計(jì)量視角下離群值識(shí)別法的研究綜述與展望

范興宇 楊陽

摘 要：隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，樣本數(shù)據(jù)的容量日趨增大且內(nèi)容愈發(fā)復(fù)雜，對(duì)實(shí)證研究的準(zhǔn)確性形成了巨大挑戰(zhàn)，而計(jì)量領(lǐng)域內(nèi)基于樣本數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別和處理會(huì)減少實(shí)證研究中的偏差，有效提升其研究的準(zhǔn)確性。本文梳理和評(píng)述基于不同類型樣本數(shù)據(jù)模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法，繼而提出未來研究的展望。

關(guān)鍵詞：離群值；模型；估計(jì)；時(shí)間序列；面板數(shù)據(jù)

中圖分類號(hào)：O212 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2023）07-0004-06

1 引言

目前，對(duì)離群值的識(shí)別和處理的課題一直備受學(xué)者們關(guān)注，這是因?yàn)殡x群值會(huì)大幅惡化基于模型和估計(jì)的實(shí)證結(jié)果，使其出現(xiàn)嚴(yán)重的偏差和錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)。目前，離群值最常用的識(shí)別和處理方法有簡(jiǎn)單去除法和縮尾處理法。簡(jiǎn)單去除法是學(xué)者們根據(jù)數(shù)據(jù)本身的特征和直觀意識(shí)來判斷，將那些極值點(diǎn)（離群值）直接去除，以得到更穩(wěn)定更有效的實(shí)證結(jié)果，但從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來說，該處理方式會(huì)對(duì)估計(jì)量造成較大偏差。另一種常用方法為縮尾處理法[1]。學(xué)者們用樣本數(shù)據(jù)分位數(shù)的值替代極值點(diǎn)而不是直接去除，但這種對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行隨意修改的方法會(huì)過多或過少的考慮離群值對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，使實(shí)證結(jié)果的誤差更大。雖然學(xué)者們提出了很多離群值識(shí)別法，但仍未有獲得學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)同的識(shí)別法，本文認(rèn)為可能的原因是離群值的定義不同或離群值的識(shí)別方法不同。

對(duì)于離群值的定義[2]，包括描述性定義和定量性定義。離群值的描述性定義主要有：離群值是極端值或是數(shù)據(jù)中的不具代表性的觀測(cè)值。離群值的定量性定義主要有：離群值是數(shù)量值與數(shù)據(jù)集不一致的值，或是導(dǎo)致回歸系數(shù)結(jié)果發(fā)生劇烈變化的觀察值，或是超過樣本數(shù)據(jù)平均值至少三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的觀察值，或是樣本數(shù)據(jù)中大于樣本數(shù)據(jù)1.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的觀察值。

離群值具有較強(qiáng)的隱蔽性，即便在樣本殘差的散點(diǎn)圖上它們也很難被發(fā)現(xiàn)。考慮到離群值會(huì)對(duì)實(shí)證結(jié)果產(chǎn)生較大偏差，離群值還可以分為X-軸離群值，Y-軸離群值和回歸離群值[3]，其中X-軸離群值為水平方向上與樣本其他觀察值存在較大差異的觀察值，Y-軸離群值為垂直方向上與樣本其他觀察值存在較大差異的觀察值，回歸離群值為考慮某些觀察值后會(huì)直接改變回歸屬性（正相關(guān)、負(fù)相關(guān)）的那些觀察值。目前，學(xué)者們認(rèn)定的極值點(diǎn)大多被認(rèn)為是X-軸離群值或Y-軸離群值，而對(duì)于回歸離群值研究較少。此外，有些觀察值被認(rèn)定為X-軸或Y-軸離群值，但實(shí)際上它們是回歸離群值，即它們并不改變實(shí)證中的回歸屬性，如果它們一直被認(rèn)為是離群值，會(huì)過多的考慮了離群值對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，使實(shí)證結(jié)果的誤差更大。

