在解題教學中發展和完善學生的CPFS結構

江蘇省蘇州新區第一中學 (215011) 周恩超

分析學生解題過程中的錯誤根源,能使我們認識到學生認知結構的殘缺,從而使教學有的放矢.幫助學生完善CPFS結構,更有利于學生的問題解決,對此我在教學實踐中深有體會.在一次數學測驗中,曾對一道問題的錯解進行了如下統計和訪談:

一、對一道題目的錯解分析

(1)若B?A∩B,求實數a的取值范圍;

(2)若A∩B≠φ,求實數a的取值范圍．

調查對象：內地新疆高中預科(1)班,全班45人,數學基礎良好,中考數學成績均分118分(滿分130分).其中,女生27人、男生18人.

錯解統計：

(1)第(1)問全班有3人作對,其他42人出現了錯誤,其錯誤情況如下:

錯誤類型看不懂條件“B?A∩B”轉化“B=A∩B”后進行不下去轉化到“B?A”而分類錯誤求A或B運算錯誤人數221253百分比48.9%26.6%11.1%6.7%

(2)第(2)問中,全班沒有一個同學取得滿分,有5位同學沒做,其余40位同學均采用分別求出集合A,B,然后再考慮使用條件A∩B≠φ,其中有18位同學直接運用條件A∩B≠φ,即思考如何讓集合A,B交集非空;另外22位同學將問題轉化為求“A∩B=φ”時的情況,而在分類討論中出現了邏輯或運算錯誤.令人遺憾的是,以下兩種解法在試卷上均沒有出現:

訪談分析：為什么對這道題目的解答錯誤率很高,根據該題目兩問中不同的錯誤類型,分別選出部分同學進行了訪談:

師:如何理解條件“B?A∩B”?

生:不知道這個條件是什么意思,換言之,不知如何滿足這個條件.

生:我只知道“A∩B?B”或者“A∩B?A”一定是成立的,而該題目中的條件“B?A∩B”讓人不可理解,是不是題目錯了.

師:如何理解“B?A∩B”與“A∩B?B”同時成立?

生:不能理解,我認為這是矛盾的.

生:可以理解,條件“B?A∩B”是人為給出的;而“A∩B?B”是一個基本事實.這兩個條件如果不矛盾的話,必須要有“A∩B=B”.

師:理解得很好,可如何理解“A∩B=B”?

生:我覺得所得到的這個條件也是矛盾的,“A∩B”是集合“B”的一部分,那么,“部分”怎么可能與“整體”相等呢?

生:我覺得可以理解,如果“A∩B=B”,則意味著“B?A”.

師:如何理解“B?A”呢?

生:“B?A”就是說,集合B中的每一個元素都在集合A,但集合A中的元素一不定在集合B中.

師:回答很好,但如果集合B中沒有元素,可以說“B?A”嗎?你能用文恩圖來說明“B?A”的幾種情況嗎?

在老師的提醒下,學生恍然大悟,意識到空集是任何集合的子集.

生:“B?A”應包括三種情況:B=φ;B?A;B=A.

師:怎么理解xo∈{x|x2-x-a2-a<0}?

生:xo∈{x|x2-x-a2-a<0},即xo滿足條件x2-x-a2-a<0,從而不等式xo2-xo-a2-a<0成立.

生:如果老師不提出這個問題的話,根本不會去想到將條件“A∩B=φ,A∩B≠φ”向恒成立或存在性問題方面去轉化.在老師的提醒下,好像可以那樣去理解了.

二、完善學生CPFS結構對問題解決具有重要意義

有了跟同學們的以上交流,不難理解學生思維受阻原因了,他們找不到解決問題的突破口,關鍵是學生的“CPFS”結構殘缺、不完善導致.所謂“CPFS”結構即概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構(概念域(concept field)、概念系(concept system),以及命題域(proposition field)、命題系(proposition system).

