羽毛球極限揮拍速度與Fourier級數(shù)展開

董一諾 沈軒昊 聶子坤 梁熠宇*

(1.北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;2.北京交通大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院 北京 100044)

1 問題提出

羽毛球是一項(xiàng)隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打羽毛球的一種小型球類室內(nèi)運(yùn)動項(xiàng)目。羽毛球作為一項(xiàng)深受大眾喜愛的隔網(wǎng)對抗型體育運(yùn)動，在殺球的過程中球拍接觸到球時(shí)是否能達(dá)到最大速度決定了殺球威力的強(qiáng)弱，也是羽毛球競技的擊球水平與觀賞性的體現(xiàn)［1］。為了研究羽毛球的極限速度，需要將揮拍的極限速度測量出來，目前市面上的揮拍測速裝置都需要置入對應(yīng)傳感器的球拍，并且只能測出最大速度，無法測出身體其他部位的發(fā)力速度以及最后揮出的位置。該研究的意義在于更好地為羽毛球愛好者尋找出自己的不足，并提供更精確的理論訓(xùn)練指導(dǎo)，也對羽毛球初學(xué)者如何做到正確的揮拍動作提供了指導(dǎo)。

2 模型建立

研究發(fā)現(xiàn)，揮拍時(shí)球拍的運(yùn)動軌跡可以簡化為二維平面上的運(yùn)動，根據(jù)人體揮拍時(shí)發(fā)力的特點(diǎn)：由身體、肩關(guān)節(jié)、大臂、小臂、手腕，多個(gè)部分首尾相接共同發(fā)力。這一特點(diǎn)與復(fù)平面下傅里葉級數(shù)展開十分相似。因此，選擇傅里葉在復(fù)數(shù)域下的展開，通過在復(fù)平面上建立首尾相接的多段向量，進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算。這里，簡化地假設(shè)肩、肘和腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)是獨(dú)立的，且沿同一方向。實(shí)際建模中，可能需要考慮關(guān)節(jié)間的耦合以及不同關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸。

復(fù)數(shù)域下的傅里葉級數(shù)展開為：

傅里葉級數(shù)可以看作是將一個(gè)周期函數(shù)分解為一系列復(fù)數(shù)向量。這些向量首尾相接，表示一個(gè)復(fù)數(shù)平面上的旋轉(zhuǎn)和縮放操作。在復(fù)數(shù)域下的傅里葉級數(shù)表示中，每個(gè)指數(shù)函數(shù)exp（inx）表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)向量，其長度為復(fù)數(shù)系數(shù)Cn。當(dāng)對所有整數(shù)n 求和時(shí)，實(shí)際上是將這些復(fù)數(shù)向量首尾相接，最終得到周期函數(shù)f（x）在每個(gè)點(diǎn)上的值。從幾何的角度來看，每個(gè)復(fù)數(shù)系數(shù)Cn定義了一個(gè)向量，其長度和方向分別由Cn的模和輻角決定。這些向量按照不同的頻率旋轉(zhuǎn)，形成了一個(gè)相互連接的向量鏈。將這些旋轉(zhuǎn)向量相加，可以得到原始周期函數(shù)在任何給定點(diǎn)的值。

根據(jù)身體各部分的數(shù)據(jù)和角速度，建立一個(gè)運(yùn)動學(xué)模型。這個(gè)模型可以表示為各關(guān)節(jié)和球拍端點(diǎn)之間的向量方程。根據(jù)這些方程，可以計(jì)算球拍端點(diǎn)在揮拍過程中的速度和加速度。將角速度數(shù)據(jù)代入運(yùn)動學(xué)模型，計(jì)算球拍端點(diǎn)在揮拍過程中的速度和加速度。

球拍端點(diǎn)速度=大臂長度×肩關(guān)節(jié)角速度+小臂長度×肘關(guān)節(jié)角速度+球拍長度×腕關(guān)節(jié)角速度［2］。