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代到來，數(shù)據(jù)樣本愈加復(fù)雜，識(shí)別和處理不同類型數(shù)據(jù)模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法是構(gòu)建準(zhǔn)確實(shí)證研究的前提，鑒于此，本文將討論基于不同樣本數(shù)據(jù)模型與估計(jì)的離群值識(shí)別法。學(xué)者們很關(guān)注時(shí)間序列數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法研究，特別是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，但對(duì)截面數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法研究甚少，如基于截面數(shù)據(jù)的四種離群值識(shí)別法[4]，分別為反常結(jié)果判別法、跳躍度判別法、預(yù)測(cè)區(qū)間判斷法和羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則判別法，且有學(xué)者給出穩(wěn)健的基于橫截面數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法[5]，這是因?yàn)槠渑c時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相似。

2 基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別

基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法一直廣受學(xué)者們的關(guān)注，主要包括直接算法和間接算法的離群值識(shí)別法。經(jīng)典的最小二乘法對(duì)于離群值是非常敏感的，這是因?yàn)镺LS估計(jì)對(duì)離群值識(shí)別具有較大缺陷，包括不是離群值的觀察值被識(shí)別為離群值（淹沒現(xiàn)象，如基于低密度正則性的離群值識(shí)別法等），和本是離群值但并不被識(shí)別到（掩蓋現(xiàn)象，如基于Cook距離的離群值識(shí)別法等）。早期文獻(xiàn)[6]將離群值定義為加性離群值（Additive Outlier， AO）和革新性離群值（Innovation Outlier， IO），其中加性離群值考慮的是孤立的極端點(diǎn)，而革新性離群值考慮的是連續(xù)的極端點(diǎn)。針對(duì)基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的離群值定義，很多學(xué)者都給出了卓有成效的研究成果。有學(xué)者將離群值分為均值漂移（Level Shift， LS）離群值、暫時(shí)變化（Transient Changes， TC）離群值和方差變化（Variance Changes， VC）離群值[7]。特別的，有學(xué)者將離群值分為X-軸離群值、Y-軸離群值和回歸離群值[3]。

目前，基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法的主流算法包括兩種方法，分別為直接算法[8，9]和間接算法[10，11]。這兩種離群值識(shí)別法具有不同特點(diǎn)，其中基于直接算法的離群值識(shí)別法為使用合適的算法在實(shí)證研究之前識(shí)別離群值，而間接算法的離群值識(shí)別法為結(jié)合模型和估計(jì)法來識(shí)別離群值。具體而言，估計(jì)法有很多的，如L估計(jì)量（基于序次統(tǒng)計(jì)量的線性組合），R估計(jì)量（基于殘差的秩序），M估計(jì)量（通過考慮殘差的大小由位置的M估計(jì)擴(kuò)展而來），GM估計(jì)（或者叫廣義M估計(jì)量，通過給予高權(quán)勢(shì)點(diǎn)和大殘差點(diǎn)較小的權(quán)重對(duì)M估計(jì)量的擴(kuò)展），S估計(jì)量（將殘差尺度的穩(wěn)健M估計(jì)最小化），MM估計(jì)量（基于M估計(jì)和S估計(jì)，具有更高的崩潰點(diǎn)和漸進(jìn)效率）。當(dāng)下，由于學(xué)者們未給予離群值足夠重視，導(dǎo)致基于間接算法的離群值識(shí)別法的成果要比直接算法的成果更少。有學(xué)者指出，相比于基于直接算法的離群值識(shí)別法，間接算法的離群值識(shí)別法更為準(zhǔn)確且更切合實(shí)際，這是因?yàn)榛谥苯铀惴ǖ碾x群值識(shí)別法并不能有效準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)離群值，而基于間接算法的離群值識(shí)別法能準(zhǔn)確科學(xué)的發(fā)現(xiàn)離群值，特別是回歸離群值[12]。

2.1 基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)間接算法的離群值識(shí)別

對(duì)于基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)間接算法的離群值識(shí)別法，有學(xué)者提出了基于最小二乘估計(jì)的離群值識(shí)別法包括：最小絕對(duì)偏差估計(jì)法、M-估計(jì)法、LTS估計(jì)和S-估計(jì)[3]，但這些估計(jì)需要進(jìn)行很多次的迭代計(jì)算且耗時(shí)較多，會(huì)造成實(shí)證結(jié)果誤差越大。

