基于知識空間理論的八年級學生代數關鍵學習路徑

姚必

1 引言

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：函數是從具體情境中抽象出數學符號的過程，是探索具體問題中數量關系和變化規律的重要模型[1]．其中，“一次函數圖象”不僅是函數知識的入門基礎，還是解決其它實際問題的重要手段[2]．通過“一次函數圖象”的學習，學生能夠在平面直角坐標系中畫出一次函數的圖象，并且根據圖象了解一次函數的性質，從而掌握數形結合的數學思想[3～4]．知識空間理論（簡稱KST）為基于計算機網絡系統的知識和學習評估的發展提供了一個有效的數學理論框架，能有效地診斷學生對于某一個學習領域的掌握情況[5]．知識空間理論在國外已經廣泛應用于數學學習的認知診斷中，但是在國內，與該理論相關的實證研究僅僅局限于化學教學實踐[6～7]．因此，本研究應用知識空間理論對八年級學生的“一次函數圖象”的學習情況進行具體描述和深入分析．

2 知識空間理論

Doignon和Falmagne認為：問題與對應的知識之間存在聯系[8]．如果學習者能夠解答某個問題，那么該學習者擁有這個問題相應的知識[8]．將某一個領域看成相關問題組成的集合Q[8]．問題有高低層次之分，如果作答者能解決高層次的問題，那么也一定可以解決相應的低層次問題[8]．將各個層次問題之間的關系稱為推測關系（surmise relation），符合推測關系的集合稱為知識狀態（knowledge state）[8]．所有知識狀態加上空集和集合Q組成的集合稱為知識結構（knowledge structure），記為（）Qκ，[8]．若（）Qκ，滿足對并運算的封閉性，即知識狀態的任意并還是知識狀態，則（）Qκ，稱為知識空間（knowledge space）[8]．在知識空間中，我們用箭頭表示包含的覆蓋關系，如果L是包含知識狀態K的極小知識狀態，那么存在從知識狀態K到知識狀態L的箭頭，以空集為起始點、全集為終止點，將各個知識狀態通過一定的順序依次連接起來，建立具有層級關系的網絡結構[8]．每一個從空集到全集的知識狀態組合，形成問題有序增長的組合稱為分級[6]．各個分級中，可以找到一條具有最大出現概率的問題有序組合，我們稱這個問題的有序組合為關鍵學習路徑[8]．

3 研究方法

3.1 研究對象

本研究選取江蘇省蘇州市吳江區某中學八年級兩個普通班共102名學生進行專題測試．這兩個班級學生的數學成績整體相當．在八年級第二學期進行測試，參與本次測試的學生對于“一次函數圖象”的知識點已經進入長時記憶中，測試結果可以較好地體現學生關于該知識點的學習情況．

3.2 研究工具

本研究基于《義務教育數學課程標準（2011版）》，使用《義務教育教科書·數學（八年級上）》（江蘇鳳凰科學技術出版社），先初步篩選測試題，再結合專家型數學教師的建議對測試題進行修改，最后征求專家教授的建議對測試題進行精選．本研究測試卷涉及6個知識點，詳見表1．其中，知識點的序號代表了專家預設的學習路徑．

3.3 研究流程

在八年級第二學期的第一個月內完成“一次函數圖象”的專題測試．測試結束后，筆者回收試卷，批改學生的作答結果和記錄學生的答題情況．將學生答對、答錯的情況分別記錄為1和0，則測試卷上所有問題的解答情況可以轉化為一個有序數字組合．該組合就是學生的反應模式．例如，某位學生僅答對了第1、2、3、5題，那么該學生的反應模式為[111010]……

3.4 數據處理

參考知識空間理論，本研究使用python語言自主設計相關算法程序，并且將所有的反應模式和相應的人數作為原始數據．本研究的算法程序需要經歷兩個過程．首先，統計每一個反應模式所對應學生的人數，并且獲取相應的知識狀態；同時，根據問題之間的推測關系，添加必要的工作假設（working hypothesis）[9]，從而建立完整的知識空間．通過可視化功能，呈現知識空間的示意圖．其次，計算反應模式的概率，并且通過概率值確定關鍵學習路徑．在此過程中，基于已有文獻[679]，，的研究，該程序設定猜測幸運（lucky guess）和粗心失誤（careless error）的概率均為0.1．

4 研究結論

4.1 學生的答題情況

學生總體的平均答對率為45.15%．其中，每一道題的平均答對率詳見表2．

由表2可見，第1題的答對率最高．結合表1中對應知識點的說明，可以發現“用描點法畫函數圖象”這個知識點學生的掌握較為熟練．進一步地，由學生答題情況的質性分析還表明：學生對圖象過于依賴，導致學生缺乏函數圖象和函數解析式之間轉化的能力．同時，第4題的答對率明顯較低．根據學生解答過程的分析發現，學生傾向于默認“單調性”為“單調遞增”，而往往會忽視“單調遞減”這種情況．究其原因，結合對任課教師的深度訪談，是教學中教師通常會以單調遞增的函數作為例題和練習題．此外，由表2還可見，第3題的答對率最低．這充分說明對于定點問題，學生的理解和掌握有嚴重的欠缺．深度分析教材內容，其原因很可能是由于教材中未詳細解釋和區分“原點”和“定點”的內涵，導致絕大多數學生無法對“正比例函數圖象”實施有效的思維拓展．

