基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃

扶先輝，黎景輝，朱一心

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃

扶先輝1，黎景輝2，朱一心3

（1．東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2．河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 475004；3．首都師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048）

為促進(jìn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在國(guó)家基礎(chǔ)研究和培養(yǎng)創(chuàng)新人才中發(fā)揮更好作用，使沒(méi)有機(jī)會(huì)進(jìn)入一流大學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生也能有機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)深入的數(shù)學(xué)，設(shè)計(jì)了一套適合中國(guó)國(guó)情的一流本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃．具體說(shuō)明了課程計(jì)劃的使用方法和可選用課本．該課程計(jì)劃內(nèi)容齊全、接近國(guó)內(nèi)外高水平數(shù)學(xué)院系水平、階梯安排具靈活性．學(xué)習(xí)該課程計(jì)劃，對(duì)成為優(yōu)秀的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者和創(chuàng)新人才有所幫助．

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；課程計(jì)劃；分析；代數(shù)

1 問(wèn)題提出

扎實(shí)的基礎(chǔ)科學(xué)研究是建設(shè)世界科技強(qiáng)國(guó)的基石．技術(shù)“卡脖子”問(wèn)題根源在基礎(chǔ)研究薄弱上．?dāng)?shù)學(xué)則是基礎(chǔ)研究的基礎(chǔ)，是其它科學(xué)研究的主要工具．同時(shí)，數(shù)學(xué)也是自然科學(xué)語(yǔ)言和精密工藝的基礎(chǔ)．為了大幅度提升原始創(chuàng)新能力，深化基礎(chǔ)科學(xué)研究，需要培養(yǎng)一批具有高水平數(shù)學(xué)知識(shí)和創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)研究人才．進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)中國(guó)非常重視基礎(chǔ)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)，在一流高校設(shè)置了各類人才的培養(yǎng)計(jì)劃．例如教育部的強(qiáng)基計(jì)劃[1]，基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃[2]和雙一流學(xué)科[3]，都包括數(shù)學(xué)學(xué)科的人才培養(yǎng)計(jì)劃．沒(méi)有進(jìn)入這些專門(mén)計(jì)劃的數(shù)學(xué)院系，也多按照自己的能力舉辦一些實(shí)驗(yàn)班（卓越班），以幫助有志于學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的青年學(xué)生，追趕強(qiáng)基拔尖計(jì)劃的水平．

中國(guó)的文明和文化，不同于西歐以及從地中海、印度地區(qū)，在人才培養(yǎng)和科學(xué)、工程的發(fā)展上，只能走中國(guó)特色的道路．可以從兩位優(yōu)秀科學(xué)家的生平來(lái)管窺這條道路．一位是雜交水稻事業(yè)的開(kāi)創(chuàng)者和領(lǐng)導(dǎo)者袁隆平先生．袁隆平1953年畢業(yè)于地處重慶的西南農(nóng)學(xué)院，分配到偏遠(yuǎn)落后的湘西雪峰山麓安江農(nóng)校教書(shū)．1964年開(kāi)始雜交稻研究．1971年春進(jìn)湖南省農(nóng)業(yè)科學(xué)院雜交稻研究協(xié)作組工作，后來(lái)在雜交水稻培養(yǎng)方面作出了卓越貢獻(xiàn)．另一位是大數(shù)學(xué)家華羅庚先生．1922年，12歲的華羅庚先生進(jìn)入金壇縣立初級(jí)中學(xué)．1925年初中畢業(yè)，因拿不出學(xué)費(fèi)而回家?guī)椭赣H料理雜貨鋪，故一生只有初中畢業(yè)文憑．此后，他用5年時(shí)間自學(xué)了高中和大學(xué)低年級(jí)的全部數(shù)學(xué)課程．1930年清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任熊慶來(lái)了解華羅庚的自學(xué)經(jīng)歷后，舉薦華羅庚進(jìn)入清華大學(xué)圖書(shū)館擔(dān)任館員．1931年，華羅庚任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系助理．1933年升任助教，1938年任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授．袁先生的經(jīng)歷表明，非一流學(xué)校的畢業(yè)生，也可以有機(jī)會(huì)做出偉大的工作，即便不是在設(shè)備最先進(jìn)的研究所，也可以有創(chuàng)新的成就．并且基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是可以自學(xué)的．研究基礎(chǔ)課程計(jì)劃的目的就是要為非一流學(xué)校的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者提供幫助，詳細(xì)介紹基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃和所需書(shū)目．

