破解多元等式條件下的最值問題

安徽省阜南縣第一中學(xué) (236399) 李金龍

用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問題是一種常見手段,但有些題目的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,條件隱晦,會出現(xiàn)相對比較難的題目,需要有扎實(shí)的基本功和一定的解題技巧,那么這些能力的來源是接受規(guī)范的解題方法指導(dǎo)和有一定量的典型題目的訓(xùn)練,本文從介紹常用解題方法的角度,以題例說方法,希望給讀者朋友有一點(diǎn)啟發(fā)．

一、配湊等式

點(diǎn)評：由于待求結(jié)論式中的分母是a和b+1,所以必須由條件a+b=1進(jìn)行配置得a+(b+1)=2,通過審題,及時(shí)利用好已知條件是迅速解題的重要措施．

二、適時(shí)配方

例2 已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,求x+y的最大值．

點(diǎn)評：本題從探求的結(jié)論出發(fā),運(yùn)用配方手段構(gòu)造了一個關(guān)于x+y的不等式,然后再解不等式完成了解題．

三、先行放縮

點(diǎn)評：本題利用給出的條件先得到一個不等式,然后再對這個不等式變形,這樣有方向地、有目的地對結(jié)論式進(jìn)行放縮處理,從而化解了問題難點(diǎn)．

四、及時(shí)化簡

點(diǎn)評：觀察給出的條件式或結(jié)論式,如果需要進(jìn)行化簡處理的必須先行解決,常規(guī)的化簡手段,包括消去復(fù)雜的分式、根式等,本題中利用基本不等式化去根號非常重要.

五、適當(dāng)變形

點(diǎn)評：通過先把給出的條件進(jìn)行變形,然后再將待求結(jié)論進(jìn)行有目的的變形轉(zhuǎn)化,構(gòu)造出適合運(yùn)用基本不等式求解的基本模型,從而達(dá)到了解題目的.

六、連續(xù)放縮

點(diǎn)評：在解題中兩次運(yùn)用了基本不等式進(jìn)行了放縮處理,是解決結(jié)論式情況比較復(fù)雜問題的有力手段,應(yīng)該注意的是,連續(xù)放縮時(shí)取等號的條件必須保持一致．

七、整體構(gòu)造

例7 若實(shí)數(shù)a,b且a>1,滿足條件ab-4a-b+1=0,求(a+1)·(b+2)的最小值．

點(diǎn)評：由于題設(shè)中沒有直接告訴相關(guān)的因式,通過全面考查所給的條件和待求結(jié)論,然后瞄準(zhǔn)結(jié)論式對條件式進(jìn)行重新整理,然后進(jìn)行整體消元,構(gòu)造出只含一個參數(shù)的關(guān)系式,并且可運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解最值處理,這樣就明確了變形方向,化解了問題的難點(diǎn)．

八、三角替換

點(diǎn)評：若在題設(shè)中含有兩個正項(xiàng)和為1(或某個特定的數(shù)值),就可以選用三角換元,如此就能夠利用三角函數(shù)的有界性求得最值問題,從而達(dá)到解題目的．

九、分母換元

點(diǎn)評：通過審題發(fā)現(xiàn),條件式中的分母結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,所以對分母進(jìn)行換元勢在必行,而換元后出現(xiàn)了可使用基本不等式解題的規(guī)范模型,明確了解題方向．

十、因式換元

點(diǎn)評：在對已知條件式因式分解后,然后對其中的兩個因式分別換元,這樣降低了次數(shù),再用新變量替換原來的變量,從而揭示了隱含關(guān)系,表明了后續(xù)解題方向.