系統仿真在自動控制原理課程教學中的應用研究

翟玉曉　張瑞明　劉越　張建鵬　楊嘉鵬

關鍵詞：自動控制原理；Matlab；仿真手段；分析系統；應用型本科

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）20-0160-04

0 引言

近些年，隨著數字化和智能化在各行各業中的蓬勃發展，自動控制原理這門課程越來越被重視，已逐步演變為一門公共基礎課。自動控制原理這門課程主要講述了分析和校正系統的方法和手段[1]。通過運用這些方法和手段，人們可以使系統按照自己預先設定的規律運行。但是應用這些方法對系統展開分析時，需要高等數學、復變函數和電路等課程作為先驗知識[2-3]。同時整個理論體系適用的范圍是所有的線性定常系統，這就使得本門課在學習起來內容龐雜、晦澀難懂。

通過對課程內容、學生認知程度和接收效果進行反思、分析和調查，學生對于日常生活中實體設備的學習和應用掌握得都比較好。對于自己動手探索和驗證過的知識有同樣的接收效果。相反，對于像自動控制原理這類理論性較強，主要以灌輸式、板書和多媒體教學方式為主的課程，學生的接收效果就參差不齊[4-5]。造成這種現象的主要原因是學生抽象思維能力有強有弱。每個學生的抽象思維能力都不盡相同且不可在短時間內被訓練，這就使得學生對于理論性較強課程的接收效果不好，差別很大。

鑒于實驗和實體設備良好的教學效果，擬將Mat? lab引入自動控制原理的教學環節中。通過Matlab仿真的加入和各個章節的重新設計，使原本抽象復雜的教學內容變得簡單起來[6]。Matlab的加入也極大地激發了學生的探知欲，培養了學生自我動手的能力和相互協作的團隊精神。在學習過程中，小組成員之間的討論和探討，也有助于學生加深對所學知識的理解，還可以培養學生的質疑能力和獨立思考能力。

1 自動控制原理教學特點

自動控制原理所能解決的系統為單輸入單輸出的線性定常系統，而要研究所有的線性定常系統，探求它們的共性，提出適用于所有系統的一般性理論，就需要對系統進行抽象，在數學層面上討論控制問題。因為沒用唯一確定的實際系統作為參照，感覺系統分析一直在進行數學變換和方程求解。整個分析過程不像處理系統問題，反而像解決數學問題。

基于自動控制原理的上述特點，老師在進行授課時往往會選擇板書和多媒體并行的授課方式[7]。板書可以對一些比較復雜的公式進行推導，而多媒體則能形象地展示整個控制過程。以上這種教學方式在一定程度上改善了教學效果。特別是對數學功底和抽象思維能力較好的同學，而對其他同學效果并不是很明顯。

對于教學中遇到的這些問題，本文在原有的基礎上做了針對性改進。將學生熟知的系統和一些簡易的工程案例引入自動控制原理的日常教學中。同時，在課后還輔助了相應的實驗，以驗證理論的有效性。教學加實驗的改進，在一定程度上激發了學生的學習積極性，能夠幫助學生進一步認識和理解相關的理論知識。但是在這一過程中，也伴隨著一些問題。比如可以作為教學的工程案例較少，很多教師缺少實際工程的經驗，能夠列舉的案例有限；常規的實驗箱，設備老舊且元件參數不穩定，很難調整到需要的參數[8-9]；實驗課程和理論課程在一定程度上是脫離的，只是就理論而理論，就實驗而實驗，沒有很好地將二者結合起來。

2 Matlab 在自動控制原理課程中的應用

Matlab作為一款計算機輔助設計軟件，除了友好的編程環境外，還提供了矩陣計算、圖形繪制、數據分析和系統控制等強大的功能。通過這些功能，可以輕松地將原本抽象的內容以圖形的形式直觀地呈現出來，很容易做到計算結果的可視化[10-11]。友好的編程環境和高級的編程語言，不需要學生再編寫底層代碼，只需要了解每個函數參數的意義就可以直接進行調用，極大地降低了編程難度。同時，Matlab中所搭載的Simulink庫為系統仿真提供了模塊化的編程[12]。學生只需要按給定的系統結構進行搭建，并鍵入相應的傳遞函數就能得到所給系統的輸出響應。