人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，需要在思考實(shí)驗(yàn)上花相當(dāng)多的時(shí)間，這種思考實(shí)驗(yàn)常常發(fā)生在和師友的討論或自己的深思和閱讀中．因此，不論是否接受課堂教學(xué)、是否有導(dǎo)師指導(dǎo)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很大程度上是自學(xué)的．于是一個(gè)好的恰當(dāng)?shù)幕A(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，對(duì)學(xué)習(xí)者有重要的指導(dǎo)作用．考慮到國(guó)情，設(shè)計(jì)一個(gè)立足中國(guó)實(shí)際的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，對(duì)于解決學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題、培養(yǎng)有中國(guó)特色的世界一流數(shù)學(xué)人才隊(duì)伍是非常有必要的．

“十四五”規(guī)劃綱要明確指出“深入推進(jìn)全民閱讀”[4]，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)提供強(qiáng)大精神動(dòng)力和文化支撐．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，也是一個(gè)數(shù)學(xué)閱讀指南，可以幫助學(xué)習(xí)者完成高級(jí)數(shù)學(xué)閱讀任務(wù)．

一流的大學(xué)，有一流的數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，以培養(yǎng)優(yōu)秀人才．然而有很多沒(méi)有機(jī)會(huì)進(jìn)入一流大學(xué)的年輕人，仍然有強(qiáng)烈的興趣學(xué)習(xí)深入的數(shù)學(xué)內(nèi)容．建立基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃可以支持幫助這些年輕人的發(fā)展，為有志于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)者提供學(xué)習(xí)指導(dǎo)．事實(shí)上基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，中學(xué)生也可以學(xué)習(xí)，第一階段的課程就在國(guó)內(nèi)的一些中學(xué)試行過(guò)．實(shí)踐表明，只要給他們指出一條路，很多年輕人是可以學(xué)好數(shù)學(xué)的，使得他們有機(jī)會(huì)不負(fù)韶華為國(guó)家科技創(chuàng)新作出更多貢獻(xiàn)．

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的內(nèi)容不是時(shí)尚產(chǎn)品，不會(huì)緊隨市場(chǎng)而改變的，它是一種可以畢生使用的學(xué)問(wèn)．學(xué)習(xí)高水平的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，可以增加年輕人謀求職位的機(jī)會(huì)或滿足進(jìn)一步深造的條件．特別是在進(jìn)入專門(mén)研究工作后，無(wú)論最后從事哪一個(gè)專業(yè)，核心的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)功底便可能成為其研究的硬功夫．相信通過(guò)高水平數(shù)學(xué)課程計(jì)劃學(xué)習(xí)獲得的實(shí)力，會(huì)有助于學(xué)生進(jìn)入好的研究工作．

一般建議，在讀本科學(xué)生不應(yīng)該把考研當(dāng)作單純的考試而進(jìn)行操練．恰當(dāng)?shù)膽B(tài)度是把考研當(dāng)作是四年學(xué)習(xí)的總結(jié)匯報(bào)，能夠說(shuō)清楚學(xué)了什么內(nèi)容、相互有什么聯(lián)系．學(xué)過(guò)一個(gè)高水平的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃，會(huì)提高自己系統(tǒng)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的能力，因而便有了值得總結(jié)匯報(bào)的內(nèi)容．這樣，考研準(zhǔn)備其實(shí)從學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃的一天便開(kāi)始了！不單如此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是只為考試過(guò)關(guān)，一個(gè)好的課程計(jì)劃培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生，應(yīng)該有深厚廣闊扎實(shí)的功底．這樣學(xué)生才有堅(jiān)定的自信心、強(qiáng)大的適應(yīng)性、充足的后勁力，去競(jìng)爭(zhēng)、發(fā)展和創(chuàng)新．