這個(gè)簡化的運(yùn)動學(xué)模型基于以下假設(shè)：（1）肩、肘和腕關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)是獨(dú)立的；（2）所有關(guān)節(jié)沿著同一方向旋轉(zhuǎn)；（3）身體各部分的質(zhì)量分布對速度計(jì)算沒有影響。

2.1 傅里葉變換

快速傅里葉變換（FFT，F(xiàn)ast Fourier Transform）是一種高效計(jì)算離散傅里葉變換（DFT，Discrete Fourier Transform）及其逆變換的算法。DFT 是一種將信號從時(shí)域變換到頻域的數(shù)學(xué)方法。在信號處理、圖像處理、通信等領(lǐng)域中，F(xiàn)FT算法被廣泛應(yīng)用，因?yàn)樗戎苯佑?jì)算DFT更加高效［3］。

上述公式X（k）為離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）的定義。它將一個(gè)離散序列x（n）轉(zhuǎn)換為另一個(gè)離散序列X（k），其中x（n）是原始序列的時(shí)域數(shù)據(jù)，X（k）是該序列在頻域的表示。對于頻域序列中每個(gè)索引k，都計(jì)算時(shí)域序列x（n）乘以指數(shù)項(xiàng)exp（-2πikn/N）的和。這便得到了頻域序列X（k）的值。

使用FFT算法［4］得到的主要頻率分量圖見圖1。

圖1 FFT頻率分量圖

球拍末端速度隨時(shí)間顯示了球拍端點(diǎn)速度隨時(shí)間的變化。x 軸表示時(shí)間（單位：s），y 軸表示球拍端點(diǎn)的速度（單位：m/s）。從圖中可以看出，速度信號呈現(xiàn)出周期性變化的特點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中，角速度數(shù)據(jù)將來源于傳感器或視頻分析，所以可能呈現(xiàn)出不同的形狀和特征。

FFT 結(jié)果顯示了速度信號的傅里葉變換結(jié)果。x軸表示頻率（單位：赫茲），y 軸表示振幅。可以看到，F(xiàn)FT 結(jié)果呈現(xiàn)出明顯的尖峰，這些尖峰對應(yīng)速度信號中的主要頻率分量，揭示了不同頻率分量對整個(gè)揮拍過程的貢獻(xiàn)［5］。

2.2 計(jì)算理論極值

設(shè)l為力臂，w為旋轉(zhuǎn)的角速度

先以一階為例：

推廣至三階：

當(dāng)t=0時(shí)，v取得最大值。

計(jì)算四階：

當(dāng)t=0時(shí)，得到羽毛球的極限速度為：

3 實(shí)際分析

3.1 OpenPose的相關(guān)應(yīng)用

OpenPose人體姿態(tài)識別項(xiàng)目是美國卡耐基梅隆大學(xué)（CMU）基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和監(jiān)督學(xué)習(xí)，并以caffe 為框架開發(fā)的開源庫。可以實(shí)現(xiàn)人體動作、面部表情、手指運(yùn)動等姿態(tài)估計(jì)，適用于單人和多人。OpenPose 提出Part Affinity Fields（PAFs），每個(gè)像素是2D 的向量，用于表征位置和方向信息。基于檢測出的關(guān)節(jié)點(diǎn)和關(guān)節(jié)連通區(qū)域，使用greedy inference 算法，可以將這些關(guān)節(jié)點(diǎn)快速對應(yīng)到不同人物個(gè)體［6］。

3.2 動量守恒及能量守恒定律的相關(guān)應(yīng)用

羽毛球拍擊球時(shí)可近似為彈性碰撞，由動量守恒和能量守恒定律可知：彈性碰撞前后系統(tǒng)的總動能不變，對兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)的正碰情況滿足：

