從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”
——“和的奇偶性”教學(xué)及反思

江蘇南京市五老村小學(xué)（210002） 陸小蓓

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力，讓學(xué)生在情感和態(tài)度上有新的發(fā)展。建構(gòu)主義學(xué)者認(rèn)為，學(xué)習(xí)是現(xiàn)實的特定操作過程中對自己的活動過程的性質(zhì)進行反省、抽象而產(chǎn)生的，“學(xué)數(shù)學(xué)”應(yīng)是一個“做數(shù)學(xué)”的過程。因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師只有讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、動手操作、合作交流的過程，學(xué)生才能抓住發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的機會。要使學(xué)生真正學(xué)會“做數(shù)學(xué)”，就必須有一套貼近學(xué)生生活且融合趣味性、開放性、探索性的教材和學(xué)習(xí)內(nèi)容。筆者以蘇教版教材五年級下冊一節(jié)綜合實踐活動課“和與積的奇偶性”中“和的奇偶性”教學(xué)為例，就如何讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程談?wù)勛约旱囊恍┧伎寂c嘗試。

一、課程分析

學(xué)生經(jīng)歷了較多的整數(shù)加法計算練習(xí)和乘法計算練習(xí)，但在此過程中很少去觀察、判斷加法算式中的和、乘法算式中的積是奇數(shù)還是偶數(shù)。在進行計算教學(xué)的過程中，教師會將重點放在算理與算法的教學(xué)上，要讓學(xué)生理解和掌握計算法則，能夠準(zhǔn)確、快速地算出得數(shù)，并且能夠運用計算來解決實際問題。在整數(shù)的加法和乘法的教學(xué)已經(jīng)全部完成后，學(xué)生在整數(shù)運算方面掌握得較好，已經(jīng)初步建立了奇數(shù)和偶數(shù)的概念，有研究整數(shù)加法的和以及整數(shù)乘法的積的基礎(chǔ)，可以進一步探索和與積的奇偶性規(guī)律。之前教材中探索規(guī)律的內(nèi)容，例如間隔排列現(xiàn)象、周期現(xiàn)象等，都是探索生活中的真實現(xiàn)象，“和與積的奇偶性”這一課是對整數(shù)加法和乘法中的規(guī)律進行探究，是直接研究數(shù)學(xué)對象，教師可以利用這樣的變化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動他們的參與性和能動性。

本課中，研究2 個數(shù)相加之和的奇偶性是重中之重，教材給予學(xué)生的“腳手架”也很細致。第一步，讓學(xué)生先每人隨機選取兩個非0 自然數(shù)，并計算它們的和；在小組討論后，再將所選的兩個加數(shù)與計算出來的和填寫到教材上的表格中。學(xué)生產(chǎn)生了“怎樣的數(shù)相加，和是奇數(shù)”“怎樣的數(shù)相加，和是偶數(shù)”等問題，逐漸形成探索規(guī)律的興趣。第二步，通過提示“觀察填好的表格，說說你的發(fā)現(xiàn)”引導(dǎo)學(xué)生初步感知規(guī)律。第三步，讓學(xué)生再列舉一些例子來證明之前的發(fā)現(xiàn)。第四步，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實際進一步體驗兩數(shù)之和的奇偶性。

對于研究多個非0 自然數(shù)的和的奇偶性，教材也分了三步。第一步，隨機選取幾個非0 自然數(shù)，將它們寫成一道連加算式，讓學(xué)生猜一猜和是奇數(shù)還是偶數(shù)，然后通過計算來驗證猜想。第二步，設(shè)計問題讓學(xué)生討論。第三步，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并在復(fù)雜的連加情境里做判斷。教材的設(shè)計由扶到放，雖然有探索、有討論、有研究，但都在教師的引導(dǎo)下，并不是學(xué)生自發(fā)的研究。在這樣的教學(xué)路徑下，學(xué)生學(xué)習(xí)未“真發(fā)生”，學(xué)生經(jīng)歷的也不是“真過程”，僅僅是在“學(xué)數(shù)學(xué)”，而非“做數(shù)學(xué)”。

帶著這些思考，筆者對這節(jié)課進行了教學(xué)嘗試，努力讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程。

二、教學(xué)嘗試

1.把時間還給學(xué)生，讓學(xué)生主動參與

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。以此理念為引導(dǎo)，教師應(yīng)該將時間還給學(xué)生，讓他們主動學(xué)習(xí)，有了時間才會有發(fā)展。給學(xué)生充足的學(xué)習(xí)時間，是讓他們主動參與、自主探索的先決條件。