要以科學(xué)的態(tài)度對(duì)待科學(xué)，以真理的精神追求真理．要讓數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科在社會(huì)主義建設(shè)中發(fā)揮新時(shí)代的科學(xué)價(jià)值，為國(guó)家現(xiàn)代化創(chuàng)新建設(shè)提供新的選擇，為中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生存提供保障．因此要為各階層的年輕人提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助和指導(dǎo)．

2 課程計(jì)劃內(nèi)容及使用說(shuō)明

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃基于以下兩方面的思考．一方面要求課程計(jì)劃內(nèi)容齊全，水平接近國(guó)內(nèi)外高水平數(shù)學(xué)院系的基礎(chǔ)課程．另一方面要求課程計(jì)劃的學(xué)習(xí)具靈活性．因此課程計(jì)劃是按階梯進(jìn)行安排，而非按年級(jí)劃分．就是說(shuō)有能力的二年級(jí)學(xué)生可以學(xué)習(xí)三階的課程．一個(gè)形象的比喻是把這個(gè)課程計(jì)劃看成一趟從廣州開(kāi)往北京的列車；中間有很多個(gè)站．學(xué)生上一門(mén)課程就好像坐了這列車的一段路程，比如說(shuō)，從長(zhǎng)沙到武漢．有些學(xué)生把所有的課都念了，就好像坐全程，從起始站坐到終點(diǎn)站．有些學(xué)生只坐幾段，因?yàn)樗衅渌枨?，需要花時(shí)間學(xué)習(xí)其它的應(yīng)用數(shù)學(xué)或計(jì)算數(shù)學(xué)．學(xué)生亦可以按自已的興趣，在導(dǎo)師指引下從這個(gè)課程計(jì)劃中選課．這樣的課程計(jì)劃就好像園中大樹(shù)的樹(shù)干，可以作為數(shù)學(xué)院系的學(xué)科基本參考，數(shù)學(xué)院系的其它課程可以看成課程計(jì)劃的補(bǔ)充．有條件的數(shù)學(xué)院系可以為實(shí)驗(yàn)（或卓越）班開(kāi)設(shè)整個(gè)課程計(jì)劃，或用這個(gè)課程計(jì)劃構(gòu)造本碩連讀的課程．至于教學(xué)力量較弱的院系，可以從這個(gè)課程計(jì)劃中選擇一部分課程，開(kāi)設(shè)小實(shí)驗(yàn)班，例如，為四年級(jí)學(xué)生開(kāi)課程計(jì)劃中的一階課程．具體的四階課程計(jì)劃及其選用課本如表1所示．

表1 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)四階課程計(jì)劃及其選用課本

3 評(píng)述

先給出以下4點(diǎn)說(shuō)明．

第一，借用課程選用的教材來(lái)陳述課程計(jì)劃中基礎(chǔ)數(shù)學(xué)達(dá)到的水平，并以此說(shuō)明課程計(jì)劃是由高水平的課程組成的．從選用教材上可以確信，通過(guò)課程計(jì)劃培養(yǎng)出來(lái)的是有創(chuàng)新實(shí)力的優(yōu)秀人才，由此建立課程計(jì)劃的品牌．學(xué)習(xí)過(guò)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的人，對(duì)比自己的學(xué)習(xí)與研究經(jīng)歷，可以確定，課程計(jì)劃將對(duì)得起使用它的學(xué)生，成為學(xué)生成就創(chuàng)新事業(yè)道路上重要的基礎(chǔ)．

第二，課程計(jì)劃中選用的課本是選取的樣例，并不是唯一選擇．

第三，可能有人會(huì)認(rèn)為課程計(jì)劃包含了太多代數(shù)內(nèi)容．因此建議其他老師多寫(xiě)幾個(gè)不同的課程計(jì)劃，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)選擇各種不同的、更適合自己的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃．

第四，課程計(jì)劃體現(xiàn)以下兩個(gè)觀點(diǎn)．文[5]指出：一方面新的數(shù)學(xué)成果不停涌現(xiàn)，另一方面中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容停留在19世紀(jì)，大學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容基本上是50年前的，因此建議將20世紀(jì)的數(shù)學(xué)適當(dāng)?shù)匕才旁诖髮W(xué)課程里．文[6]中指出：為了加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的連接，應(yīng)當(dāng)還原中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性．