針對(duì)這些問題，很多學(xué)者提出了基于模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法，代表性的成果主要有：基于自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的離群值識(shí)別法[13]；基于極大似然估計(jì)的離群值識(shí)別法[14]；基于干擾模型的離群值識(shí)別法[15]；基于ARMA模型的離群值識(shí)別法[16]；基于IO、AO型離群值的識(shí)別法[17]；基于穩(wěn)健Cook距離的離群值識(shí)別法[18]。由于這些間接算法的離群值定義不統(tǒng)一，基于模型和估計(jì)的間接算法離群值識(shí)別法更是差別較大，導(dǎo)致實(shí)證結(jié)果的誤差并不能有效解決，有待深入的研究和探討。

2.2 基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接算法的離群值識(shí)別

針對(duì)基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接算法的離群值識(shí)別法，早期代表性成果主要有：通過比較時(shí)間序列數(shù)據(jù)中觀察值的偏度和峰度來完成離群值的識(shí)別[19]；定義與大部分觀察值存在較大跳動(dòng)的觀察值為離群值[20]；定義意外語義特征的觀察值為離群值[21]；定義樣本中心點(diǎn)最小鄰域外觀察值為離群值[22]等，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)容量較大時(shí)，這些識(shí)別法均不夠完善。

針對(duì)基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接算法的離群值識(shí)別法，學(xué)術(shù)界中經(jīng)典算法主要有：向前搜索算法[8]、影響矩陣算法[23]、聚類算法[24]、遺傳算法[25]和迭代算法[26]。隨著基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的模型和估計(jì)法日益復(fù)雜，基于復(fù)雜直接算法的離群值識(shí)別法的研究成果頗受學(xué)者們關(guān)注。目前，主流的基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接算法的離群值識(shí)方法主要有：似然比檢驗(yàn)法[27]、影響分析檢驗(yàn)法[28]和殘差檢驗(yàn)法[29]。此外，還包括一些基于前沿技術(shù)的直接算法的離群值識(shí)別法，主要有：應(yīng)用最小體積橢圓法和最大截然似然估計(jì)法來判斷離群值[30]；應(yīng)用多維空間線性化模型來判定離群值[31]；運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法判定散射型數(shù)據(jù)的離群值[32]；應(yīng)用小波分析來判定離群值[33]；應(yīng)用新息異常值診斷[34]。由于離群值的定義千差萬別且這些基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)直接算法并不能完全有效識(shí)別離群值，致使實(shí)證結(jié)果依然存在偏差，值得更深一層的研究。

3 基于面板數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別

相對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)和橫截面數(shù)據(jù)，面板數(shù)據(jù)的容量更大，包含的離群值數(shù)量自然更多，在原始樣本中識(shí)別和處理離群值，繼而得到可靠正確的實(shí)證結(jié)論值得進(jìn)一步研究。離群值的識(shí)別和處理對(duì)獲得準(zhǔn)確可靠的實(shí)證結(jié)果是非常重要的，往往錯(cuò)誤的觀察值很容易被復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)掩蓋[35，36]。面板數(shù)據(jù)模型主要包括靜態(tài)模型，動(dòng)態(tài)模型，變系數(shù)模型和隨機(jī)前沿模型，但當(dāng)下學(xué)者們廣泛關(guān)注的面板數(shù)據(jù)模型為固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型和動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別法。

3.1 基于固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別

近年來，基于固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的主流研究是將離群值分為四類：垂直離群值，垂直集中塊離群值，水平離群值和水平集中塊離群值[37，38]。對(duì)于該模型的離群值識(shí)別法主要有：基于固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型和工具變量估計(jì)法的兩個(gè)離群值識(shí)別法（包括基于二階段廣義M估計(jì)的離群值識(shí)別法和基于GMM估計(jì)的離群值識(shí)別法[39]），但對(duì)包含異方差或自相關(guān)誤差的估計(jì)并非適用；基于面板數(shù)據(jù)模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法，這些估計(jì)包括修正的群內(nèi)估計(jì)[40]、轉(zhuǎn)化的廣義矩估計(jì)[41]和修正過高置信度的估計(jì)[42]，但當(dāng)面板數(shù)據(jù)為非嚴(yán)格平衡時(shí)，該文提出的離群值識(shí)別法存在誤差；基于面板數(shù)據(jù)模型和高崩潰值估計(jì)的離群值識(shí)別法[37]，包括廣義群內(nèi)M估計(jì)和群內(nèi)MS估計(jì)（MS估計(jì)[43]），但計(jì)算需要花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間，特別是當(dāng)面板數(shù)據(jù)容量較大時(shí)，該問題更加凸顯。

