次維修時、部件k是否進行了j方式維修，如果是則取值為1，否則為0；其中j＝0表示小修，j＝1表示預防性維修，j＝2表示替換；Cskj為在第s次維修時、對部件k進行j方式維修所花費的直接維修成本；MTskj為在第s次維修時、對部件k進行j方式維修所花費的時間；DTs為第s次維修時的停機時長；T為系統生命周期，包括正常工作時間和維修停機時間。

2.2 可用度和總成本的多目標優化模型

系統可用度是指正常工作時間占總時間的比例，其值越大表示設備利用率越高。每次維修的停機時長等于各部件維修時長最大值，為：

式中：A為系統在一個周期內的可用度。

由第s次維修開始時刻 、部件k的下一次預防性維修或者替換發生時刻 ，以及部件k的機會維修閾值共同決定，即式（11）。 可由1.2節求得。

除了讓系統可用度盡可能高外，決策者還希望總成本盡可能小。在系統的生命周期內，總成本C包括直接維修成本、停機成本和維修的固定成本，為：

綜上所述，以可用度和總成本為多目標的多部件串聯系統的優化模型為：

3 模型求解與數值案例分析

3.1 蒙特卡洛仿真

本文同時考慮了隨機故障和預防性維修、替換的維修機會，由于隨機故障的非預期性，難以寫出可用度A與總成本C的期望表達式。蒙特卡洛仿真是一種依賴于重復隨機抽樣和統計分析來計算結果的仿真方法[11]。本文通過多次運行仿真，將多次仿真的平均值作為評價各種方案優劣的標準，采用事件驅動法構建仿真模型。

仿真計算T時間內可用度與總成本的總體思路為：首先根據式（8）計算各單部件的預防性維修間隔以及預防性維修次數上限，然后隨機模擬各部件的隨機故障發生時刻，將仿真時鐘推進到最早發生隨機故障或預防性維修的時刻，停機進行維修、對其余部件進行機會維修并更新故障率函數，記錄本次維修的總成本和停機時長，更新各部件的下一次隨機故障時刻以及預防性維修時刻，繼續推進仿真時鐘，重復上述過程直到最小的隨機故障發生時刻和預防性維修的時刻都大于T，則仿真結束；多次運行仿真并取平均值作為真實值。

約定符號定義：t為仿真時鐘時間，初始值為0；T為仿真結束時間；DT為系統累積停機時長，初始值為0；nk為部件k的下一次預防性維修序號，nk＝1， 2， ...， Nk＋1，當取值為Nk＋1時就進行替換；Wk為部件k自替換以來的有效役齡，初始值為0；Tknk為部件k第nk－1次預防性維修到第nk次預防性維修的無故障工作時長，nk＝1就是從替換到第一次預防性維修的無故障工作時長；FITk為部件k到下一隨機故障間隔時長；lastFKk為部件k最近一次隨機故障修復后的開始工作時刻，初始值為0；nextFTk為部件k下一次隨機故障發生時刻，初始值為0；lastPTk為部件k最近一次預防性維修（替換）后的開始工作時刻，初始值為0；nextPTk初始值為0。

本文的蒙特卡洛仿真計算可用度A和總成本C的算法流程如圖2所示。

在第s次停機維修時（ts時刻），如果因為隨機故障停機（假設故障部件為q），則先判斷部件是否直接替換，如果否，則進行小修，然后判斷是否進行預防性維修，具體維修方式如圖3所示。對于其余正常部件，根據式（12）確定維修方式。

根據部件k的維修方式更新 和 為：

即當維修方式為預防性維修時，設備役齡會增加；當維修方式為替換時，設備役齡恢復為0；沒有維修操作則不更新參數。

然后更新進行了預防性維修或者替換部件的故障率函數 和 ，以及當前預防性維修或者替換后的開始工作時刻為：

更新各部件的下一次預防性維修間隔為：

本次停機進行最小維修的部件q更新為：

根據部件的故障率函數來模擬部件的隨機故障時間，部件k對應的累積分布函數為：

每次部件進行了預防性維修、替換以及最小維修后，需要更新對應的下一次隨機故障時刻。本文采用反函數法，令F（x）取0～1之間的均勻分布隨機數rand，即可求得對應的下一次隨機故障間隔時間為：

對于沒有進行維修的部件，由于停機時長，需要更新為：

即當下一次隨機故障發生在下一次預防性維修前，則該隨機故障視為發生；當該隨機故障發生在下一次預防性維修后，則在下一次預防性維修前不會有隨機故障發生。

3.2 多目標粒子群算法

本文要優化的決策變量為各部件的機會維修閾值ΔTk，其取值范圍為全體正實數，優化問題的解空間巨大，運用粒子群算法可快速獲得全局較優解。采用仿真優化的思想，用蒙特卡洛仿真算法作為粒子群算法的粒子評價函數。采用多目標Pareto最優解的思想可求得一組非支配的解，對于M個決策變量的多目標最小化問題，當滿足以下兩個條件時稱x1支配x2：