下面按課程計(jì)劃的次序依次介紹所選的教材，并對(duì)課程計(jì)劃給出詳細(xì)的說(shuō)明．

2.3 超聲診斷科醫(yī)生建議 置管后前3周進(jìn)行每周1次的床旁血管超聲篩查，根據(jù)患者癥狀和血管超聲檢查以便早期識(shí)別靜脈血栓及時(shí)給予處理。

3.1 微積分

在任意一個(gè)書(shū)店網(wǎng)站輸入微積分或數(shù)學(xué)分析這兩個(gè)詞，都會(huì)搜索到很多教材．仔細(xì)辨別，可以發(fā)現(xiàn)它們基本上是一樣的，只是在一些技巧性內(nèi)容的選擇上有些差異．課程設(shè)計(jì)中選擇的分析教材是王昆揚(yáng)編寫(xiě)的《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析》．這是一本獨(dú)具特色的優(yōu)秀分析教材．它把20世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的核心基礎(chǔ)說(shuō)清楚了，而不是一本微積分考題技倆的集成．從這本書(shū)開(kāi)啟分析的學(xué)習(xí)，學(xué)生不會(huì)在不同課程中重復(fù)學(xué)習(xí)同一概念而浪費(fèi)時(shí)間．除了在北京師范大學(xué)，王昆揚(yáng)還多次在北京和青島的中學(xué)為中學(xué)生講授此教材，取得很好的效果．這本書(shū)有兩個(gè)特色．一是把實(shí)數(shù)域定義為有理數(shù)域的完備化，這和Bourbaki的做法一樣，不像大多數(shù)教材用的Dedekind方法那樣費(fèi)解，并為以后泛函分析和代數(shù)數(shù)論遇到完備化問(wèn)題作好準(zhǔn)備．二是直接講Lebesgue積分，這是比Riemann積分更好的理論，這也為課程計(jì)劃一開(kāi)始就引入測(cè)度論提供了機(jī)會(huì)．作為使用該書(shū)的意見(jiàn)，建議在第三章之后補(bǔ)充習(xí)題3.4中第5題至第8題的證明．因?yàn)闅v史的原因，在工程和物理學(xué)中的很多應(yīng)用是用Riemann積分處理的，金融數(shù)學(xué)的課本中亦常用Riemann積分來(lái)說(shuō)明隨機(jī)積分．因此可以在第三章之后補(bǔ)充一些Riemann積分應(yīng)用的例題，如可以參考復(fù)旦大學(xué)主編的《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)的第三章和第六章．

3.2 線性代數(shù)

3.3 代數(shù)結(jié)構(gòu)

所選也是一本幾乎獨(dú)一無(wú)二的小書(shū)．作者僅用了二百多頁(yè)便介紹了群、環(huán)、模和代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)以滿足學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)、分析和代數(shù)幾何學(xué)的需要．這本書(shū)的驚人優(yōu)點(diǎn)是速度與深度的兼顧．要補(bǔ)充的是范疇學(xué)的基本知識(shí)，為此可以參考李文威《代數(shù)學(xué)方法》[8]卷一前兩章．作為所選書(shū)第III章的輔助，建議參考Michael Artin的Algebra[9]第十四章．如果希望多認(rèn)識(shí)一些群的例子，推薦Michael Artin的Algebra[9]第六、七章，那里討論了二十面體群．關(guān)于二十面體群的數(shù)學(xué)并不簡(jiǎn)單．朗蘭茲綱領(lǐng)的第一個(gè)非凡情況：GL(2, Q)對(duì)應(yīng)的唯一未解決的情況，就是關(guān)于二十面體群的．代數(shù)幾何學(xué)大師Michael Artin是代數(shù)學(xué)大師Emil Artin的兒子；中國(guó)第一代的代數(shù)學(xué)家對(duì)Chevalley和Emil Artin并不陌生，也許聽(tīng)過(guò)他們的課[10]．李文威《代數(shù)學(xué)方法》的水平比所選的教材高．學(xué)哪一套書(shū)，就看求學(xué)人的能力．借此也說(shuō)明了所選教材只是例子，并不是絕對(duì)唯一的．