鑒于該課程的特點和Matlab的優勢，可以將二者有機地整合起來。依據每一章分析和校正系統特點，進行一個全新的設計，使其滿足每一章的教學要求。

2.1 Matlab 在時域分析法中的應用

時域分析法是通過觀察系統輸出響應跟隨單位階躍響應變化，進而分析該系統穩定性、準確性和快速性的一種方法。

在對系統進行分析時，由于一階系統只有一個參數—時間常數T，且該系統傳遞函數較為簡單，可以很容易進行求解，因此不存在多大困難。但是對于二階系統，其涉及兩個重要參數—阻尼比ζ 和無阻尼自然振蕩頻率?n。此時就需要固定?n，對ζ 進行獨立分析。由于ζ 變化會引起二階系統特征根的變化，特征根的變化又會導致系統性能的改變。因此，對二階系統性能的分析可以設計為簡要介紹加學生自主探索的模式。在這一模式下，教師只需簡要介紹二階系統閉環傳遞函數和影響系統性能的因素。至于如何影響，則全由學生獨立去探索。

假設有一個二階系統，其閉環傳遞函數如式1所示。令ζ 分別等于2、1、0.75、0.5、0.2和0，試分析在單位階躍響應下ζ 對二階系統性能的影響。

對于上述問題的探究，可以借助Matlab中搭載的Simulink。利用Simulink庫中提供的模塊可以構建系統的傳遞函數。系統的輸出則可通過示波器模塊進行觀察。對于上述系統，其Simulink結構如圖1所示，示波器的輸出結果如圖2所示。除此之外，還可以借助編程手段對該問題進行探究，具體程序如下，其輸出響應曲線如圖3所示。

由圖2和圖3可知，隨著ζ 的逐步減小，二階系統的上升時間tr在縮短，超調量6% 在增加，即系統的快速性在變好，穩定性在變差。通過對比發現，系統的快速性和穩定性是一對不可調和的矛盾。要想提升其中一個的性能，必然要犧牲另一個的部分性能。

除此之外，隨著ζ=2逐步減小到ζ=0，二階系統的穩定性從較好變成了不穩定。對于線性定長系統而言，系統的穩定性與系統的特征根之間息息相關。因此，可以借助Matlab中求根函數和零極點標注函數探索系統特征根與系統穩定性的關系。

通過求解，每個ζ對應的特征根如表1所示，零極點標注如圖4所示。

由表1可知，ζ 由2變化到-0.2的過程中，二階系統的兩個特征根從剛開始的小于0變為大于零，有實根也有復根。從圖4根的分布來看，二階系統的根則從一對不相等的負實根到一對相等的負實根，再到一對實部為負的共軛復根，一對純虛根，最終變成一對實部為正的復根。而在這一變化過程中，系統也從穩定變為了臨界穩定直至最后的不穩定。

結合系統輸出響應曲線、系統特征根和系統零極點的分布，不難得出如下結論：當系統特征根小于零時，系統穩定；當系統特征根為純虛根時系統處于臨界穩定；當系統特征根大于零時，系統不穩定。

盡管以上只給出了一個系統的根和其穩定性的關系，單一系統也無法替代所有的線性定常系統。但整個探尋過程給學生提供了一種思考和解決問題的思路。學生可以以此對不同階次的系統展開討論，判斷上述結論是否對高階系統也同樣成立。

通過上述實驗，學生對二階系統阻尼比ζ 如何影響系統性能有了一個直觀的認識。對根的分布情況和系統穩定性之間的關系也有了一定的了解。緊接著授課教師就可以帶領大家，從數學層面去揭秘它們的關系。從整個教學過程看，新的教學方法立足于學生動手實驗，做到了以學生為中心。打破了之前直接灌輸式的教學方式，培養了學生的動手能力、編程能力，還教會了學生看待問題和處理問題的方法，提升了教學質量。

2.2 Matlab 在根軌跡分析法中的應用

根軌跡法是以圖解的形式表述閉環系統特征根隨系統某一參數變化而變化的方法。該方法用開環傳遞研究閉環系統特征根的問題，避免了解高次方程的根。通過繪制系統的根軌跡，可以直觀地觀察系統特征根隨參數變化的分布情況，也可以清楚地確定系統的穩定區間和該區間內系統性能的變化。

對于根軌跡分析法，其中最重要的一環是能夠準確地繪制出系統的根軌跡。對此，自動控制原理給出了八條繪制根軌跡的法則。通過這些法則，可以正確繪制出系統的根軌跡。但是，通過學生的測驗、作業和試卷反饋，學生對這一知識點的掌握并不是很好。究其原因，主要是學生對八條法則的合理運用存在一定的困難。對此，在進行根軌跡繪制時，可以采用Matlab 輔助繪制，即先讓學生獨立運用八條法則繪制，等繪制完成之后，再利用Matlab進行驗證。除此之外，學生還可以借助生成的根軌跡曲線探究系統的性能。