3.2 基于固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別

基于固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法較多但并未得到學(xué)術(shù)界一致認(rèn)可，而將滯后一期被解釋變量作為解釋變量的固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別法就更值得學(xué)者們進(jìn)一步研究。目前，基于固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法主要有：采用分位數(shù)和工具變量估計(jì)的離群值識(shí)別法[44]，但基于面板數(shù)據(jù)模型和工具變量估計(jì)的離群值識(shí)別法很容易產(chǎn)生誤差；基于中位數(shù)的離群值識(shí)別法[45]，但該法仍存在很大的偏差；基于有界影響函數(shù)的GMM估計(jì)的離群值識(shí)別法[46]，但該估計(jì)的有效性要比差分GMM估計(jì)差；基于加權(quán)估計(jì)的離群值識(shí)別法[47，48]，但離群值的度量尺度并不準(zhǔn)確；基于改進(jìn)型GMM估計(jì)的離群值識(shí)別法[49]，但實(shí)證研究之前無法確定樣本是否存在離群值，且當(dāng)面板數(shù)據(jù)中無離群值時(shí)，改進(jìn)型GMM估計(jì)的有效性要比差分GMM估計(jì)差。

隨著面板數(shù)據(jù)容量的急劇增加和估計(jì)法的不斷創(chuàng)新，學(xué)者們開始關(guān)注以更多的估計(jì)法來識(shí)別基于固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型中的離群值。目前，基于復(fù)雜面板數(shù)據(jù)模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法主要有：基于混合分?jǐn)?shù)階ARIMA模型的離群值識(shí)別法[50]；基于復(fù)雜合適估計(jì)的離群值識(shí)別法[51-53]；基于高崩潰值的最小協(xié)方差估計(jì)的離群值識(shí)別法[54，55]；基于自組織映射與自適應(yīng)非線性映射相結(jié)合的多元離群值識(shí)別法[56]；基于對(duì)數(shù)線性模型和高擬合度估計(jì)的離群值識(shí)別法[57]；基于最小模式的離群值識(shí)別法[58]；基于復(fù)雜中位數(shù)估計(jì)的離群值識(shí)別法[59]，其中觀測(cè)數(shù)N較大且時(shí)間周期數(shù)T較小；基于改進(jìn)型一階或高階差分GMM估計(jì)的離群值識(shí)別法[49，60]。雖然已有復(fù)雜的離群值識(shí)別法能有效發(fā)現(xiàn)離群值，但對(duì)于復(fù)雜的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的時(shí)間會(huì)很久且難以出現(xiàn)較好的實(shí)證結(jié)果。

4 文獻(xiàn)評(píng)述與展望

目前，學(xué)者們過多關(guān)注X-軸離群值，Y-軸離群值的研究，而對(duì)于回歸離群值研究較少，但X-軸離群值或Y-軸離群值有時(shí)是回歸離群值，它們不改變實(shí)證研究中的回歸屬性，不應(yīng)在樣本中被直接剔除致使樣本數(shù)據(jù)容量進(jìn)一步減少，這樣會(huì)過多考慮了離群值對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，反而會(huì)使得實(shí)證結(jié)果的誤差更大。

基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法存在兩個(gè)不足之處，其一，很多學(xué)者都是以特定時(shí)間序列數(shù)據(jù)來分析離群值對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，但并不能推廣到一般情況下離群值對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響；其二，部分學(xué)者提出的離群值識(shí)別法仍解決不了離群值對(duì)樣本的“污染”現(xiàn)象，包括“淹沒”現(xiàn)象和“掩蓋”現(xiàn)象，類似問題在橫截面數(shù)據(jù)中也依然存在。

