展現(xiàn)思維過(guò)程 探尋問(wèn)題本質(zhì)
——連乘問(wèn)題教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江杭州市錢(qián)塘區(qū)教師教育學(xué)院（310018） 鮑善軍

【課前慎思】

學(xué)生通過(guò)對(duì)比兩步計(jì)算——從已知信息中任選其中兩個(gè)數(shù)相乘，再乘第三個(gè)數(shù)，也能給出連乘的正確答案。那么，連乘問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值是什么？

思考一：課堂教學(xué)目標(biāo)定位——教什么？

簡(jiǎn)單知識(shí)的教學(xué)怎樣才能做到簡(jiǎn)約而深刻？筆者認(rèn)為，首先要充分理解教材編寫(xiě)意圖，基于真實(shí)學(xué)情深入思考起決定性作用的問(wèn)題——“教什么”，以及在運(yùn)用連乘解決實(shí)際問(wèn)題中讓學(xué)生探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提煉解決問(wèn)題的方法，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣化。

波利亞指出，解題的價(jià)值不是答案本身，而在于弄清“是什么促使你這樣想、這樣做的”。學(xué)生解答連乘問(wèn)題沒(méi)有困難，不代表他們能理解算式每一步所表示的意義。教學(xué)中，教師要讓學(xué)生明白先解決什么，再解決什么，把一步乘法、兩步乘法的算式與問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)思考與分析，以免忽略了其背后所承載的價(jià)值。

思考二：教學(xué)活動(dòng)策略選擇——怎么教？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確指出：“學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，形成模型意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)。”課堂教學(xué)應(yīng)緊扣核心知識(shí)，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)、方法形成的思維過(guò)程，厘清相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別，即解決好“怎么教”。

問(wèn)題解決的過(guò)程是學(xué)生思維過(guò)程的展現(xiàn)。強(qiáng)化解決問(wèn)題的思考過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生用多種策略解決問(wèn)題，提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考與解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)會(huì)用兩步連乘解決現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

2.通過(guò)解決問(wèn)題的探究活動(dòng)，培養(yǎng)自主提取信息和解決問(wèn)題的能力，感悟解決問(wèn)題策略的多樣化，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法。

3.在解決問(wèn)題的活動(dòng)過(guò)程中，積累問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，形成初步的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索精神。

【課中深思】

1.收集信息，提出問(wèn)題

（1）開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，揭示課題

師：這節(jié)課，讓我們一起用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中的實(shí)際問(wèn)題。（板書(shū)：解決問(wèn)題）

（2）創(chuàng)設(shè)情境，收集信息

師：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，同學(xué)們排著整齊的方陣走過(guò)來(lái)了。我們來(lái)觀察其中一個(gè)方陣（圖略），你從中看到了什么數(shù)學(xué)信息？

生1：這個(gè)方陣每行有5人，有這樣的4行。

生2：這個(gè)方陣每列有4人，有這樣的5列。

（3）根據(jù)信息，提出問(wèn)題

師（出示圖1）：現(xiàn)在有這樣的3 個(gè)方陣。根據(jù)圖上的信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

圖1

生3：這3個(gè)方陣一共有多少人？

【設(shè)計(jì)意圖】情境的選擇是建立問(wèn)題結(jié)構(gòu)的核心。創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，有利于幫助學(xué)生理解問(wèn)題、激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)。

2.展開(kāi)探究，解決問(wèn)題

（1）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，嘗試探究

①列一列：獨(dú)立思考，列式解決問(wèn)題。

②想一想：你是先解決什么問(wèn)題，再解決什么問(wèn)題的？

③說(shuō)一說(shuō)：完成后，同桌互相說(shuō)一說(shuō)思考的過(guò)程。

【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)不應(yīng)是被動(dòng)接受的，而是自主學(xué)習(xí)和建構(gòu)的過(guò)程。任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生擁有自主探究的空間和時(shí)間，經(jīng)歷獨(dú)立思考后再與他人交流，既能展現(xiàn)學(xué)生的原始思維，又能完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)與合作意識(shí)。

