以理驅法，基于小數除法體會運算一致性

甘肅武威市涼州區西苑實驗小學（733000） 侯玉蓮

所謂運算一致性，就是算理和算法相互貫通。從本質上說，運算一致性不是指向知識，而是指向方法與思想；不是碎片化，而是對數學知識體系的整體構建與結構化合攏。就小學除法而言，學生可能會誤認為整數、小數、分數除法的算理和算法不一樣。實際上，通過整體梳理可以找出三者之間的聯系點與一致性，做到前后勾連、環環相扣、整體理解。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出運算教學應體現數學的整體性與一致性。過去，“數的認識”與“數的運算”是兩個主題，現在已經整合為“數與運算”一個主題。這樣的調整為我們提供了新的課改風向標。教師應該認識到并正視運算一致性的重要性，秉持一種“用一根線串起珠子”的教學觀與方法觀，以結構重建的方式進行關聯性開發，將零散的知識內容串起來，這樣才能為學生學習力的提升提供建設性思路。

一、梳理教材尋找支點

當下的數學教學中，“唯教材是從”的現象仍然存在。基于教材推進教學的優勢是能夠抓住重難點完成教學任務。但弊端也是顯而易見的，即缺乏整體，知識與知識、單元與單元之間不能關聯在一起。教師不一定要“唯教材是從”。由此，基于學理與算理層面梳理教材、尋找支點成為關鍵。這里的“支點”，在作用上指向“橋梁”作用，能夠貫通前后知識點；在方法上指向舉一反三，做到由零散呈現過渡到本質勾連。

人教版教材的“小數除法”單元安排了五道例題，兼顧了小數除法的不同類型。其中“除數是整數的小數除法”比較簡單，只需注意小數點的位置；“一個數除以小數”注重商不變的性質；“商的近似數”注重“四舍五入”；“循環小數”注重循環節；“用計算器探索規律與解決問題”重在實踐、應用與印證。盡管這樣的編排分類細致，由易到難，但給學生留下了“難度很大”的印象。教師不妨整體把握，將單元分為兩個課時：“除數是整數的小數除法”和“除數是小數的小數除法”。這兩個課時相互融合（前者是后者的基礎及應用，后者可以看作是前者的變式），算理相同（將計數單位不斷細分），完全可以通過轉化思想展現運算的一致性，達到構建“知識樹”的目的。厘清小數除法的算理是貫通整數除法和小數除法的支點。教師應該基于單元教學框架，從整體上對教學內容進行優化重組（如圖1）。

圖1

將五道例題的教學分為兩個關鍵課時，一方面在于整體建構知識，另一方面在于解決問題。從整數除法到小數除法，再到后期的分數除法，有超越單個范疇、可綜合運用的大概念，可以通過總體的算理貫穿各自的算法，不是簡單意義上的增減，而是知識結構上的簡化。其中，感悟小數除法與整數除法的一致性不可或缺。

二、分析學情找準切入點

1.化繁為簡，算式導入

對教材的結構性整合，首先從知識的導入開始。在“小數除法”中，人教版教材編排了跑步的情境為導入環節，但缺乏支撐性的算理情境——千米和米之間的單位換算情境。筆者經過思考，決定先設計兩道前測題，對學生的小數除法計算能力進行測試并分析。

前測1：小吳用22.4 元買了4 支筆，每支筆的價格是多少？請寫出計算過程并說出理由。

前測2：22.4÷4=（ ），將商填在括號中并說出理由。

經過統計與分析，筆者發現平均正確率超過了97%，這意味著絕大多數學生計算“22.4÷4”已不存在問題，通過情境提供思考的框架其實意義不大。筆者進一步調研發現，借助“元、角、分”進行單位轉化的學生少之又少。這說明學生已經有了由抽象到形象的運算能力，情境的作用較弱。因此，通過生硬的情境引入新知識的方式應該舍棄，直接從運算的一致性導入新課反而是有效的方式。

2.分析起點，構想策略

為透徹了解學生的學習起點，了解學生的前知識結構，考查學生對除法算理的掌握情況，知曉學生遇到的困難，筆者以算式“16÷5”為切入點進行測試。通過學生的解題過程，分析學生對除法知識的掌握情況，具體內容見表1。

表1 對學生的解題情況的分析

盡管這次測試的正確率為77.8%，但一部分學生是口算或憑借數感得到正確答案的，并未真正理解運算的一致性，未從整體思想出發進行知識遷移與內化。鑒于此，教師應舍棄算法多樣化，重組教學材料，重構教學框架，注重算法、算理的一致性，鋪設一條前后銜接的整體教學之路，實現教學效益的最大化。

三、教學實踐過程

1.口算引入，引發認知沖突

既然有一部分學生不理解算理，那么針對“16÷5”的商究竟是用帶有余數的形式表示，還是用小數表示？教師應從整數除法入手，逐步過渡到小數除法，進行知識脈絡的續接。由此，整數、小數的相關知識勾連在一起，為教學運算一致性埋下伏筆。

