高考試題中數(shù)學建模能力的考查分析

周先華 鄭傳遠 原坤 謝發(fā)超

【摘 要】數(shù)學建模能力是應用數(shù)學解決實際問題的關鍵能力，是推動數(shù)學發(fā)展的強勁動力。文章以2021—2023年高考數(shù)學全國卷共18套試卷為例，從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度對高考數(shù)學建模水平層次進行量化分析，提出了整體設計數(shù)學建模活動，逐步提升數(shù)學建模能力的建議。

【關鍵詞】數(shù)學建模；數(shù)學應用；整體設計；課程標準；高考評價

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《數(shù)學課程標準》）提出高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析［1］。結合《中國高考評價體系》教育部教育考試院任子朝博士等提出高考命題數(shù)學學科考查的關鍵能力包括五個方面，即邏輯推理能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力［2］。隨著新課程、新教材、新高考的實施，人們對高考數(shù)學試題中上述關鍵能力的研究日益增多，但是針對數(shù)學建模能力考查的試題研究還比較少，大多數(shù)研究者在對數(shù)學學科核心素養(yǎng)分析時只是稍微涉及一些數(shù)學建模內容。因此，在新高考背景下對高考試題中的數(shù)學建模能力的考查分析具有十分重要的意義。本文以2021—2023年高考數(shù)學全國卷共18套試卷中的試題為研究對象，深入分析數(shù)學建模的基本考查特征，提出提升數(shù)學建模能力的教學建議。

一、數(shù)學建模素養(yǎng)

（一）數(shù)學建模素養(yǎng)的內涵

《數(shù)學課程標準》指出，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學建模素養(yǎng)作為高中數(shù)學學科素養(yǎng)的六大組成部分之一，是對數(shù)學學科素養(yǎng)育人的回應，是對“三會”基本理念的實踐：“會用數(shù)學眼光觀察世界”——提出問題階段；“會用數(shù)學思維思考世界”——模型建構階段；“會用數(shù)學語言表達世界”——模型改進階段。

《中國高考評價體系》把“關鍵能力”定義為，即將進入高等學校的學習者在面對與學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，高質量地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力。為更有利于高考命題，共確立了三個方面的關鍵能力群，即知識獲取能力群、實踐操作能力群（包含數(shù)學建模能力）和思維認知能力群，并把考生在這三個方面的發(fā)展層次與水平作為主要的考查內容［3］。數(shù)學建模素養(yǎng)就是數(shù)學建模能力的內隱，不方便直接設置成考題進行考查；而數(shù)學建模能力是數(shù)學建模素養(yǎng)的外顯，便于設置成高考試題進行考查［4］。

（二）數(shù)學建模素養(yǎng)的水平劃分

《數(shù)學課程標準》把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個方面劃分為三個水平層次，并且每一個水平層次再通過情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度進行詳細表述，見表1。

其中，情境與問題這一維度包括“情境”“問題”兩個方面。在教學中，我們常常把情境指向具有一定情感氛圍的教學活動。《數(shù)學課程標準》中的情境主要有三類：現(xiàn)實情境——來自生產(chǎn)、生活現(xiàn)實的情境，數(shù)學情境——來自數(shù)學學習與探究過程的情境，科學情境——來自科學探索的情境。這里主要指在數(shù)學探索過程中的跨學科情境。而問題指在具體的情境中提出的具體的數(shù)學問題。

在知識與技能維度中，知識是數(shù)學學科內容中的數(shù)學知識，主要包括集合、函數(shù)（包括方程與不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等）、向量、立體幾何、平面解析幾何、概率與統(tǒng)計等。技能是指在數(shù)學學習中通過反復訓練而形成的一些熟練動作。例如求簡單函數(shù)的定義域、利用定義討論函數(shù)的單調性等。

思維與表達主要指是在高中數(shù)學學習活動過程中所體現(xiàn)出的學生的理性思維品質（如獨立而創(chuàng)新的看法，對某一數(shù)學問題的多角度思考、發(fā)散性或逆向地求解數(shù)學問題等）和嚴謹而精準的表達。

交流與反思主要涉及如何進行數(shù)學交流與評價方面，即能夠運用包括自然語言、符號語言和圖形語言等在內的數(shù)學語言對數(shù)學概念、數(shù)學思想方法等進行描述、解讀、歸納總結、溝通與交流、評價等。