基于面板數(shù)據(jù)的離群值識(shí)別法存在局限性，一方面，基于固定效應(yīng)靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別法大多集中于研究合適估計(jì)方法來規(guī)避離群值對(duì)實(shí)證研究造成的偏差，但面板數(shù)據(jù)量巨大，處理數(shù)據(jù)時(shí)間較長(zhǎng)，特別是在實(shí)證研究之前消除離群值對(duì)其影響，但會(huì)忽略實(shí)證研究背后的理論分析，往往會(huì)給其帶來更大偏差。另一方面，基于固定效應(yīng)動(dòng)態(tài)面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別法研究開始關(guān)注以更復(fù)雜模型或更多復(fù)雜估計(jì)的離群值識(shí)別法，但他們對(duì)離群值的定義較為模糊且判別尺度極為復(fù)雜，致使離群值識(shí)別的有效性不斷降低。

雖然當(dāng)前基于不同數(shù)據(jù)類型的離群值識(shí)別法研究中構(gòu)建基于復(fù)雜模型和估計(jì)的離群值識(shí)別法成為主流研究方向，但從計(jì)量角度而言此類研究都存在缺陷和不足，無法得到廣泛應(yīng)用。因此，對(duì)于離群值的識(shí)別和剔除只有通過合適的模型和估計(jì)、不同的離群值判定尺度來實(shí)現(xiàn)，面對(duì)不同類型樣本數(shù)據(jù)，才能較好的識(shí)別和剔除離群值，有效去除離群值對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，使其結(jié)果更可靠更準(zhǔn)確。

隨著數(shù)據(jù)樣本逐步復(fù)雜，由時(shí)間序列數(shù)據(jù)、橫截面數(shù)據(jù)到面板數(shù)據(jù)，實(shí)證模型日益多樣，由靜態(tài)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)模型，本文提出未來需要研究的離群值識(shí)別法，該法基于固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型，搜尋合適的估計(jì)和離群值判別尺度，進(jìn)而得到更精確的實(shí)證結(jié)果。此外，對(duì)于面板數(shù)據(jù)模型的離群值識(shí)別法研究較少，特別是對(duì)于基于固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)模型的離群值識(shí)別法還未得到進(jìn)一步研究，以及它們對(duì)應(yīng)的奇異信息對(duì)研究全球經(jīng)濟(jì)關(guān)系的影響都值得更深層次的探討。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Lee M.， Karlsson M. Trimmed and winsorized semiparametric estimator for left-truncated and right-censored regression models[J]. Metrika， 2015， 78（04）： 1-11.

〔2〕Hawkins， D. Identification of Outliers[M]. London： Chapman and Hall， 1980： 20-23.

〔3〕Rousseeuw P.， Leroy A. Robust regression and outlier detection[M]. Wiley-Interscience， 2003： 17-19.

〔4〕杜聰慧，崔永偉，李子奈.基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)診斷的截面數(shù)據(jù)診斷方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012，10（01）：7-9.

〔5〕Hawkes N. Six hospitals are named as "outliers" for mortality rates[J]. The British Medical Journal， 2014， 348（312）： 1252-1252.

〔6〕Fox A. Outliers in Time Series[J]. Journal of the Royal Statistical Society， 1972， 34（03）： 350-363.

〔7〕Tsay R. Time Series Model Specification in the Presence of Outliers[J]. Publications of the American Statistical Association， 1986， 81（393）： 132-141.

〔8〕Hadi A.， Simonoff J. Procedures for the Identification of Multiple Outliers in Linear Models[J]. Publications of the American Statistical Association， 1993， 88（424）： 1264-1272.

〔9〕Liang T.， Cao C. Outliers detect methods for time series data[J]. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography， 2018， 21（04）： 927-936.

〔10〕張德然.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中異常值的檢驗(yàn)方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2003，5（01）：53-55.

〔11〕王志堅(jiān).一種GARCH模型異常值的穩(wěn)健檢測(cè)法及其應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2020，36（10）：41-44.

〔12〕Shen C.， Luo F.， Huang D. Analysis of earnings management influence on the investment efficiency of listed Chinese companies[J]. Journal of Empirical Finance， 2015， 34（01）： 60-78.

〔13〕Masarotto G. Robust Identification of Autoregressive Moving Average Models[J]. Journal of the Royal Statistical Society， 1987， 36（02）： 214-220.

〔14〕Abraham B.， Chung A. Expecation-maximization algorithms and the estimation of time series model in the presence of outliers[J]. Journal of Time Series Analysis， 1993， 14（01）： 221-234.