（2）反饋交流，提煉策略

師：哪位同學(xué)來(lái)匯報(bào)一下學(xué)習(xí)成果？需要說(shuō)出你先解決什么問(wèn)題，后解決什么問(wèn)題。

生4：5×4 表示1 個(gè)方陣的人數(shù)（如圖2），我先算1 個(gè)方陣有5×4=20（人），再算3 個(gè)方陣一共有20×3=60（人）。

圖2

師：思路清晰，很棒！還有不同的方法嗎？

生5：5×3 表示1 大行的人數(shù)（如圖3），1 大行有5×3=15（人），有這樣的4 大行，一共有15×4=60（人）。

圖3

生6：我把3 個(gè)方陣豎向排列（如圖4），1 大列有4×3=12（人），有這樣的5 大列，一共有12×5=60（人）。

圖4

師：太厲害了！同樣是解決3 個(gè)方陣的總?cè)藬?shù)問(wèn)題，從不同的角度思考，可以列出不同的算式。仔細(xì)觀察，這些算式有什么共同特點(diǎn)？

生7：這些算式都是兩步乘法。

師：有同學(xué)列出了5×4×3=60（人）的算式，你怎么理解？

生8：這種方法是把生4 的兩步合并成綜合算式，解題思路是一樣的。

師：這其實(shí)就是連乘，也就是我們今天要研究的問(wèn)題。誰(shuí)能用這樣的連乘算式表示生5、生6的方法？

（3）根據(jù)算式，想象方陣

師：根據(jù)4×3×2 這個(gè)算式，你的頭腦中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)怎樣的方陣圖？

生9：每行有4 人，有3 行，有2 個(gè)這樣的方陣。

師：還有不同的方陣圖嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】解決問(wèn)題的過(guò)程中，只知其然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需明白其所以然。借助直觀方陣圖，分解連乘問(wèn)題的含義，展露學(xué)生的思維過(guò)程。學(xué)生用語(yǔ)言清晰表達(dá)思路的同時(shí)，深刻體會(huì)到從不同的角度思考可以列出不同的乘法算式，雖意義不同，然殊途同歸。最后，根據(jù)算式想象方陣，讓學(xué)生體會(huì)連乘算式和實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，這既是對(duì)連乘問(wèn)題的建構(gòu)過(guò)程，也是對(duì)連乘問(wèn)題的解構(gòu)過(guò)程，更是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

3.鞏固提高，融會(huì)貫通

（1）基礎(chǔ)題

小紅堅(jiān)持鍛煉身體，每天跑2 圈。跑道每圈400米，你能算一算她一個(gè)星期跑多少米嗎？

（2）拓展題

超市上周賣(mài)出5 箱保溫壺，每箱裝12 個(gè)，每個(gè)保溫壺售價(jià)45 元。超市上周賣(mài)保溫壺共收入多少錢(qián)？

（3）拔高題

如圖5所示，這個(gè)圖形一共有多少個(gè)正方體？

圖5

（4）培優(yōu)題

根據(jù)圖6和圖7說(shuō)一說(shuō)：（）相當(dāng)于（）。

圖6

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)層次性、多維度。首先，解決跑步問(wèn)題，讓學(xué)生再次體會(huì)連乘問(wèn)題的基本特征。其次，從常規(guī)思考走向非常規(guī)思考，并借助數(shù)形結(jié)合把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)明、直觀。最后，通過(guò)知識(shí)關(guān)聯(lián)，打通“一組題”的本質(zhì)聯(lián)系，融通“一類(lèi)題”的思維結(jié)構(gòu)。

4.課堂回顧，總結(jié)反思

師：這節(jié)課你有什么收獲與體會(huì)？

【課后研思】

一般而言，數(shù)學(xué)教學(xué)要講清三個(gè)問(wèn)題，即“是什么”“為什么”“怎么樣”。鄭毓信教授也指出，我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并讓學(xué)生逐步想得更清晰、更深入、更全面、更合理，由理性思維逐步走向理性精神。在教學(xué)中，教師須立足學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，立足知識(shí)本質(zhì)，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶骄炕顒?dòng)，引領(lǐng)學(xué)生充分體驗(yàn)、自主感悟。