3.4 流形微積分

透過(guò)微分流形這門(mén)課，學(xué)習(xí)者將第一次遇到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基本概念：局部與整體的對(duì)立．正如陳省身先生在北京大學(xué)講義中所說(shuō)的“流形內(nèi)的坐標(biāo)是局部的，本身沒(méi)有意義；研究整個(gè)流形的主要目標(biāo)是，研究那些經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸變換而保持不變的性質(zhì)”．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃選用的是陳維恒的《流形上的微積分》．這本書(shū)第一章的內(nèi)容已經(jīng)在二階上學(xué)期的拓?fù)鋵W(xué)課程中學(xué)過(guò)．可以從第二章“光滑結(jié)構(gòu)”開(kāi)始學(xué)習(xí)．學(xué)習(xí)第三章“積分”，可以與一階的《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析》的第五章作詳細(xì)比較．學(xué)習(xí)完第四章，若還有能力，便可以看Grigoryan[11]的前三章．這樣在拓?fù)鋵W(xué)和積分方面承繼了前面的學(xué)習(xí)．陳維恒和陳省身合寫(xiě)的《微分幾何講義》，后面也會(huì)用到．以后學(xué)了泛函分析之后，又可以繼續(xù)讀Grigoryan[11]的書(shū)．如此二階流形微積分的這個(gè)安排，可以說(shuō)是啟后了．

3.5 復(fù)分析

可以找到很多關(guān)于復(fù)變函數(shù)論的教科書(shū)．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃中所選的是世界一流的分析學(xué)家Ahlfors（1936年獲菲爾茲獎(jiǎng)）經(jīng)過(guò)26年3次修改的著作．全書(shū)內(nèi)容豐富、清楚、無(wú)錯(cuò)、易讀．不過(guò)在讀第八章之前，建議讀Forster的黎曼面，學(xué)習(xí)黎曼面是急不得的．Forster的書(shū)不厚，條理分明容易學(xué)習(xí)．例如在第一章第6節(jié)只用了4頁(yè)文字，便把全書(shū)需要的層論說(shuō)清楚了．學(xué)習(xí)單復(fù)變函數(shù)論必須學(xué)習(xí)黎曼面，因?yàn)橄駥?duì)數(shù)函數(shù)log或微分方程的Riemann-Hilbert對(duì)應(yīng)等，離開(kāi)黎曼面是理解不清楚的．

3.6 拓?fù)鋵W(xué)

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃中安排拓?fù)鋵W(xué)課程，目的是討論連續(xù)映射的基本性質(zhì)，這些性質(zhì)出現(xiàn)在分析、微分方程、微分幾何、代數(shù)幾何和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中，因此拓?fù)鋵W(xué)是整個(gè)課程計(jì)劃中不容忽視的關(guān)鍵課程．在第二階段上學(xué)期開(kāi)設(shè)拓?fù)鋵W(xué)，是為了后期學(xué)習(xí)復(fù)分析、泛函分析、同調(diào)論、同倫論等課程時(shí)，不用重復(fù)學(xué)習(xí)初等拓?fù)涓拍睿瑥亩?jié)約了學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間．拓?fù)鋵W(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在它基礎(chǔ)上才可以談連續(xù)、序列收斂、極限和層．從一條“連續(xù)”絲線的直觀，推廣到一個(gè)集的拓?fù)?，直至以層為?duì)象的范疇，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)不可思議的創(chuàng)舉．目前最佳的教材是江輝有的《拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》．這本書(shū)包含了學(xué)生在這個(gè)階段應(yīng)學(xué)好的大部分內(nèi)容．