二、分析對象的選擇

高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能，決定了高考試題的三大工具性：學科育人目標檢測、高等學校人才選拔和中小學教學引導工具。高考數(shù)學試題對提升數(shù)學學科的育人功能、人才選拔功能起著至關重要的作用。數(shù)學建模源于對現(xiàn)實生活問題的數(shù)學抽象，這也是將其作為分析對象的關鍵性依據(jù)。本文以2021—2023年高考數(shù)學全國卷18套試卷為例，采用定量分析與定性分析法相結合，從題號分布、內容特征兩個方面分析近三年高考試題的特點及命題現(xiàn)狀。

三、數(shù)學建模素養(yǎng)的考查特征分析

（一）試題題號分布

筆者對2021—2023年高考數(shù)學全國卷的建模試題進行歸類及分析，結果如下（見表2至表4）。

從表2至表4可以看出，數(shù)學建模客觀題的考查試題數(shù)不穩(wěn)定，一般在1—2道，多則3道，少則0道；解答題的考查試題數(shù)比較穩(wěn)定，基本上有1道以概率統(tǒng)計為背景的解答題（2022年全國甲卷文科除外）。客觀題大多數(shù)分布在前9題，以簡單應用情境考查基礎知識和基本技能，尤其是以時事為背景的試題偏多，主要考查學生從現(xiàn)實問題中提取數(shù)學問題，并運用已學知識簡單計算或推理，體現(xiàn)了數(shù)學的應用性。解答題的題目總體上所在的位置變化不大，一般處在第17、18和19題的位置，而新高考卷變化較大，在第20、21題中均有出現(xiàn)，這說明在新高考理念下，試題加大了對實際應用的考查，尤其側重在綜合情境下對學生能力的考查。例如2021年新高考Ⅱ卷第21題和2023年新高考Ⅰ卷第21題，分別以微生物繁殖、投籃為背景考查概率、等比數(shù)列及導函數(shù)等知識的應用，使得試題情境復雜，解答靈活，更能體現(xiàn)新課改的力度，也印證了為什么新教材上會出現(xiàn)大量現(xiàn)實情境問題的引入案例。

（二）考查內容特征分析

以上文表1所述的數(shù)學建模素養(yǎng)四個方面的維度以及各自在三個層次水平下的質量描述為依據(jù)，對上述高考試題中的客觀題、解答題的考查情況做出量化分析（如圖1至圖4）。

基于以上分析，可以得出以下結論：

1.我們把數(shù)學建模素養(yǎng)的情境與問題維度下的質量水平層次分別稱為基礎性關聯(lián)、一般性關聯(lián)、和綜合性關聯(lián)，分別與表1中的水平一、水平二和水平三對應。從圖1中可以看出，客觀題和解答題在基礎性關聯(lián)的試題數(shù)遠超過一般性關聯(lián)。因此，從情境與問題維度來看，高考中數(shù)學建模問題著重考查對熟悉的數(shù)學模型的識別（即深刻理解其現(xiàn)實背景與數(shù)學表達）和從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題的能力。學生必須具備相應的信息獲取、研究探索和科學思維能力等數(shù)學學科關鍵能力。例如2023年全國甲卷理科第6題以報名體育俱樂部作為情境考查條件概率，2023年新高考Ⅰ卷第10題在噪聲污染問題情境中考查指數(shù)、對數(shù)運算，2023年新高考Ⅱ卷第12題在信號傳輸情境中考查相互獨立事件的概率計算，2022年全國甲卷理科第19題在學校體育比賽情境中考查概率計算，2022年全國乙卷理科第4題以探月任務為情境考查數(shù)列模型。

2.知識與技能維度的特征包括三個層次：模仿型理解（水平一）、選擇型理解（水平二）、創(chuàng)造型理解（水平三）。其中，模仿型理解主要對應技能程度的考查，即能否模仿已知的數(shù)學建模過程進行問題求解；選擇型理解則指在現(xiàn)實問題情境下進行恰當?shù)臄?shù)學模型的選擇，顯然，這依賴于對各種可能的數(shù)學模型所能解決問題的類型、參數(shù)的意義與確定、結果的檢驗與模型完善等方面的深入理解。從圖2可看出，客觀題與解答題在水平二的試題數(shù)均遠遠多于水平一。數(shù)學模型的選取取決于所考查的現(xiàn)實問題背后所蘊含的數(shù)學本質與規(guī)律。

下面，筆者根據(jù)各知識板塊內容對試題數(shù)量的占比進行統(tǒng)計（如圖5），以便讓大家更好地了解數(shù)學建模能力在各個知識板塊下的考查比重。