在數學問題解決的過程中,如何將問題條件或結論用數學語言去作等價描述,即對問題如何進行“有意義的等價表征”,這是解題思路獲得的前提和開端;其次要積極尋找當前問題的“遷移源”,進行模式識別、概括、類比的合理借鑒,而不是盲目地“試誤”;再者,在解決問題的執行過程中,同樣需要解題者自我監控,及時反思、調整.以上都需要解題者具備相關問題的概念域(系)和命題域(系),而個體形成了良好的CPFS結構,就是在長時記憶中貯存了與所要解決的問題相關的數學知識信息,知識間彼此相連,形成個性的、穩固的知識網絡,新問題的解決的實質就是搜尋、提取、激活相關知識結點的過程.CPFS結構是數學所特有的認知結構,它不但包括數學的概念、公式、定理、公理等“硬件”,而且包括數學思想方法、數學觀念等“軟件”.其知識命題之間除了上、下位關系外,還包括“等價”這種同位關系,因而,知識結點的激活將更容易、更全面,解決問題的渠道更加暢通.試想,如果我們能在日常教學中,根據學生們的數學解題體驗,幫助學生逐步建立、完善“CPFS結構”,那么對學生的解題該有多大幫助.

三、發展和完善學生CPFS結構的教學策略

1、在概念、命題教學中,加強數學理解形成網絡體系

在概念、命題教學中,一定要重視知識產生、發展的過程,深刻認識數學對象的背景、產生途徑和規則的邏輯依據,把握數學對象的本質,幫助學生建立關于以上觀念的內部網絡.只有學生了解了一個概念(或命題)與其他概念(或命題)的相互關系以及它們在優化后的認知結構中的位置,學生才能真正地視為己有,才能靈活地遷移應用.要引導學生學會從系統的觀點整理概念和命題的方法,把有關概念和命題串成鎖鏈、編成網絡、配以圖示、縱橫聯系,使學生主動獲得一個個有序的概念組和命題組塊,能從整體中看部分,從部分中看整體.

2、在解題教學中,通過反思、提煉數學體驗完善認知結構

問題是數學的心臟,尋找和發現數學問題,是獲得數學發現和進行數學思維的基本方法之一,同時,也是完善和發展個體“CPFS”結構的必經途徑.在解題教學中,要重視學生的數學體驗,引導學生在數學實踐中反思、整理、歸納、提升,模式識別分類后進行有意義儲存,達成“長時記憶效果”.在具體教學中,多采取“問題鏈”、“拋錨式”的教學策略,適當進行變式教學,一題多解、并多解選優.重視解題后的回顧與反思,培養學生“研究意識”,及時積累加工后的“雕蟲小技”,讓思考、積累成為一種習慣.在“理論、實踐、再理論、再實踐”的螺旋交互過程中,內化、補充、優化、完善已有的認知結構.例如在集合教學中通過以下題組訓練:

(1)已知集合A=[1,2],B={x|x2-x-a≤0},若A?B,求實數a的取值范圍?

(2)已知集合A=[1,2],B={x|x2-x-a≤0},若A∩B=φ,求實數a的取值范圍?

(3)已知集合A=[1,2],B={x|x2-x-a≤0},若A∩B≠φ,求實數a的取值范圍?

讓學生深刻理解集合語言“A?B、A∩B=φ、A∩B≠φ”的等價表征,將問題轉化為“恒成立問題或存在性問題”解決,由此展開并結合學生原有的解題實踐,幫助學生逐步建立完善以下認知結構:

圖1

3、重視元認知教學策略,提高學生自我監控能力

數學解題的認知結構是由解題知識結構、思維

結構和解題的元認知結構所組成.因此加強學生數學元認知能力的培養,有利于訓練學生解決問題的“自醒意識”,避免走彎路或少走彎路,并能做好及時調節.一旦這種“自我監控能力”得到提高,就會從根本上改善學生的學習方式,學生個體“CPFS結構”的生成建構,便會由點到線、由線到面.同時,也會隨著學生數學認識的提高和對數學實踐的反思,對已有的“CPFS結構”進行動態調整、完善.所以,幫助學生提高元認知知識,豐富學生的元認知體驗,指導學生調節與監控自己的學習過程,是教師日常教學中不應忽視的重要任務.

發展和完善學生的“CPFS結構”對學生的數學學習意義重大,對老師的教學提出更高的要求和挑戰.對此,我們應不懈努力.