3.7 域論

3.8 微分幾何

有了微分流形之后，一方面可以研究流形上的微分方程理論和變分理論，另一方面還可以驗(yàn)證陳省身先生在北京大學(xué)講義中所說(shuō)的“微分幾何的主要問(wèn)題是整體性的”，即研究關(guān)于整個(gè)空間的性質(zhì)．向量叢便是流形上的整體結(jié)構(gòu)；在微分流形上最重要的向量叢是切叢，連絡(luò)便是切叢的微分算子．陳先生的書(shū)就是這樣展開(kāi)他的微分幾何觀點(diǎn)的．不論日后的專業(yè)是什么，學(xué)生在這個(gè)階段讀陳先生的講義必受益非淺．若有興趣和三維空間的曲線和曲面作比較，還可看Do Carmo[18]．可能有人覺(jué)得陳先生講的張量分析有點(diǎn)舊，但這對(duì)于閱讀Atiyah（1966年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Donaldson（1986年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Drinfeld（1990年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Hitchin、Manin和Witten（1990年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、楊振寧（1957年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）等人關(guān)于數(shù)學(xué)物理的文章會(huì)有幫助；此外前面建議的Grigoryan[11]談微分幾何的泛函分析方法也可以作為講義的補(bǔ)充．

3.9 泛函分析

20世紀(jì)下半葉是泛函分析發(fā)展至成熟的時(shí)代，今天不同教師對(duì)學(xué)生泛函分析基本知識(shí)的要求有很大不同．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃選用北京大學(xué)張恭慶的講義，這是一本公認(rèn)的優(yōu)秀教材．在選材、安排和文字上都可見(jiàn)作者花費(fèi)的心思．學(xué)完上冊(cè)，可學(xué)下冊(cè)或改學(xué)變分學(xué)[19]和Morse理論Milnor[20]（1962年獲菲爾茲獎(jiǎng)）．變分學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)偏微分方程、力學(xué)、量子場(chǎng)論、楊振寧—米規(guī)范場(chǎng)（Clay Mathematics Institute關(guān)于楊振寧—米規(guī)范場(chǎng)的存在性和質(zhì)量間隔假設(shè)的問(wèn)題）都有用．若要學(xué)習(xí)線性拓?fù)淇臻g的正或反極限和各種張量積可以看Grothendieck（1962年獲菲爾茲獎(jiǎng)）的原著，或者學(xué)習(xí)Treves[21]，這些內(nèi)容常見(jiàn)之于表示論和進(jìn)表示論上．

3.10 同調(diào)論

選用的教材是研究者多年在北京大學(xué)講課中磨練出來(lái)的．該書(shū)使用奇異同調(diào)建立拓?fù)淇臻g同調(diào)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)（Eilenberg-Steenrod公理），然后以胞腔同調(diào)處理計(jì)算，再建立同調(diào)的乘積理論，最后證明胞腔流形的Poincare對(duì)偶，補(bǔ)充了Griffiths-Harris的代數(shù)幾何原理[22]的不足．這樣，學(xué)生后期就會(huì)理解著名的Riemann ζ函數(shù)（甚至更一般的L函數(shù)）的函數(shù)方程是從一個(gè)同調(diào)的Poincare對(duì)偶得出的（而不只是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的計(jì)算），有助于了解ζ函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即代數(shù)數(shù)論里不能沒(méi)有代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)．

3.11 同倫論

選的是Aguilar、Gitler和Prieto的《同倫論》，這是為本科生寫(xiě)的新教材．與經(jīng)典教材（如Whitehead[23]）相比，這本書(shū)比較容易閱讀．書(shū)中利用同倫群再討論胞腔同調(diào)，加深了上學(xué)期所學(xué)的同調(diào)論的認(rèn)識(shí)．內(nèi)容包含了學(xué)習(xí)代數(shù)K理論（如文[24]）所需的同倫論基本知識(shí)，亦為進(jìn)一步學(xué)習(xí)單純拓?fù)鋵W(xué)[25]作好準(zhǔn)備．此外還可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)Quillen（1978年獲菲爾茲獎(jiǎng)）的同倫代數(shù)、Voevodsky（2002年獲菲爾茲獎(jiǎng)）的原相同倫論和Lurie（2014年獲數(shù)學(xué)突破獎(jiǎng)）的同倫代數(shù)幾何學(xué)．