4.2 學生的關鍵學習路徑

八年級學生關于“一次函數圖象”的知識空間的示意圖詳見圖1．關于“一次函數圖象”這個知識點，圖1顯示了知識狀態的數量較多，并且知識狀態之間的連線也較多．由此可見，八年級學生關于該知識點的知識空間的結構較復雜．通過計算反應模式的整體概率，我們可以得到八年級學生的關鍵學習路徑，如表3所示．

基于學生關鍵學習路徑的分析，可以發現：“描點法”和“一次函數的圖象是一條直線”出現的位置處于較前端．這說明八年級學生將上述兩個知識作為“一次函數圖象”學習的基礎．同時，還可以發現：“一次函數的單調性”以及“正比例函數圖象過原點”處于學習路徑的末端．這說明對于這兩個知識點，學生較難理解和掌握．究其原因，可能是因為在數學學習的過程中，只有熟練掌握了數形結合的思想，學生才能將“一次函數圖象”和“一次函數解析式”融合起來，從而有效地解決一次函數單調性的相關問題．進一步地，由表3還發現：學生實際的關鍵學習路徑與專家預設的學習路徑存在明顯的差異．例如，知識點“知道b是與y軸交點的縱坐標”和“掌握一次函數圖象的平移”出現在學生實際的關鍵學習路徑的中間位置．

5 結論與建議

5.1 研究結論

以“一次函數圖象”為例，本文首次將知識空間理論應用于八年級學生代數關鍵學習路徑的探討和分析中，從而為數學教育心理學中的代數學習研究提供了一個新的視角．研究結果表明：（1）學生實際的關鍵學習路徑與專家預設的學習路徑存在明顯的差異；（2）學生知識空間的結構較復雜，同時出現了23個知識狀態；（3）學生在一次函數單調性和正比例函數過原點的相關問題上的學習表現有待改善．

韜爾將函數的概念作為數學認知根源，并將函數的概念分為前程序、程序、過程、對象和過程性概念五個層次[10]．基于該理論，本次調研發現：有極少數學生處于前程序階段，對于畫出一次函數圖象還一無所知；大多數學生處于程序階段，解題依賴于固定的操作步驟；只有少數學生處于過程階段，能夠熟練應用函數的輸入與輸出，不依賴于固定的操作步驟；僅僅有一到兩位學生處于對象層次；沒有學生能到達過程性概念層次．

5.2 教學建議

基于學生實際的關鍵學習路徑，我們可以提出如下三點教學建議． 第一，教師預設的教學設計和學生實際的學習現狀存在差異．教師需要判斷對大多數學生來說存在認知障礙的知識點，例如，將“正比例函數過原點”放在關鍵學習路徑的后面，體現出學生尚未熟悉函數不同表征之間的關聯，不知道什么時候用哪一種表征比較容易解決問題．盡管大多數學生都知道正比例函數圖象過原點，但是用另一種非標準形式去表示正比例函數的時候，學生會無從下手．因此，在后續的教學中，教師需要培養學生識別函數的能力，提升學生從函數的一種表征轉化到另一種表征的能力． 第二，對于基礎較差的學生，過于依賴一次函數的表達式，而難以從圖象上獲取相關信息．教師應該在教學過程中，將用圖象表示函數的方法貫穿整個一次函數的教學過程中，不斷提高學生用圖象直觀表示函數的性質以及解釋由圖象表示的函數相關信息的能力．同時，教師也可以利用相關計算機軟件來輔助教學，比如幾何畫板，將函數運動、變換等特點直觀化．

第三，考慮到同一所學校近幾年的生源比較相似，在下一學年的教學中，對于“一次函數圖象”這節課，教師要重點關注學生對于一次函數單調性和定點問題的掌握程度，并在教學后通過專題訓練等方式加以鞏固．同時，學生實際的關鍵學習路徑可以為教師的新課教學提供一定的參考．從學生實際的關鍵學習路徑中可以看出，學生數學思維水平仍處于初級階段，需要教師在新課教學中重點突出函數解析式與圖象之間的關聯與轉換．

5.3 研究展望

本研究以“一次函數圖象”為例，深入探討和具體分析了八年級學生的知識空間結構．在未來的研究中，對于不同的數學學習內容和不同學習階段的學生，還可以應用知識空間理論進行深入的探討和分析，從而豐富已有的研究成果，進而為數學學習過程提供更多的實踐依據和理論支撐．