從圖5可以看出，對概率與統(tǒng)計的考查占比最大，其次是排列與組合。技能上強化了所建立的數(shù)學模型中的參數(shù)的選取、參數(shù)的數(shù)學意義（代數(shù)或幾何意義）、建立模型及求解模型的基本方法與步驟等。如2022年新高考Ⅰ卷第4題考查了在南水北調工程情境下的棱臺模型，涉及棱臺的體積計算；第20題考查在地方性疾病情境下的相關性，主要是運用相關公式進行數(shù)學運算及邏輯推理，綜合性強，對條件概率模型的識別與運用的理解要求較高；2023年新高考Ⅰ卷第10題不僅考查學生快速抽象出基本數(shù)學模型，還考查對數(shù)運算及估算等基本技能。

3.思維與表達維度包括基礎性運用（水平一）、關聯(lián)性運用（水平二）、本質性應用（水平三）。基礎性運用聚焦于對已學的數(shù)學模型的意義的說明；關聯(lián)性運用聚焦于在思維層面上經(jīng)歷數(shù)學建模的過程；本質性應用則聚焦于對數(shù)學模型所蘊含的作用與價值的理解。通過圖3，我們發(fā)現(xiàn)，客觀題與解答題在水平二的試題數(shù)遠多于水平一，即高考試題著力于考查數(shù)學建模的思維全過程。例如2022年新高考Ⅱ卷第3題考查以中國古建筑屋頂為情境的等差數(shù)列模型，需要考生通過確定等差數(shù)列的基本參數(shù)（首項與公差）建立模型，并通過模型解決問題——求數(shù)列的某一確定項。2021年新高考Ⅰ卷第16題考查在剪紙藝術情境下的等比數(shù)列模型，需要考生確定等比數(shù)列的基本參數(shù)建立模型并通過此模型解決問題——求前n項和。2023年新高考Ⅰ卷第21題考查以籃球運動為情境的概率統(tǒng)計模型，在問題解決過程中還需要根據(jù)數(shù)列遞推式構造新數(shù)列求和，即需要確定等比數(shù)列的基本參數(shù)建立模型并求解。以上試題均聚焦于完整的數(shù)學模型建立的過程。

4.交流與反思維度包括基本性解釋（水平一）、一般化解釋（水平二）、綜合性解釋（水平三）。三個水平層次分別聚焦于借助建模結果解釋問題，通過建模思想解釋問題、闡釋規(guī)律。從圖4可以看出，客觀題和解答題均側重考查水平一。例如2021年新高考Ⅱ卷第4題考查以衛(wèi)星導航系統(tǒng)為情境的球體模型，通過球體表面積公式等相關計算結果說明衛(wèi)星信號覆蓋率情況；2021年新高考Ⅱ卷第21題考查以微生物繁殖為情境的函數(shù)模型，通過相應概率及函數(shù)運算的結果解釋微生物繼續(xù)繁殖或滅絕的基本規(guī)律。

四、教學建議

基于上述認識，在教學實踐中，教師應努力提升情境問題設計能力，特別是設計真實的、激發(fā)學生興趣的情境。同時，整體設計數(shù)學建模活動的教學，讓學生在數(shù)學實踐與應用中逐步提升數(shù)學建模核心素養(yǎng)。

（一）分層設計，重視數(shù)學建模活動

數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分，其綜合性較強，與其他五個核心素養(yǎng)之間緊密聯(lián)系并相互融合。數(shù)學建模素養(yǎng)的提升是一個有層次且循序漸近的過程，需要在教學中整體設計，逐步滲透。根據(jù)數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展水平層次，可以進行以下7個層次的整體過程設計。

1.設計實際情境：為幫助學生理解數(shù)學基礎知識而進行實際情境設計。例如為理解指數(shù)函數(shù)而設計人口增長、病毒繁殖的函數(shù)模型。

2.理解實際意義：直接或間接地運用數(shù)學知識得到有實際意義的結果或解釋結果的實際意義。例如根據(jù)指數(shù)函數(shù)計算出經(jīng)過10次繁殖后的病毒數(shù)量，理解短期內感染人數(shù)的劇烈增長。

3.初識實際問題：通過講解、合作等方式，帶領學生解決一些簡單、具體的實際應用問題。

4.解決簡單問題：讓學生獨立自主地解決一些簡單、具體的實際應用問題。

5.提出實際問題：在給出的生產(chǎn)生活情境中，引導學生自主提出實際問題，然后師生再共同進行“建立模型”“模型求解”兩個過程的數(shù)學活動，讓學生初步經(jīng)歷數(shù)學建模活動經(jīng)驗。