3.12 調(diào)和分析

中國(guó)一向重視調(diào)和分析（Fourier分析）教研，早年有陳建功[26]、華羅庚[27]等名著作為佐證．因該理論廣泛應(yīng)用在工程計(jì)算上，故高等教育出版社也出版過(guò)一些從俄文翻譯過(guò)來(lái)的教材．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃中選的是美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)出版的為高年級(jí)本科生寫(xiě)的較新教材，這本書(shū)也同時(shí)包含F(xiàn)ourier分析和小波理論．建議有能力的學(xué)生同時(shí)參考Grafakos[28]，特別是第六章、第十章及第十一章內(nèi)容．當(dāng)然，這些書(shū)與前沿研究是有距離的．學(xué)生可以向所在院校的教師請(qǐng)教或上網(wǎng)咨詢．例如若想探討和高維Luzin猜測(cè)相關(guān)的，如Bochner-Riesz猜測(cè)、Kakeya猜測(cè)、限制性猜測(cè)及局部光滑性猜測(cè)，可以到陶哲軒（Terry Tao）的網(wǎng)站看相關(guān)文章，并通過(guò)這些資料找到研究這些問(wèn)題的專家．每年還有獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)做Fourier分析的工作者，如Salem獎(jiǎng)，有人說(shuō)Salem獎(jiǎng)是菲爾茲獎(jiǎng)的預(yù)備獎(jiǎng)，Charles Fefferman、Jean Bourgain、Jean-Christophe Yoccoz、Curtis T McMullen、Terence Tao、Stanislav Smirnov、Elon Lindenstrauss等都是獲得Salem獎(jiǎng)后又獲得菲爾茲獎(jiǎng)的．與此相關(guān)的另一個(gè)方向，是把歐氏空間的調(diào)和分析推廣至李群和齊性空間上，在這方面取得成就的人有Weyl、Harish-Chandra、Langlands、Atiyah、W Schmid、Kashiwara等．

3.13 偏微分方程

中國(guó)幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)院系都有偏微分方程的專家，有些院系甚至幾乎所有老師都是研究偏微分方程的，因此很難說(shuō)哪一本書(shū)是大家都認(rèn)可的最佳偏微分方程教科書(shū)．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃不是為偏微分方程專業(yè)的學(xué)生選教材，而是針對(duì)任意一個(gè)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的學(xué)生，如學(xué)數(shù)論的，學(xué)群表示論的，學(xué)D模的．為此選了一本比較新的、覆蓋面更一般的、由美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)出版的書(shū)，在這本Evans所著的書(shū)中，學(xué)生可以重溫上學(xué)期學(xué)過(guò)的泛函分析和變分學(xué)．看完Evans的書(shū)后，建議讀H?rmander（菲爾茲獎(jiǎng)1962年）的書(shū)[29]，一本完全不同的優(yōu)秀作品．當(dāng)然這些書(shū)只包含數(shù)學(xué)院系學(xué)生的基礎(chǔ)微分方程知識(shí)．進(jìn)一步，可以學(xué)習(xí)隨機(jī)微分方程（金融期權(quán)定價(jià)、隨機(jī)Keller-Segel模型等）、動(dòng)力系統(tǒng)（其中的遍歷理論、分岔理論）、力學(xué)、流體力學(xué)（Clay Mathematics Institute關(guān)于Navier-Stokes方程的存在唯一性問(wèn)題）、天體力學(xué)（可以讀名家Lagrange、Poincare、Birkhoff、Siegel、Chandrasekhar（1983年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）等人的作品），最后學(xué)D模和微分方程代數(shù)理論．

3.14 交換代數(shù)

選用一本很精簡(jiǎn)易懂的課本．為補(bǔ)充一些交換代數(shù)的經(jīng)典代數(shù)幾何起源，建議讀Kunz[30]的書(shū)．若興趣、時(shí)間和能力許可，Bourbaki、Algèbre commutative[31]（共十章和極豐富的習(xí)題）的書(shū)是無(wú)可代替的．

