一類日極端溫度的變權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

楊 燁，袁宏俊*，陳倩如

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠 233030；2.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽合肥 230009）

極端氣候會(huì)對(duì)社會(huì)發(fā)展、農(nóng)業(yè)種植等多方面產(chǎn)生負(fù)面影響，對(duì)經(jīng)濟(jì)造成巨大損失，精確預(yù)測(cè)氣溫能夠?qū)O端氣候的防范起到指導(dǎo)作用，有效降低異常天氣帶來(lái)的損害。現(xiàn)階段對(duì)氣溫?cái)?shù)值預(yù)測(cè)所用預(yù)報(bào)產(chǎn)品大多是尋求氣象要素間的非線性關(guān)系，以此來(lái)改善預(yù)報(bào)效果，另外，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法的加入進(jìn)一步提高了預(yù)測(cè)精度[1-3]。

在對(duì)許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的過(guò)程中人們發(fā)現(xiàn)，各類單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法適用情況不同，且預(yù)測(cè)方法之間并非沒(méi)有關(guān)聯(lián)。為充分利用數(shù)據(jù)信息做出精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，Bates 和Granger 兩位學(xué)者于1969 年提出將各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行加權(quán)組合，構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型提高預(yù)測(cè)精度[4]。實(shí)踐證明，該方法可以有效利用各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的信息，提升預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，為決策者提供參考。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，組合預(yù)測(cè)方法已應(yīng)用于越來(lái)越多的學(xué)科領(lǐng)域當(dāng)中。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者為組合預(yù)測(cè)的發(fā)展做了很多理論基礎(chǔ)的研究工作，研究對(duì)象也由實(shí)數(shù)型組合預(yù)測(cè)[5-7]拓展到區(qū)間數(shù)型組合預(yù)測(cè)[8-10]。張娜利用光伏出力相似日樣本中區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間半徑進(jìn)行預(yù)測(cè)，并利用人群搜索算法對(duì)組合預(yù)測(cè)模型的權(quán)值進(jìn)一步優(yōu)化[11]。袁宏俊等把區(qū)間數(shù)和二元聯(lián)系數(shù)相結(jié)合，將聯(lián)系數(shù)貼近度作為最優(yōu)準(zhǔn)則，建立基于聯(lián)系數(shù)貼近度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型[12]。江立輝等將IOWA 算子與C-GOWA 算子相結(jié)合，構(gòu)造誘導(dǎo)有序加權(quán)連續(xù)區(qū)間廣義有序加權(quán)平均（IOWC-GOWA）算子，并以指數(shù)支撐度作為相關(guān)性指標(biāo)，構(gòu)建新的組合預(yù)測(cè)模型并驗(yàn)證了模型的有效性[13]。胡凌云等引入廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)比例平均（GIOWPA）算子，建立了基于GIOWPA 算子及誤差絕對(duì)值之和的區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)模型，通過(guò)實(shí)例分析證明了該模型具有較高的預(yù)測(cè)精度[14]。

現(xiàn)有研究有效證明了組合預(yù)測(cè)方法能顯著提升區(qū)間型數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，因此將相關(guān)度與廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均（GIOWHA）算子相結(jié)合，構(gòu)建出一類新型區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)模型，并應(yīng)用到我國(guó)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)。考慮到區(qū)間數(shù)左右端點(diǎn)的聯(lián)系，將區(qū)間數(shù)序列用具有等價(jià)信息的中心和半徑來(lái)表示。將區(qū)間數(shù)之間的相關(guān)度作為最優(yōu)準(zhǔn)則，構(gòu)建基于區(qū)間數(shù)相關(guān)度的定權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。并進(jìn)一步引入GIOWHA 算子，用區(qū)間數(shù)預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)因子，構(gòu)建基于區(qū)間數(shù)相關(guān)度的GIOWHA 算子的變權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型。并將該模型應(yīng)用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)當(dāng)中，實(shí)例證明，所提出模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于用指數(shù)平滑、SVR、LSTM 三類單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果，在對(duì)日極端溫度的預(yù)測(cè)中表現(xiàn)出有效性及優(yōu)越性，為日極端溫度的預(yù)測(cè)提供了一種新的方法。最后對(duì)該組合預(yù)測(cè)模型的參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。