碰后m1的速度幾乎未變，仍按照原方向運(yùn)動，質(zhì)量小的物體以兩倍v1的速度向前運(yùn)動。

3.3 羽毛球愛好者揮拍分析

收集身邊羽毛球愛好者揮拍視頻作為案例，首先進(jìn)行相關(guān)測量，截取視頻中球速最快的兩幀并拼接計(jì)算轉(zhuǎn)動角速度，最終得出相關(guān)數(shù)據(jù)。

如圖2所示，測量得到球拍旋轉(zhuǎn)的角度為6°，測量可知球拍長度67 cm，身體部分參數(shù)為：大臂30 cm，小臂35 cm。已知截取視頻的放慢倍速為32 倍，幀率為30幀/秒，得到實(shí)際速度為33.67 m/s。

圖2 羽毛球愛好者小臂揮拍截圖及OpenPose模型建立

下一步進(jìn)行理論速度的計(jì)算，球拍旋轉(zhuǎn)的角度為6°，間隔的時(shí)間為0.002 s，得出角速度w1=50.265 rad/s；測量得出小臂旋轉(zhuǎn)的角度為31°，計(jì)算得出角速度w2=14.840 rad/s；測量得出大臂旋轉(zhuǎn)的角度為32°，得到間隔的時(shí)間為0.147 s，計(jì)算得出角速度w3=3.803 rad/s，線性疊加得到的理論速度為：0.67×50.262+0.35×14.840+0.3×3.803=40.01（m/s）。

實(shí)際值與理論值之比為：33.67/40.01≈0.84。

3.4 專業(yè)運(yùn)動員揮拍分析

根據(jù)指導(dǎo)教師給出的人體骨架模型，對運(yùn)動員進(jìn)行相關(guān)分析計(jì)算（見圖3）。

圖3 人體骨架模型相關(guān)演示

因?yàn)榉怕稊?shù)未知，可取系數(shù)a，本工作的結(jié)果是求出實(shí)際速度與理論速度的比例，故可將放慢倍數(shù)省略，通過計(jì)算得到時(shí)間為0.067 s，l為球拍長度67.5 cm，可得s=0.349 m，得到實(shí)際速度為5.24 am/s。

下一步進(jìn)行理論速度的計(jì)算，球拍旋轉(zhuǎn)的角度為32°，間隔的時(shí)間為0.1 s，計(jì)算得出角速度w1=6.283 rad/s；測量得出小臂旋轉(zhuǎn)的角度為37°，得到間隔的時(shí)間為0.3 s，計(jì)算得出角速度為w2=2.153 rad/s；測量得出大臂旋轉(zhuǎn)的角度為31°，得到間隔的時(shí)間為1 s，計(jì)算得出角速度為w3=0.541 rad/s；測量得出身體旋轉(zhuǎn)的角度為31°，得到間隔的時(shí)間為5.633 s，得出角速度為w4=0.096 rad/s。線性疊加得到的理論速度為0.67×6.28+0.35×2.15+0.3×0.54+1.7×0.096=5.28（am/s）。

實(shí)際值與理論值之比為：5.24/5.28≈0.992。

4 結(jié)論與建議

通過模型建立以及對案例的具體分析，從普通人和運(yùn)動員兩個(gè)部分分別分析。先將羽毛球運(yùn)動分解為大臂、小臂、身體轉(zhuǎn)動和球拍四部分，逐步分析實(shí)際速度與理論速度的差別。通過分析得出：業(yè)余球員揮拍速度主要依靠最后一個(gè)關(guān)節(jié)的角速度，在缺少身體轉(zhuǎn)動的時(shí)候依舊只能達(dá)到理論值的84%。而職業(yè)球員四段發(fā)力的傳導(dǎo)完整，實(shí)際速度與理論速度高度一致。故對于業(yè)余球員來說，提升球技依舊需要鍛煉揮拍的集中發(fā)力，加強(qiáng)整體發(fā)力的協(xié)調(diào)性，這比單純的力量訓(xùn)練對球速的提升更明顯。