〔15〕Box G.， Tiao G. Intervention Analysis with Applications to Economic and Environmental Problems[J]. Publications of the American Statistical Association， 1975， 70（349）： 70-79.

〔16〕Bruce A.， Martin R. Leave-k-out diagnostics for time series[J]. Journal of the Royal Statistical Society， 1989， 51（03）： 363-424.

〔17〕王志堅(jiān)，王斌會(huì).時(shí)序IO與AO型異常值穩(wěn)健聯(lián)合檢測(cè)法及其應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2019，7（01）：13-16.

〔18〕王志堅(jiān)，羅舒琪，王斌會(huì).基于穩(wěn)健Cook距離的時(shí)間序列異常值診斷[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2022，38（03）：40-44.

〔19〕Huber P. Robust statistics： A review. The Annals of Mathematical Statistics， 1972， 43（01）： 1041-1067.

〔20〕Wolfgang S. Properties and actions[J]. Natural Language and Logic， 1990， 459（01）： 221-232.

〔21〕Angiulli， F.， Ben-Eliyahu-Zohary R.， Palopoli L. Outlier detection using default reasoning[J]. Artificial Intelligence： An International Journal， 2008， 172（16/17）： 1837-1872.

〔22〕Chandola V.， Banerjee A.， Kumar V. Anomaly Detection： A Survey[J]. ACM Computing Surveys， 2009， 41（03）： 1-58.

〔23〕Pena D. and Yohai V. J. The Detection of Influential Subsets in Linear Regression by using an Influence Matrix[J]. Journal of the Royal Statistical Society. Series B （Methodological）， 1995， 57（01）： 145-156.

〔24〕Sebert D. M.， Montgomery D. C.， Rollier D. A. A clustering algorithm for identifying multiple outliers in linear regression[J]. Computational statistics & data analysis， 1998， 27（04）： 461-484.

〔25〕Cucina D.， Salvatore A.， Protopapas M. Outliers detection in multivariate time series using genetic algorithms[J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems， 2014， 132（01）： 103-110.

〔26〕Srivastava M. and Rosen D. Outliers in Multivariate Regression Models[J]. Journal of Multivariate Analysis： An International Journal， 1998， 65（02）： 195-208.

〔27〕Gupta M.， Gao J.， Aggarval C.， Han J. Outlier Detection for Temporal Data： A Survey[J]. IEEE Transactions on Knowledge & Data Engineering， 2014， 26（09）： 2250-2267.

〔28〕Kannan K.， Manoj K.， Arumugam S. Outlier Detection and Missing Value in Time Series Ozone Data[J]. International Journal of Scientific Research in Knowledge， 2015， 3（09）： 220-226.

〔29〕Seo H.， Yoon M. A sequential outlier detecting method using a clustering algorithm[J]. Korean Journal of Applied Statistics， 2016， 29（04）： 699-706.

〔30〕Yuen K.， Gilberto O. Outlier detection and robust regression for correlated data[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering， 2017， 313（01）： 632-646.

〔31〕Militino A.， Palacios M.， Ugarte M. Outliers detection in multivariate spatial linear models[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2006， 136（01）：125-146.

〔32〕Bullen R.， Dan C.， Nabney I. Outlier detection in scatterometer data[J].Neural Networks， 2003， 16（03）： 419-426.

〔33〕Grané A.， Veiga H. Wavelet-based detection of outliers in financial time series[J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2010， 54（11）： 2580-2593.

〔34〕汪志紅，王志堅(jiān)，王斌會(huì).時(shí)間序列新息異常值穩(wěn)健診斷新方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2022，38（23）：34-37.

〔35〕Zaman A.， Rousseeuw P.， Orhan M. Econometric applications of high-breakdown robust regression techniques[J]. Journal of Econometric Letter， 2001， 71（01）： 1-8.

〔36〕Verardi V.， Wagner J. Robust estimation of linear fixed effects panel data models with an application to the exporter productivity premium[J]. Journal of Economic Statistics， 2011， 231（04）： 546-557.

〔37〕Bramati M.， Croux C. Robust estimators for the fixed effects panel data model[J]. Journal of Econometric， 2007， 10（03）： 521-540.

〔38〕彭斌，李雯萱.固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型中偏誤更正的截面相關(guān)性檢驗(yàn)研究[J].統(tǒng)計(jì)研究，2022，39（07）：150-160.