1 基本概念

定義1[12]：若兩實(shí)數(shù)滿足0

能夠看出，區(qū)間數(shù)X的兩種表示具有等量信息。若有兩區(qū)間數(shù)分別為X1=[a1,b1]=(c1,r1) 和X2=[a2,b2]=(c2,r2)，存在以下運(yùn)算規(guī)律：

稱GIOWHAW為由δ1,δ2,…,δn引導(dǎo)a1,a2,…,an而得到的n維廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子，簡(jiǎn)稱GIOWHA算子。

對(duì)GIOWHA 算子進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ=1 時(shí)，GIOWHA 算子退化為誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子IOWHA；當(dāng)λ=-1時(shí)，則該算子變?yōu)檎T導(dǎo)有序加權(quán)算術(shù)平均算子IOWA；當(dāng)λ→0 時(shí)，則該算子變?yōu)檎T導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子IOWGA。由此可見(jiàn)，廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子具有較好的廣泛性。

定義3：對(duì)兩區(qū)間數(shù)X1=(a1,b1)和X2=(a2,b2)，稱

為區(qū)間數(shù)X1和X2的相關(guān)度。相關(guān)度S(X1,X2)存在以下性質(zhì)：

（1）有界性：0

（2）對(duì)稱性：S(X1,X2)=S(X2,X1)；

（3）自反性：S(X1,X2)=1當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2。

2 基于相關(guān)度的定權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

定義4：設(shè)實(shí)際區(qū)間數(shù)序列為{Xt|Xt=[at,bt]=(ct,rt),t=1,2,…,N}，有m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)實(shí)際區(qū)間數(shù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，將第i 種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法t時(shí)刻的序列預(yù)測(cè)結(jié)果表示為{Xit=[ait,bit]=(cit,rit),i=1,2,…,m;t=1,2,…,N} 。

對(duì)模型進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，該組合預(yù)測(cè)模型中所選取的各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，無(wú)論是否能夠在某時(shí)點(diǎn)取得較優(yōu)結(jié)果，所被賦予的權(quán)系數(shù)均保持不變，這也造成了在對(duì)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合時(shí)，未能更好地利用各時(shí)點(diǎn)處每項(xiàng)單項(xiàng)預(yù)測(cè)值提供的信息。為改善這一情況，可在各時(shí)點(diǎn)處以單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度作為指標(biāo)，賦予的權(quán)系數(shù)大小根據(jù)預(yù)測(cè)精度優(yōu)劣進(jìn)行調(diào)整，使得各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在不同時(shí)點(diǎn)能被賦予合適的權(quán)系數(shù)，讓預(yù)測(cè)精度越高的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法提供的信息越多。因此，對(duì)模型（1）進(jìn)一步改進(jìn)。

3 基于相關(guān)度的變權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

定義6[13]：設(shè)ηit是第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度，則：

顯然0 ≤ηit≤1，i=1,2,…,m,t=1,2,…,N。

根據(jù)定義2 中GIOWHA 算子定義，將第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)值，分別構(gòu)造出t時(shí)刻基于預(yù)測(cè)精度的m個(gè)中心二維數(shù)組和半徑二維數(shù)組

其中，git是c1t,c2t,…,cmt根據(jù)誘導(dǎo)值η1t,η2t,…,ηmt從大到小排序后的第i個(gè)數(shù)，同理，hit是r1t,r2t,…,rmt根據(jù)誘導(dǎo)值η1t,η2t,…,ηmt從大到小排序后的第i個(gè)數(shù)。W=(w1,w2,…,wm)T為GIOWHA算子的加權(quán)向量，且

結(jié)合定義5，可求得實(shí)際區(qū)間數(shù)與基于GIOWHA算子的組合預(yù)測(cè)結(jié)果的相關(guān)度

定義8：將各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果序列與實(shí)際值序列的相關(guān)度記為P(W)i，其中，最大值記為P(W)max=最小值記為P(W)min=當(dāng)P(W) >P(W)max時(shí)，模型(2)是優(yōu)性區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)；當(dāng)P(W)min≤P(W) ≤P(W)max時(shí)，模型(2)是非劣性區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)；當(dāng)P(W)