3.15 代數(shù)幾何

代數(shù)幾何學(xué)有兩種味道．一種是承繼十九世紀(jì)德國(guó)和意大利代數(shù)幾何家的工作，詳細(xì)研究一個(gè)代數(shù)簇的性質(zhì)，像Zariski[32]、Ueno[33]、Arbarello[34]、Kollar[35]等人的書(shū)．另一種是尋問(wèn)有某種代數(shù)性質(zhì)的對(duì)象及態(tài)射所組成范疇的結(jié)構(gòu)，及其在數(shù)論的應(yīng)用，這是Grothendieck學(xué)派的工作．選用扶磊寫(xiě)的代數(shù)幾何，比較靠近第二種味道．這本書(shū)是為了幫助學(xué)習(xí)他花費(fèi)很多心血所著作品——平展上同調(diào)[36]這是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃中高度推薦的書(shū)．在Hartshorne[37]或Griffiths-Harris[22]中，可以找到很多經(jīng)典的實(shí)例．讀完扶磊這兩本書(shū)的學(xué)生，可能會(huì)有Clay Mathematics Institute關(guān)于Riemann猜想的問(wèn)題有沒(méi)有幾何意義，或怎樣證明Hodge猜想，或BSD猜想的證明的進(jìn)展如何等疑問(wèn)．這樣便開(kāi)始進(jìn)入Deligne（1978年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Faltings（1986年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Drinfeld（1990年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Lafforgue（2002年獲菲爾茲獎(jiǎng)）、Ngo（2010年獲菲爾茲獎(jiǎng)）等人的算術(shù)世界了．

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)中國(guó)目前很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃并不是一個(gè)容易完成的計(jì)劃．但正因?yàn)槿绱耍晒ν瓿蛇@個(gè)計(jì)劃的學(xué)生一定是優(yōu)秀人才．

[1] 中華人民共和國(guó)教育部．關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)[EB/OL]．（2020-01-14）[2022-07-20]．http://www.moe.gov.cn/srcsite/A15/moe_776/s3258/202001/t20200115_415589.html．

[2] 教育部等六部門(mén)．關(guān)于實(shí)施基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見(jiàn)[EB/OL]．（2018-10-08）[2022-07-20]．http://www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/201810/t20181017_351895.html．

[3] 教育部、財(cái)政部、國(guó)家發(fā)展改革委．教育部財(cái)政部國(guó)家發(fā)展改革委關(guān)于公布世界一流大學(xué)和一流學(xué)科建設(shè)高校及建設(shè)學(xué)科名單的通知[EB/OL]．（2017-09-08）[2022-07-21]．http://www.moe.gov.cn/srcsite/A22/moe_843/201709/t20170921_314942.html．

[4] 新華社．中華人民共和國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要[EB/OL]．（2021-03-13）[2022-07-21]．http://www.gov.cn/xinwen/2021-03/13/content_5592681.htm．

[5] 黎景輝．關(guān)于數(shù)學(xué)教育知識(shí)鏈的傳遞問(wèn)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（1）：9-15．

[6] 馮淑霞，黎景輝，梁志斌，等．中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別對(duì)學(xué)習(xí)和教學(xué)的影響（上）[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（3）：1-6．

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A Curriculum and Study Plan for Basic Mathematics

FU Xian-hui1, LAI King Fai2, ZHU Yi-xin3

(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Zhengzhou 475004, China;3. School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

In order to promote basic mathematics to play a better role in national basic research and cultivate innovative talents, so that students who do not have the opportunity to enter first-class universities can also have the opportunity to learn in-depth mathematics, this paper designs a set of curriculum and study plans for basic mathematics suitable for China’s national conditions, which is appropriate for a first-class undergraduate program in China. The plan specifies how to use the lesson plan and the textbooks available. The course plan is complete in content, close to the level of high-level mathematics departments at home and abroad, and the ladder arrangement is flexible. Learning this study plan will help you become an excellent basic math learner and innovative talent.

basic mathematics; curriculum plan; mathematical analysis; algebra

2023–02–21

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目——理想逼近與函子范疇（12071064）

扶先輝（1978—），男，江西大余人，教授，主要從事表示論與同調(diào)理論研究．

G640

A

1004–9894（2023）04–0085–05

扶先輝，黎景輝，朱一心．基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程計(jì)劃[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（4）：85-89．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]