【教學(xué)片段1】

師（出示“任意一個非0 自然數(shù)非奇即偶”這句話）：你贊同這句話嗎？說說你的理解。

生1：我贊同這句話，因為任何一個非0自然數(shù)除以2，要么能夠整除，要么有余數(shù)1。

生2：我也贊同這句話，自然數(shù)的排列就是奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……

師：大家已經(jīng)能夠正確判斷一個數(shù)的奇偶性，那么大家一定能夠?qū)W會判斷幾個數(shù)之和的奇偶性。

師（揭示課題“和的奇偶性”）：要想探索這個規(guī)律，你們打算怎么研究呢？

生3：我想舉一些例子，然后通過這些例子來找規(guī)律。

師（板書“舉例”）：“舉例”的確是一種非常好的研究方法。關(guān)于舉例，誰還有什么想補充的？

生4：例子有很多，舉不完。我們可以先從簡單的2 個數(shù)相加的情況開始舉例，數(shù)據(jù)也不要太大，有代表性就可以了。

師：你們的研究方法很棒、思路也很清楚。接下來我們進行兩個活動。活動一，任選兩個非0 自然數(shù)，寫成一道加法算式，算一算和是奇數(shù)還是偶數(shù)；活動二，任選幾個非0 自然數(shù)，寫成連加算式，算一算和是奇數(shù)還是偶數(shù)。

在上述教學(xué)片段中，教師以一句話“任意一個非0 自然數(shù)非奇即偶”開啟這節(jié)課的討論，問題直接指向研究現(xiàn)象，引發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性與能動性。學(xué)生先思考一個數(shù)的奇偶性再思考兩個數(shù)之和的奇偶性。有了探索規(guī)律的需求，才會激發(fā)學(xué)生進一步思考的欲望。求知欲被調(diào)動起來了，學(xué)生自然也會根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗確定研究這個話題的方法，教師只需要提取、記錄。課堂中的兩次活動，都是為了給學(xué)生時間嘗試、思考。試想，如果沒有充足的時間，學(xué)生怎會出現(xiàn)探索后的思維多樣化？如果沒有充足的時間，學(xué)生怎么有機會充分展示自己的思維過程？更談不上會有反思之后的自評與他評。要想學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”，就必須舍得把寶貴的課堂時間還給學(xué)生，讓學(xué)生主動參與，“真學(xué)習(xí)”才有可能發(fā)生。

2.把思考還給學(xué)生，讓學(xué)生自主探索

數(shù)學(xué)教學(xué)的實質(zhì)是教會學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考。教師要從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，讓學(xué)生在自己的最近發(fā)展區(qū)附近自主探究、合作、交流，實現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”。

【教學(xué)片段2】

（教師選取一些學(xué)生寫的算式貼在黑板上，分為和是奇數(shù)、和是偶數(shù)兩類）

師：觀察算式，說說你們的發(fā)現(xiàn)，算式的和什么時候是奇數(shù)？

生5：我發(fā)現(xiàn)兩個加數(shù)中一個是奇數(shù)、一個是偶數(shù)時，和就是奇數(shù)。

師：黑板上的4道算式符合他說的嗎？

（眾生點頭）

師：看來大家是通過加數(shù)的奇偶性來判斷和的奇偶性。什么情況下和是偶數(shù)呢？

生6：兩種情況下和是偶數(shù)，一種是兩個偶數(shù)相加，還有一種是兩個奇數(shù)相加。

師（按照生6 的介紹把黑板上的算式分類）：僅憑這些算式就能驗證這三個發(fā)現(xiàn)嗎？

生7：我們還可以再舉一些例子來驗證。

師：例子舉不完，我就覺得有反例。你們討論一下，怎么驗證這三個發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生分小組討論，匯報）

生8：我們小組覺得，雖然兩個數(shù)相加的情況有無限種，但是可以直接通過兩個數(shù)的個位的相加情況來判斷它們的和的奇偶性。這個時候就可以畫如圖1所示表格進行列舉。

圖1

師：聽懂生8 的驗證方法了嗎？這次的舉例和之前不一樣了，之前的舉例是隨意的，而這次關(guān)注兩個加數(shù)的個位，把個位的相加情況全部列舉完，那么所有的情況都包含在里面了。生8 的思考很有深度。

生9：我們是通過圖來驗證。如果用1 個小長方形來表示1，那么偶數(shù)就可以用圖示（如圖2）來表示。

圖2

師：你怎么想到用這種方式來表示所有的偶數(shù)？

生9：因為偶數(shù)除以2是沒有余數(shù)的，那么我們就可以將偶數(shù)個長方形每2 個一列進行排列，這樣就可以一眼看出除以2沒有余數(shù)。

師：根據(jù)偶數(shù)的特征想到用這種圖示來表示數(shù)，真厲害！

生9：那么我們就可以用圖示（如圖3）來表示所有的奇數(shù)。

圖3

師：大家能看懂這張圖嗎？

生10：奇數(shù)是除以2 余1，多出來的那1 個就是余數(shù)1。

師：用這兩張圖來表示奇數(shù)和偶數(shù)，也可以表示所有的情況。如何驗證？

生11：“奇數(shù)+偶數(shù)”，就如圖4，那么和肯定是奇數(shù)。“偶數(shù)+偶數(shù)”就不用看了，兩個數(shù)本身都是偶數(shù)，除以2 都沒有余數(shù)，那么它們的和也肯定不會有余數(shù)。再看“奇數(shù)+奇數(shù)”，如圖5，每個奇數(shù)除以2 都余1，那么2 個余數(shù)1 合起來就是2，2 除以2，余數(shù)就消失了。