4 實(shí)例分析

為驗(yàn)證基于GIOWHA算子和相關(guān)度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型應(yīng)用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預(yù)測(cè)的可行性，選取基于區(qū)間數(shù)中心及半徑的平均區(qū)間中心誤差平方和（MSEP）、平均區(qū)間半徑誤差平方和（MSEL）、平均區(qū)間誤差平方和（MSEI）、平均區(qū)間相對(duì)誤差和（MRIE）作為評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果的指標(biāo)，具體計(jì)算公式如下：

引用文獻(xiàn)[16]中日極端溫度區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別采用指數(shù)平滑法、支持向量回歸（SVR）、長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，表1給出了實(shí)際日極端溫度區(qū)間數(shù)序列和三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)結(jié)果的信息。

表1 實(shí)際區(qū)間數(shù)序列和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)序列

由定義1 將表1 中實(shí)際日極端溫度區(qū)間數(shù)序列和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)結(jié)果轉(zhuǎn)化為中心和半徑序列，結(jié)果如表2。

表2 實(shí)際區(qū)間數(shù)和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的中心及半徑序列

根據(jù)定義6 計(jì)算得到各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的誘導(dǎo)因子序列，如表3：

表3 三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法中心和半徑的誘導(dǎo)因子序列

構(gòu)建了基于相關(guān)度和GIOWHA算子相結(jié)合的區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)模型，由模型(2)能夠看出，隨著參數(shù)λ的取值大小發(fā)生變化，會(huì)對(duì)誘導(dǎo)有序加權(quán)算子產(chǎn)生影響，進(jìn)而使各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法所賦予的權(quán)重大小發(fā)生改變，出現(xiàn)不同的組合方式，同時(shí)目標(biāo)最優(yōu)值大小也發(fā)生變化。

在組合預(yù)測(cè)模型(2)中，參數(shù)λ≠0，此處對(duì)其分別取五個(gè)特殊值對(duì)模型進(jìn)行分析，取λ=-5、-3、0.1、2、4，建立不同的組合預(yù)測(cè)模型，并利用Lingo 軟件求解出在不同參數(shù)取值時(shí)的組合預(yù)測(cè)模型中各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的權(quán)重系數(shù)。具體結(jié)果如表4：

表4 各參數(shù)取值及其對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)值

通過(guò)計(jì)算權(quán)系數(shù)結(jié)果，結(jié)合定義4求得組合預(yù)測(cè)結(jié)果，結(jié)果如表5：

表5 λ 不同取值下的等價(jià)區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)值

表5 給出不同參數(shù)下用組合預(yù)測(cè)方法對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)結(jié)果，根據(jù)提出的各類誤差計(jì)算公式，可計(jì)算得各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法及組合預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)結(jié)果的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE，具體結(jié)果如表6。

從表6中數(shù)據(jù)能夠看出，在所列舉的幾種不同參數(shù)下，所提出的組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)除LSTM方法中的MSEL之外，MSEP、MSEL、MSEI、MRIE均明顯小于指數(shù)平滑法、SVR、LSTM 三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)LSTM方法和汪佳增提出的組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，雖然這兩種方法在對(duì)半徑值的預(yù)測(cè)中表現(xiàn)較好，但中心誤差較大，因?yàn)閰^(qū)間數(shù)是由中心和半徑共同構(gòu)成，說(shuō)明LSTM預(yù)測(cè)方法和汪佳增提出的組合預(yù)測(cè)模型（Ⅱ）未能綜合考慮區(qū)間數(shù)的內(nèi)部聯(lián)系及整體性。而所提出組合預(yù)測(cè)方法在綜合了中心及半徑信息的MSEI和MRIE上均表現(xiàn)很好，因此，進(jìn)一步說(shuō)明提出的組合預(yù)測(cè)模型能夠顯著提高預(yù)測(cè)精確度，且該模型適用于對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)。