比如，口算“16÷5”“9÷4”，學生很容易地得出結論為16÷5=3……1，9÷4=2……1。針對余數，教師不妨質疑：“有余數的除法是舊知識，有別的答案嗎？個別同學的答案中有小數，是否正確？”這些計算題看似簡單，實則是整數除法到小數除法的過渡。其中，對余數的質疑比較關鍵，能促使學生產生究竟要不要繼續細分“1”的念頭。這樣的思考指向溯源性思考，使得新舊知識之間有了聯系，便于學生建立新的認知結構，這正是運算一致性的體現。

2.多元表征，體會算理原理

細致分析學生在計算“16÷5”時出錯的原因，是因為不知道怎么處理余數“1”，即學生缺乏對運算一致性的整體把握與理解。教師不妨引領學生認真觀察豎式特征，通過多元表征，完成前后知識的勾連。

讓學生先呈現用豎式計算的過程，再把想法畫出來。

圖2是一個學生寫的計算過程。

圖2

教師提出問題：“你為什么這么寫呢？”這個學生因為已經理解了其中的算理，所以脫口而出：“我把余下的1看成了10個0.1。”教師在肯定的同時進一步追問：“那么，2 呢？”這個學生稍作思考后說出過程及理由：“既然10 個0.1 除以5 的結果是2 個0.1，那么3后面點上小數點就是必然的，而2寫在十分位上也是必然的，因為這里表示的是2個0.1。”

上述過程彰顯著新舊知識的聯結，彰顯著運算一致性的貫通，引發了學生的層層思考，調動了學生的已有經驗，進行多元表征。從表面上看，是一位數變成兩位數，實際上，計數單位更小，這正是小數的意義。這種不斷細分的過程，無疑是計算整數、小數乃至分數除法時都要經歷的過程。

3.遷移推理，感受運算本質

在小數除法算理教學中，教師不能只關注把幾個一轉化成幾十個十分之一，還要秉持舉一反三與遷移推理的原則，引領學生不斷細分，從一次到多次，貫通所有的小數除法算理，真正達到“一通百通”的效果。

例如，在計算“9÷4”時，學生的豎式中出現了1與2，教師不失時機地追問這兩個數表示的意義，學生通過討論意識到，既然1 這個計數單位不夠分了，那么就必須繼續細分，從而產生一個新的計數單位——0.1。照此推理，余幾個0.01，可以繼續添0，變成幾個0.001，不斷細分，直到解決問題為止。這不就是整數除法的規律嗎？由此，學生發現了兩者之間的聯通點。

從直觀形象的小數除法豎式入手，學生不難理解細分的意義和作用，當然也認識到“數的意義”與“數的運算”之間的關聯，前者為后者的基礎，后者是對前者的再應用與佐證。同時，學生也理解數的表示與運算方法的一致性，整數除法與小數除法在算理上的一致性。這樣的遷移推理不應小覷，應視作運算教學中的一個重點而大力應用。

4.對比梳理，凸顯算理一致

從上述計算中，學生已經理解：無論是整數除法還是小數除法，“被除數和除數同時乘或除以相同的數（0 除外），商不變”的原理是通用的。那么，學生在計算時完全可以將新知轉化為舊知。當然，前提是讓學生理解轉化的原理。學生一旦理解了算理，確定小數點的位置就變得容易了。筆者的做法是通過兩次對比進行梳理。

第一次對比，讓學生計算并觀察“1.6÷0.5”和“16÷5”的商，學生想：兩個算式的商是一樣的，是因為整數除法中商不變的性質在小數除法中也是適用的。

第二次對比，展示學生完成的幾組除法豎式（包括錯解，如圖3），通過對比、歸納、匯報、交流，體會運算一致性。

圖3

從對比中，學生發現把“9÷0.4”看成“90÷4”，實際上就是利用了商不變的性質。而“商不變”的關鍵在于除數與被除數必須要同時變化，如果只有其中一個數變化，就會出現錯位，過渡到小數，就會出現小數點位置點錯的問題。可見，理解了整數除法的意義、算法、算理，轉化思想的滲透就自然而然達成了，循著轉化這一路徑，明算理，清算法，學生辨析錯解變得容易，得出正確答案也變得容易。

以上環節用算理貫穿始終，在變中找不變，在“運算一致性”中“多走了幾個來回”，使學生形成科學嚴謹的思維，增強推理意識。可見，整合小數除法單元，梳理知識脈絡，歸納知識體系，總結運算一致性，對學生學習數學很有好處。教師應該進行系統化建構，將單薄斷層變為豐厚連續，為培養學生的數學素養提供支撐力，同時應通過整體的起承轉合，引導學生學以致用，發現數學運算的本質與一致性。