（1）x1在所有目標上都不比x2差，即：

（2）x1在至少一個目標上嚴格優于x2，即：

所有非支配解的集合叫做Pareto最優解集（Pareto-optimal set），Pareto最優解集中的解是Pareto最優解，其對應的目標向量構成該多目標問題的Pareto前沿[12]。不被其他所有解支配的解稱為非劣解。

本文采用一種多目標粒子群算法，具體算法細節請參閱文獻[12]，不再贅述。采用3.1節中的蒙特卡洛仿真算法作為粒子各個目標的評價函數，通過多次運行仿真取平均值。

3.3 數值案例分析

以某高密度電子組裝線中SMT（Surface Mounted Technology，表面貼裝技術）貼片機為例，說明本文提出的模型的優越性。

假設SMT貼片機有6個關鍵部件，任一部件發生故障都會導致設備停機，部件都服從兩參數的威布爾分布，且都從全新狀態開始運行，系統工作時長T＝600 天，各部件役齡遞減因子和故障率遞增因子相同，分別為ak＝a＝0.12、bk＝b＝1.1，系統停機成本C＝180元/天，維修的固定成本Cs＝50元/次；各部件的隨機故障維修成本Xfk服從對數正態分布（兩參數分別為lμk和lσk），各部件的隨機故障維修時長Xgk服從指數分布（參數為1/λk），各部件的預防性維修時長Xpk服從正態分布（兩參數分別為μk和σk）。相應參數如表1所示。

多目標粒子群算法相關參數為：c1＝c2＝2（c1為個體學習因子，c2為種群學習因子），粒子個數N＝50，算法迭代次數H＝100，粒子位置pi1取值范圍[-10，10]，粒子速度vi1取值范圍[-2，2]。仿真運行次數G需要根據試驗次數決定，G過大則平均值更接近真實值，但計算時間會增加，G過小則平均值可能與真實值差距較大，本文取G＝15000。

根據以上參數分別進行沒有機會維修（策略1）、只考慮隨機故障時的維修機會（策略2）、只考慮預防性維修時的維修機會（策略3）、同時考慮預防性維修和隨機故障時的維修機會（策略4）的預防性維修模型求解，分別繪制四種維修策略的Pareto前沿，如圖4所示，其中x1、x2分別是策略4以總成本最小和可用度最大的單目標最優值。

由圖4可以看出，策略3的各個解都可以被策略4中的解支配，策略2的絕大部分解也都可以被策略4中的解支配，少部分解未被支配可能是因為隨機因素和算法本身的擾動。理論上x1、x2應在策略4的Pareto解集內的，因此可以認為策略4比其余三種策略具有更優的Pareto前沿，說明同時考慮了預防性維修和隨機故障時的維修機會的機會維修策略能夠進一步優化系統可用度與系統總成本。

此外，本文通過對同一個維修方案進行多次仿真，可以獲得多次仿真各個目標值的隨機分布，并進行統計分析。例如對于某個Pareto最優解，其對應的50000次可用度和總成本分布（等距劃分為100份）如圖5所示。其可用度的平均值和標準差分別為0.8608、0.0262，分別采用正態分布和威布爾分布擬合，得到正態分布的極大似然值與威布爾分布的極大似然值110536、110153，因此采用正態分布作為可用度的隨機分布。得到正態分布的均值和標準差分別為0.85、0.027，可用度A≥0.8387的置信度為80%。其總成本的平均值和標準差分別為89152.0、5216.5，采用正態分布擬合得總成本C≥95837的置信度為10%。通過對比不同Pareto最優解的各個目標的隨機分布，有助于管理者決策分析。

4 結論

本文提出的多部件機會維修多目標決策方法彌補了現有研究的不足，包括：①考慮多種維修機會的機會維修策略能獲得更優的Pareto前沿；②提出了一種事件驅動的蒙特卡洛仿真算法，同時考慮多種維修機會、維修成本和時長服從隨機分布的情況；③采用多目標的粒子群算法獲得多個Pareto最優解，并對維修方案對應的可用度和總成本進行分布擬合，有利于企業分析決策。

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收稿日期：2022-12-01

作者簡介：王梅（1973－），女，安徽合肥人，碩士研究生，研究員，主要研究方向為智能制造工業軟件研發，E-mail：15357946086@163.com。