由定義5 可求得實(shí)際區(qū)間數(shù)與各預(yù)測(cè)方法的中心及半徑的區(qū)間數(shù)相關(guān)度，具體計(jì)算結(jié)果如表7。

表7 實(shí)際區(qū)間數(shù)與各種預(yù)測(cè)結(jié)果的中心及半徑的相關(guān)度

從表8 能夠看出，在不同參數(shù)取值下，組合預(yù)測(cè)模型對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際區(qū)間數(shù)的相關(guān)度P'均優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果，說(shuō)明提出的組合預(yù)測(cè)模型（2）是優(yōu)性區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)。

5 靈敏度分析

在變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型（2）中，隨著參數(shù)λ 的取值發(fā)生變化，會(huì)對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)的權(quán)系數(shù)及最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)數(shù)值產(chǎn)生影響，為進(jìn)一步探究參數(shù)λ數(shù)值變化帶來(lái)的影響，對(duì)組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行靈敏度分析，探究λ 在[-5,0)∪(0,5]的范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)對(duì)權(quán)系數(shù)、最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值以及誤差指標(biāo)的影響。

從圖1 中能夠看到，參數(shù)λ在[-5,0)∪(0,5]的范圍變動(dòng)過(guò)程中，隨著參數(shù)λ的增大，對(duì)權(quán)系數(shù)w1和w2的有較大影響，w3幾乎不受參數(shù)λ的變動(dòng)影響。進(jìn)一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，隨著λ在[-5,0)增大，w1取值呈現(xiàn)逐漸下降趨勢(shì)，而w2則呈現(xiàn)緩慢上升。而λ在[-5,0)增大的過(guò)程中，w2出現(xiàn)逐漸下降趨勢(shì)，w1取值呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。在變化的過(guò)程中能夠發(fā)現(xiàn)w1與w2的變化趨勢(shì)互補(bǔ)。隨著λ的變化，在對(duì)相關(guān)度P'的變化過(guò)程中，其取值始終保持平穩(wěn)狀態(tài)，說(shuō)明基于相關(guān)度和GIOWHA 算子相結(jié)合的區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)模型在對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預(yù)測(cè)具有很好的適用性。

圖1 λ的變動(dòng)對(duì)wi和P'的影響

圖2 是探究參數(shù)λ的變動(dòng)對(duì)各預(yù)測(cè)誤差的影響，能夠看出，隨著λ在[-5,0)∪(0,5]的范圍內(nèi)逐漸增大，MSEI有較明顯地波動(dòng)，MSEP和MSEL這兩項(xiàng)誤差指標(biāo)數(shù)值則在零點(diǎn)處出現(xiàn)明顯上浮，而MRIE數(shù)值很小且?guī)缀醪皇堞说淖兓绊懀@也進(jìn)一步說(shuō)明了提出的組合預(yù)測(cè)模型在對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)具有優(yōu)越性。

圖2 λ的變動(dòng)對(duì)各誤差指標(biāo)的影響

6 結(jié)語(yǔ)

將相關(guān)度與GIOWHA 算子相結(jié)合，構(gòu)建出一類新型區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)模型，并應(yīng)用于對(duì)日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)。為保證區(qū)間數(shù)序列的整體性，將區(qū)間數(shù)序列用中心及半徑來(lái)表示，用區(qū)間數(shù)預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)因子，并將相關(guān)度作為準(zhǔn)則，構(gòu)建基于相關(guān)度和廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均（GIOWHA）算子的組合預(yù)測(cè)模型。并應(yīng)用于日極端溫度區(qū)間數(shù)序列的預(yù)測(cè)當(dāng)中，經(jīng)實(shí)例檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于用指數(shù)平滑、SVR、LSTM 三類單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果，證明了該組合預(yù)測(cè)模型在日極端溫度區(qū)間數(shù)序列預(yù)測(cè)的有效性及優(yōu)越性。最后組合預(yù)測(cè)模型的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，分析發(fā)現(xiàn)參數(shù)λ的取值變化對(duì)權(quán)系數(shù)w1和w2，以及誤差指標(biāo)MSEI 的大小有明顯影響。