例如給定一個系統的開環傳遞函數，其表達式如式2所示，繪制其根軌跡圖。

從式2可知，該系統既有極點又有零點，且極點與零點數目相差為1。因此不滿足“根之和”這條法則的應用條件。除此之外，可以依次使用其他七條法則對該系統的根軌跡進行繪制。接著利用Matlab再次繪制該系統的根軌跡，并與手工繪圖進行對比，以此校正手工繪制過程中的偏差。其中Matlab繪制的根軌跡如圖5所示。

從圖5可知，Matlab可以非常精準地繪制出系統的根軌跡。學生可以將其作為參照，糾正自己繪圖中的錯誤，進而吸收并熟練掌握繪制根軌跡的八條法則。

相較于手工繪圖，計算機繪圖能夠較為準確地表述當K 值從零變化到無窮時，閉環系統特征方程的特征根所處的位置，便于對系統進行分析。同時，通過圖5學生還能清楚地分辨出系統根軌跡的條數，每條根軌跡的走向和變化趨勢。如果用鼠標點擊根軌跡上的任意一點，圖像還會顯示該點處的K 值大小、零極點值、阻尼比、超調量和頻率值。借助這些參數學生可以討論該系統的各種性能，選擇合適的K 值，便于系統的校正。

2.3 Matlab 在頻域分析法中的應用

作為又一種圖解方法，頻域分析法的主要思想是：把系統中的各個變量看成一些信號，而每一種信號又可以分解為不同頻率的正弦信號。這樣整個系統的響應就等同于這些正弦信號分別作用于該系統的響應總和。它與根軌跡分析法一樣，可以利用作圖的形式很直觀地反映系統的性能，避免了解高次方程的根，該方法已被廣泛應用于工程分析和設計中。

但是在實際教學中，學生普遍存在坐標把握不精確，模值、相角求解困難以及轉折頻率無法精準計算等問題。因此影響了Nyquist 圖和Bode 圖的正確繪制。進而妨礙了系統性能的分析。對此，可以利用Matlab仿真解決這一問題。

由式3、nyquist（num， den）、bode（num， den）和margin （mag， phase， w）可得系統的Nyquist圖和Bode圖。其具體響應如圖6和圖7所示。

由圖6可知，當K=1時，系統的Nyquist曲線沒有包圍（-1，j0）點。依據Nyquist穩定判據，在該情況下，系統穩定；當K=3.8時，系統Nyquist曲線剛好過（-1，j0） 點，該系統處于臨界穩定；當K=10時，系統Nyquist曲線順時針包圍（-1，j0）點半圈，該系統不穩定。

為了驗證上述結論的正確性，可以觀察三種情況下系統Bode圖的幅值裕度和相角裕度。由圖7可知，當K=1時，系統相角裕度為正，系統幅值裕度大于1，系統穩定；當K=3.8時，系統相角裕度為0，系統幅值裕度為1，系統臨界穩定；當K=10時，系統相角裕度為負，系統幅值裕度小于1，系統不穩定。

由上述例證可知，利用Matlab可以快速精準地求解出系統的Nyquist圖和Bode圖，避免了手工繪圖產生的誤差和錯誤。精準的圖像更利于系統穩定性和系統動態性能的分析，便于系統的設計。

3 效果與反思

相較于之前的灌輸式教學，在新的教學方式下，學生的自主意識有了明顯的提升，特別是第三章時域分析法的學習。學生從之前的只聽老師講，變成了自己或與其他同學合作去探索整個問題的答案，學會了用對比的方法找問題間的差異，進而研究導致這些差異的原因，學會了研究某一問題的基本方法和手段。該方式培養了學生的質疑和解決問題的能力。

通過由實驗到理論、理論到實驗之間的不斷轉換，學生對于知識的理解在不斷地加深。有些晦澀難懂的知識點在這一過程中也得到了全新的解釋。學生對于知識的理解不再浮于表面，而是看得更深，理解得更加透徹和全面。實驗和理論的相互交叉也更利于學生從理論到實際的轉化，便于后續的工程應用。

4 結論

本文針對自動控制原理這門課程在教學過程中遇到的問題，提出了將系統仿真技術應用于該課程日常教學的解決方法。該方法借助Matlab仿真的優勢，對之前的教學方法進行了改進。依據每章知識的特點，對各章節進行了不同的設計。在學生掌握基礎知識的前提下，進一步培養學生獨立思考和獨立探索的能力。經過該方法的應用，能夠調動學生的學習積極性。學生更樂意從實驗、從討論中得到相應的結論。與之前的教學方法相比，該方法進一步將探索和發現的過程還給了學生，學生進一步成為學習的主體。整個教學效果有了進一步的提升。