6.部分自主建模：在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、模型選擇、模型建立、模型求解、結果解釋等環(huán)節(jié)中，教師部分參與（即主要提供思維方向引導），讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的選題、開題、做題與結題的全過程。

7.全過程自主建模：讓學生獨立經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，并在此過程中自主決定是否尋求教師的指導。

其中，第1—3層次應在日常教學中完成，第4層次則在章末復習時完成，最后再根據(jù)學生的具體情況，逐步實現(xiàn)第5—7層次的要求。

（二）逐步滲透，提升數(shù)學應用意識

學以致用是素質教育的根本目的。在數(shù)學學習中，可以在知識學習的同時，將典型的生產(chǎn)生活應用與之建立聯(lián)系。以貼近生活、社會、時代的生活實踐和學習探索情境為載體，聯(lián)系社會發(fā)展、科學進步、生產(chǎn)生活實際進行應用性考查，讓學生體會數(shù)學源于生活，并應用于生活。例如，指數(shù)函數(shù)與病毒繁殖、指數(shù)爆炸；半衰期和聲強的對數(shù)模型；概率與運動擊中目標（如投籃、射擊等）；數(shù)列與存款的本息和；三角函數(shù)與高度、長度、角度；等等。教師將數(shù)學知識在生活中的應用滲透于每一節(jié)課中，讓學生將模型應用到實際當中，并用計算結果去說明實際問題。這樣不僅能讓學生強化知識，而且對提升學生的數(shù)學應用意識和學習數(shù)學的興趣都會產(chǎn)生積極作用。

（三）追根求源，挖掘概念應用背景

重要的數(shù)學概念，其產(chǎn)生一定具有某種應用背景，讓學生體會數(shù)學概念的生成過程，實現(xiàn)從被動接受數(shù)學概念到主動參與數(shù)學概念的誕生，對提升其數(shù)學應用意識具有重要價值。如復數(shù)的產(chǎn)生歸根于在求解部分實系數(shù)一元三次方程中無法回避的問題——求一元二次方程x2=-1的根；數(shù)列遞推公式——大自然中的斐波那契數(shù)列；而函數(shù)的概念源于17世紀人們對運動的研究。挖掘并引導學生理解重要的數(shù)學概念的應用（包括生活中的應用或數(shù)學自身的應用）背景，還可以提升學生對數(shù)學的科學價值、文化價值甚至審美價值的認識。

（四）順藤摸瓜，梳理重要結論的應用

重要的數(shù)學結論應用非常廣泛。如余弦定理是勾股定理的一般性結論，不僅可以解決直角三角形問題，還可以解決任意三角形的相關問題；圓錐曲線的焦點性質，決定了其對光學的聚合作用，從而在電影機、手電筒等光學器材，甚至建筑領域的應用；函數(shù)的周期性在未知領域的規(guī)律探索中的應用；坐標系在衛(wèi)星導航中的應用；等等。

在數(shù)學教學中，教師要用心引導學生經(jīng)歷以下學習過程：從已學過的知識與方法，到自主選擇知識與方法解決實際問題；從套用已學的數(shù)學模型，到自主選擇恰當?shù)臄?shù)學模型解決實際問題；從簡單、熟悉的情境，到復雜、綜合的情境；從單純做題，到發(fā)現(xiàn)生活中的問題的數(shù)學解釋，從而進行數(shù)學探究和數(shù)學建模；從單純的數(shù)學知識與方法的學習，到解決實際問題，并在此過程中獲得充分的數(shù)學活動經(jīng)驗，從而提升學生數(shù)學建模能力。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數(shù)學科考試內容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］原坤，吳智敏，謝發(fā)超，等. 高考試題中運算求解關鍵能力的考查分析：以2019—2021年高考全國卷中解析幾何試題為例［J］. 教育科學論壇，2022（4）：37-39.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】周先華，高級教師，成都市特級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；鄭傳遠，一級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；原坤，一級教師，成都高新區(qū)學科帶頭人，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；謝發(fā)超，成都市玉林中學校長，成都市學科帶頭人，主要研究方向為學校管理、中學數(shù)學教育教學。

【立項課題】四川省2022年度教育科研重點課題“從復現(xiàn)到運用——回歸知識脈絡的問題情境教學研究”（SCJG22A033）；四川省教育學會2022年度教育科研課題“深度學習視閾下高中數(shù)學課堂教學設計研究”（川教學會〔2022〕18號）；成都市2022年度教育科研規(guī)劃名師專項課題“回歸知識脈絡的問題情境教學研究”（CY2022ZM28）