1.展現(xiàn)思維過(guò)程，讓學(xué)生“說(shuō)得清”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，本質(zhì)上是觀察、思考、選擇和整合外部學(xué)習(xí)材料的過(guò)程。教師基于學(xué)情，重構(gòu)素材，實(shí)施任務(wù)驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探究、自主體驗(yàn)，在觀察、思考和表達(dá)的思維過(guò)程中不斷突破原有認(rèn)知，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親近感，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基本含義。“想一想，你是先解決什么問(wèn)題，再解決什么問(wèn)題的？”具有明確要求的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，能促使學(xué)生進(jìn)行深入思考，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度、策略去思考問(wèn)題。反饋交流時(shí)，凸顯“先解決……再解決……”的過(guò)程，讓學(xué)生再次反思解題思路，清晰表達(dá)思維過(guò)程，并通過(guò)不斷的自我調(diào)控，從中獲取解決問(wèn)題的有效策略。如此，學(xué)生就能在“說(shuō)得清”的過(guò)程中，從個(gè)體思維走向群體思維，增強(qiáng)合作交流意識(shí)，積累解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展解決問(wèn)題能力。

2.滲透數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生“理得明”

不少學(xué)生潛意識(shí)中把解決問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)列出算式、計(jì)算結(jié)果的簡(jiǎn)單過(guò)程，而忽略其中思維發(fā)展、方法習(xí)得的豐富內(nèi)涵。對(duì)此，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師為學(xué)生提供自主探究的時(shí)間與空間，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀學(xué)具進(jìn)行交流，深入分析數(shù)量關(guān)系，能進(jìn)一步增進(jìn)學(xué)生對(duì)不同方法的理解。

華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”在教學(xué)中，直觀方陣圖成了學(xué)生思考交流活動(dòng)的有力工具。首先，通過(guò)擺一擺、圈一圈、指一指等直覺(jué)動(dòng)作，學(xué)生在潛移默化中感悟到解決問(wèn)題策略的多樣性，培養(yǎng)了從多角度觀察、多視角思考問(wèn)題的意識(shí)。其次，脫離直觀學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象算式4×3×2 的方陣圖，體會(huì)連乘算式與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系。最后，練習(xí)中的數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生直觀、形象地理解連乘的意義，形成初步的幾何直觀與模型意識(shí)。

3.推進(jìn)“一題一課”，讓學(xué)生“想得透”

所謂“一題一課”，是指通過(guò)對(duì)一個(gè)主題或一組習(xí)題的深入研究，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開(kāi)相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在“一課”中完成“一題”，借“一題”促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性產(chǎn)生深刻的理解，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類(lèi)”的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷自我完善、自我建構(gòu)的過(guò)程。在教學(xué)中，充分利用方陣圖這一素材，通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)的探究活動(dòng)，幫助學(xué)生思考得更加清晰、全面。學(xué)生在遞進(jìn)式的練習(xí)中不斷擴(kuò)充、改造和調(diào)整，明晰連乘問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。在知識(shí)關(guān)聯(lián)時(shí)，學(xué)生回顧解決問(wèn)題的過(guò)程中，形成連乘問(wèn)題的基本特征，感悟同一個(gè)問(wèn)題的不同解決方法和策略。這樣的過(guò)程能促進(jìn)學(xué)生對(duì)同一類(lèi)主題學(xué)習(xí)內(nèi)容“想得透”，從而由此及彼突破原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，整體建構(gòu)新的認(rèn)知體系。

從“一題”推進(jìn)“一類(lèi)”，展現(xiàn)思維過(guò)程，探尋問(wèn)題本質(zhì)，讓課堂教學(xué)更加簡(jiǎn)約，讓數(shù)學(xué)理解更加深刻，值得教師持續(xù)研究與實(shí)踐。