圖4

圖5

師：在圖5 中指一指，哪里表示“2 個余數(shù)1合起來就是2”。

……

師：用形象的圖示表示抽象的內(nèi)容，一目了然，感謝你們。

生12：所有的偶數(shù)可以用2n來表示，那么奇數(shù)就可以用2n+1 來表示。“奇數(shù)+偶數(shù)”就是2n+（2n+1）=4n+1，4n仍然是一個偶數(shù)，還多1 個1，所以“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，圖4 中“多的1”就在這里。“偶數(shù)+偶數(shù)”就比較簡單了，2n+2n=4n，4n肯定是個偶數(shù)。最后是“奇數(shù)+奇數(shù)”，2n+1 和2n+1 合起來，就是4n+（1+1），兩個余數(shù)1 合起來就是2，可以被2整除。

師：你不僅用字母表示所有的奇數(shù)和偶數(shù)，還將之前的方法融會貫通，讓我們聽得意猶未盡。提醒一下，任意兩個奇數(shù)不能用相同的字母表示，可以一個是2n+1，一個是2m+1，和就是2n+2m+1+1，還是個偶數(shù)。

師（小結(jié)）：同學(xué)們剛才用了很多方法證明，有列舉個位相加的情況，有畫圖，還有用字母表示數(shù)，其實都在想著窮盡所有的情況來驗證這三個發(fā)現(xiàn)的正確性。

在上述教學(xué)片段中，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識的“生長點”（判斷一個數(shù)的奇偶性）之后，鼓勵他們?nèi)ゲ聹y探索、合作交流，促使學(xué)生盡情思考。在思考的過程之中，學(xué)生的思維被激發(fā)了，思維“活”起來。

學(xué)生提出了多樣化的驗證方法，這是第一層次的思考。教材中只簡單地呈現(xiàn)了舉例驗證的一般算法。但學(xué)生由于個體思維水平、知識經(jīng)驗和思考角度的不同，提出了3 種驗證方法，每種方法都是學(xué)生不斷探索、不斷創(chuàng)新的成果。

基于思維的多樣性，學(xué)生可以自發(fā)地、主動地進行思考，將自己的思維過程展現(xiàn)得充分又到位。

更值得一提的是，學(xué)生在匯報的時候不僅匯報自己的思考，還互動交流。可見，課堂中教師把思考還給學(xué)生，讓學(xué)生自主探索，學(xué)生不僅學(xué)會知識，更學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會交流、學(xué)會共享。

3.把評價還給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會評價

在新的教育觀下，評價目標(biāo)具有多元性，那么評價主體也應(yīng)具有多樣性。教師可以在適當(dāng)?shù)臅r候把評價還給學(xué)生（包括他評、自評等），讓他們在互相評價的過程中學(xué)會欣賞別人，吸納別人的意見，并隨時進行自我反思、自我提高。

【教學(xué)片段3】

師：這節(jié)課你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生13：我們發(fā)現(xiàn)1 個偶數(shù)和2 個奇數(shù)相加，和肯定是偶數(shù)。

生14：這個發(fā)現(xiàn)只限于3 個數(shù)相加，不能代表所有的情況。

生15：我們發(fā)現(xiàn)無論加數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)是多少，和既有可能是奇數(shù)，也有可能是偶數(shù)。

生16：你是不是想表達，和的奇偶性與偶數(shù)的個數(shù)沒有關(guān)系？

生17：是的。只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)系。

生18：我們的發(fā)現(xiàn)和你們一樣，如果加數(shù)中奇數(shù)是單數(shù)個，那么2個奇數(shù)可以合成1個偶數(shù)，落單的那個就沒有“組對”的了，因此和肯定是奇數(shù)。如果奇數(shù)是偶數(shù)個，那么兩個能湊一對（偶數(shù)），因此和是偶數(shù)。

……

在上述教學(xué)片段中，學(xué)生就多個數(shù)相加的和的情況自由地進行討論，相互評價，互相補充，在課堂上進行了一場“頭腦風(fēng)暴”，在互相評價中學(xué)會評價，不斷發(fā)展自己。

三、教學(xué)總結(jié)

從整個教學(xué)過程來看，學(xué)生研究數(shù)學(xué)的本事絕不亞于教師，他們研究數(shù)學(xué)的激情絕不低于數(shù)學(xué)家。本節(jié)課中筆者最大的體會就是，放手讓學(xué)生去學(xué)、去做就是最好的教學(xué)方法。讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程是自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的有效途徑，在課堂中“把時間還給學(xué)生，把思考還給學(xué)生，把評價還給學(xué)生”是教師在新課程背景下必須樹立的一個教學(xué)理念。

新課標(biāo)把教學(xué)目標(biāo)分成知識技能目標(biāo)和過程性目標(biāo)，而過程性目標(biāo)更多地關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的行為投入、認(rèn)知投入和情感投入。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)給學(xué)生提供充分的時間和空間，讓他們通過獨立思考、合作交流、評價反思等活動把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程演變成“做數(shù)學(xué)”的過程，從而促進他們對知識的真正理解（自主建構(gòu)），使學(xué)生得到個性化的發(fā)展。