一道四川預賽試題的解法賞析

北京師范大學貴陽附屬中學 (430079) 李嘉鈴

1.預賽試題

題目(2022年全國高中數學聯賽四川預賽第6題)若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+3c2=7,則△ABC面積的最大值為.

這是一道只有一個條件的求三角函數面積的最值問題,注意到已知等式中a,b,c均帶平方,且a與b是對稱的,所以在選擇面積的表示方法時就要充分考慮到這些因素,為下一步求最大值做好鋪墊.

2.多解探究

記△ABC面積的最大值為S.

解法2：(利用海倫—秦九韶公式,再轉為二次函數處理)

3.題后反思

這五種解法都包含兩個主要方面:面積的表示方法和求最大值的方法.

(1)面積的表示方法.因為三角形的面積公式比較多,而且用同一個公式也有不同的切入點,這就導致了這類題的解法多樣,這五種方法就是這樣產生的.不同的表示方法也基本決定了后面解題過程的走向和難易程度,所以選一個好的表示方法很重要.

(2)求最大值的方法.這五種方法求最大值的過程看起來都不一樣,但基本方法其實有共同之處:都對式子進行放縮,直到得出定值,最后確定等號成立的條件;放縮的方法主要是基本不等式和一些常見結論.所以,解這類題至關重要的是放縮對象的選擇和基本不等式的選用,而基本不等式的選用又取決于放縮對象的特點和題中的條件.那么,只要掌握了選擇放縮對象的方法,基本就等于掌握了解這類題的鑰匙.因為成功的放縮必須保證等號能成立,而基本不等式一般有兩大特點:式子具有對稱性,等號成立的條件多數是變量相等.注意到條件a2+b2+3c2=7中a和b是對稱的,所以,五種解法都把由a和b組成的對稱式作為放縮的對象,這樣能保證等號成立.

從以上分析可知,選擇一種好的表示方法和(在有對稱變量的情況下)構造出對稱式作為放縮對象就是解這類問題的鑰匙.