〔39〕Wagenvoort R.， Waldmann R. On B-robust instrumental variable estimation of the linear model with panel data[J]. Journal of Econometrics， 2002， 106（02）： 297-324.

〔40〕Alvarez J.， Arellano M. Robust likelihood estimation of dynamic panel data models[J]. Journal of Econometrics， 2021， 226（01）： 21-61.

〔41〕Ronchetti E.， Trojani F. Robust inference with GMM estimators[J]. Journal of Econometrics， 2001， 101（01）： 37-69.

〔42〕劉鑫，王維國(guó)，馬超，李曉華.四分之一輪換面板下的穩(wěn)健估計(jì)方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2022，38（02）：21-25.

〔43〕Maronna R.， Yohai V. J. Robust regression with both continuous and categorical predictors[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2000， 89（1-2）：197-214.

〔44〕董婉瑩，肖燕婷.基于眾數(shù)回歸的變系數(shù)部分線性工具變量模型的穩(wěn)健估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2023，2（01）：195-206.

〔45〕Dhaene G.， Zhu Y. Median-based estimation of dynamic panel models with fixed effects[J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2017， 113（01）： 398-423.

〔46〕Lucas A.， Van Dijk R.， Kloek T. Outlier Robust Gmm Estimation of Leverage Determinants in Linear Dynamic Panel Data Models[J]. Ssrn Electronic Journal， 1997， 9（01）： 1-30.

〔47〕Cí？觩ek P.， Aquaro M. Robust estimation and moment selection in dynamic fixed-effects panel data models[J]. Journal of Computational Statistics， 2018， 33（02）： 675-708.

〔48〕吳浩，彭非.基于協(xié)變量平衡加權(quán)的平均處理效應(yīng)的穩(wěn)健有效估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)研究，2020，37（04）：114-128.

〔49〕Aquaro M.， Cí？觩ek P. One-step robust estimation of fixed-effects panel data models[J]. Computational Statistics and Data Analysis， 2014， 57（01）： 536-548.

〔50〕Chen W. Detecting and identifying interventions with the Whittle spectral approach in a long memory panel data model[J]. Journal of Applied Statistics， 2008， 35（07）： 879-892.

〔51〕Willems G.， Joe H.， and Zamar R. Diagnosing multivariate outliers detected by robust estimators[J]. Journal of Computational and Graphical Statistics， 2009， 18（01）： 73-91.

〔52〕Riani M.， Atkinson A.， and Cerioli A. Finding an unknown number of multivariate outliers[J]. Journal of the Royal Statistical Society Series B： Statistical Methodology， 2009， 71（02）： 447-466.

〔53〕龐智強(qiáng)，王朝旭，牛璽娟.基于γ散度的單元水平模型小域穩(wěn)健估計(jì)[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2023，3（01）：3-15.

〔54〕Cerioli A. Multivariate outlier detection with high-breakdown estimators[J]. Journal of the American Statistical Association， 2010， 105（489）： 147-156.

〔55〕宋鵬，劉程程，胡永宏.穩(wěn)健高維協(xié)方差矩陣估計(jì)及其投資組合應(yīng)用——基于中心正則化算法[J].統(tǒng)計(jì)研究，2020，37（07）：116-128.

〔56〕Yan X. Multivariate outlier detection based on self-organizing map and adaptive nonlinear map and its application[J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems， 2011， 107（02）： 251-257.

〔57〕Rapallo F. Outliers and patterns of outliers in contingency tables with algebraic statistics[J]. ?Scandinavian Journal of Statistics， 2012， 39（04）： 784-797.

〔58〕Kuhnt S.， Rapallo F.， and Rehage A. Outlier detection in contingency tables based on minimal patterns[J]. Statistics and Computing， 2014， 24（03）： 481-491.

〔59〕曾鑫，吳劉倉，曹幸運(yùn).混合偏正態(tài)數(shù)據(jù)下中位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計(jì)[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，46（03）：167-174.

〔60〕劉沖，沙學(xué)康，張妍.交錯(cuò)雙重差分：處理效應(yīng)異質(zhì)性與估計(jì)方法選擇[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2022，39（09）：177-204.