利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的思路

陸燕

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性息息相關(guān).在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，通?？梢詮暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)入手，討論導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)解題.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系為：

①在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則該函數(shù)為常數(shù).

利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為：

第一步，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并化簡(jiǎn)；

第二步，令導(dǎo)數(shù)為0，求得其零點(diǎn)；

第三步，用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)子區(qū)間，并在每個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；

第四步，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性.若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)遞增，其對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)遞減，其對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的單減遞減區(qū)間.

下面舉例加以說(shuō)明.

該函數(shù)式較為復(fù)雜，在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，還需進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其為幾個(gè)因式的積或商，這樣便于判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào).本題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)中含有參數(shù)a ，且a 的符號(hào)可以決定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，所以需根據(jù)題意分a ≤0 、a >0 兩種情況進(jìn)行討論.若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)較多，且含有參數(shù)，還需比較各個(gè)零點(diǎn)的大?。蝗魺o(wú)法比較，則需進(jìn)一步進(jìn)行分類討論.

對(duì)于函數(shù)式較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，如函數(shù)式中含有多種類型的簡(jiǎn)單函數(shù)，函數(shù)式為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的商、積等，此時(shí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性比較奏效.對(duì)于一次求導(dǎo)不能判斷出函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題，往往需要通過(guò)二次求導(dǎo)、多次求導(dǎo)來(lái)確定各個(gè)層級(jí)函數(shù)的最值，以確定上一級(jí)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

（作者單位：江蘇省南通啟東市第一中學(xué)）