深挖試題背景 把握命題方向*
——以一道解析幾何試題為例

廣東省惠州仲愷中學(xué) (516229) 陳偉流

縱觀近幾年的高考解析幾何試題,絕大部分都以豐富的背景和內(nèi)涵,如“手電筒模型”、“圓錐曲線的極點(diǎn)極線”、“阿基米德三角形”、“彭賽列圓”等知識理論,而成為廣大師生深耕不倦的“香餑餑”.高考以試題為考核載體,重點(diǎn)考查了學(xué)生運(yùn)算求解,邏輯思維,空間想象等關(guān)鍵能力,滲透了對數(shù)學(xué)核心學(xué)科核心素養(yǎng)的隱性測評.因此,身為教育的先行者,教師在解題教學(xué)實(shí)踐,要通過深挖試題背景,還原命題本質(zhì),探討試題所反映的一般性規(guī)律,這樣才能精準(zhǔn)把握命題方向,在教學(xué)實(shí)踐中扮演好指明燈的重要角色,從而培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文通過對2023屆惠州三調(diào)解析幾何試題的背景溯源,整體構(gòu)建,縱向深化,橫向遷移等探索之旅,以此為基礎(chǔ)提出在解析幾何試題命制的個(gè)人嘗試,期待能與讀者在思維上碰撞出更多的火花.

1 試題再現(xiàn)

⑴求橢圓C的方程;

⑵如圖1,點(diǎn)P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點(diǎn),若T是直線OM與直線QF的交點(diǎn).是否存在確定的一個(gè)曲線,使得T始終在該曲線上?若存在,求出該曲線的方程;若不存在,請說明理由．

圖1

2 背景溯源

因點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),直線x=4為其右準(zhǔn)線,若將橢圓方程及對應(yīng)條件的參數(shù)一般化處理,有

注意到右焦點(diǎn)及右準(zhǔn)線是橢圓的一對特殊的極點(diǎn)和極線,若將其進(jìn)一步一般化,有

圖2

3 整體構(gòu)建

4 縱向深化

圖3

圖4

5 橫向類比

基于圓錐曲線知識體系的統(tǒng)一性,將探究背景置換為雙曲線,經(jīng)筆者探究,有

6 命題初探

高考中的解析幾何試題往往依托于圓錐曲線體系中的某個(gè)經(jīng)典知識理論,再取某些特殊幾何信息點(diǎn)為條件支撐,歷經(jīng)演繹推理的論證過程,從而產(chǎn)生了高度概括性的一般化結(jié)論.通過試題關(guān)鍵信息點(diǎn)的合理解構(gòu)與有機(jī)重構(gòu),再類比遷移到其他圓錐曲線,結(jié)合學(xué)情及考點(diǎn)方向,便可創(chuàng)作出一系列背景深厚,結(jié)論優(yōu)美,耐人尋味的高考母題.經(jīng)歷前文對試題進(jìn)行背景溯源,整體構(gòu)建,縱向深化及橫向類比的推理探究過程,筆者以定值,定點(diǎn)等作為命題方向進(jìn)行嘗試,以期待與讀者有更深入的交流.

⑴求橢圓C的方程;⑵點(diǎn)P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點(diǎn),若T是直線OM與直線QF的交點(diǎn),是否存在定點(diǎn)E,使得點(diǎn)T在運(yùn)動過程中,始終保持線段ET的長度恒為定值?若存在,求出定點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由．

⑴求橢圓C的方程;⑵點(diǎn)P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點(diǎn),設(shè)直線OM交直線x=4相交于N.當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動時(shí),試證明:以線段QN為直徑的圓恒過定點(diǎn).